最小二乘参数辨识方法及原理
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1最小二乘法的原理及其应用一、研究背景在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。
其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。
它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。
随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。
本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。
二、最小二乘法的原理人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。
如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。
为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型,q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。
参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。
（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。
其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。
一般情况下，观测值远多于所选择的参数。
其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。
高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。
令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。
人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。
除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。
确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。
各类最小二乘算法
β N −1 H* = N 0
β N −2
β 2( N −1) WN = 0
β 2( N −2)
0 ⋱ 1
三、递推算法 ∵
k θ(k ) = ∑ β i =1
∧
2(k −i) h (i )h T (i )
2随着采样次数的增多数据量不断增加ls估计有可能出现所谓的数据饱和现象导致递推算法不能接近参数真二关于数据饱和现象的分析所谓数据饱和现象就是随着时间的推移采集到的数据越来越多新数据所提供的信息被淹没在老数据的海洋之中
Ⅴ 各种最小二乘类参数辨识算法 §1 概 述
最小二乘类参数辨识算法（一次完成算法、递推算法） 最小二乘类参数辨识算法 （一次完成算法 、 递推算法 ） 是一种 最基本和常用的参数估计方法。但研究和应用表明， 最基本和常用的参数估计方法。 但研究和应用表明， 这一算 法仍存在明显的不足。 法仍存在明显的不足。 一、LS 算法的主要不足之处 1、当模型噪声为有色噪声时，LS 估计不再是无偏估计、一致 、当模型噪声为有色噪声时， 估计不再是无偏估计、 估计。 估计。 2、随着采样次数的增多，数据量不断增加，LS估计有可能出 、随着采样次数的增多，数据量不断增加， 估计有可能出 现所谓的“数据饱和”现象， 现所谓的“数据饱和”现象，导致递推算法不能接近参数真 值。
于是有： 于是有：
α P ( k ) P − 1 ( k − 1) = I − P ( k ) h ( k ) h T ( k )
则：
ˆ θ ( k ) = P ( k ) H * T Z * = P ( k ) α H * −1T Z * −1 + h ( k ) z ( k ) k k k k
现代控制理论_第14章_最小二乘法辨识
y n 2 ai y n 2 i bi u n 2 i n 2
i 1 i 0
n
y n N ai y n N i bi u n N i n N
即
y k ai y k i bi u k i v k ai v k i
i 1 i 0 i 1
n
n
n
(14-3)
假设v k k 1,2,, n 是均值为零的独立分布的平稳随机序列，且与 序列u k k 1,2,, n 相互独立。设
ˆ 表示 y 的最优估值，则有 设ˆ 表示 的最优估值， y
ˆ ˆ y
(14-12)
式中
ˆ n 1 y a ˆ ˆ y n 2 ˆ ˆ y , b ˆ ˆ y n N
T 的展开式如下所示：
y n 1 y n y n y n 1 y 1 y 2 T u n 1 u n 2 u n 1 u n u 2 u 1 y n N 1 n 1 y n N 2 n 2 yN u n N u n N 1 n N uN
1
因为ˆ 有解与 T 正定等价，所以可以保证 T 正定来确定对输 入 u k 序列的要求。由式(14-9)可知
Y U
(14-20)
则
YT U YT U Y T Y U T T T U Y U U U
第五章 最小二乘法辨识
服从正态分
❖ 4）有效性
❖ 定理4：假设 (k) 是均值为零，方差为 2I 的正态
白噪声，则最小二乘参数估计量
^
是有效估计
量，即参数估计误差的协方差达到Cramer-Rao不
等式的下界
E (^
^
)(
)T
2E
(
T N
N
) 1
M 1
❖ 其中M为Fisher信息矩阵。
4、适应算法
❖ 随着更多观测数据的处理，递推最小二乘法对线性 定常系统的参数估计并非越来越精确，有时会发现
❖ 现举例说明最小二乘法的估计精度 ❖ 例5.1：设单输入－单输出系统的差分方程为
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) b1u(k 1) b2u(k 2) (k)
❖ 设 u(k)是幅值为1的伪随机二位式序列，噪声 (k)是 一个方差 2可调的正态分布 N(0, 2 )随机序列。
❖ 为了克服数据饱和现象，可以用降低旧数据影响的 办法来修正算法。而对于时变系统，估计k时刻的 参数最好用k时刻附近的数据估计较准确。否则新 数据所带来的信息将被就数据所淹没。
❖ 几种算法：渐消记忆法，限定记忆法与振荡记忆法
❖ 矩阵求逆引理：设A为 n n 矩阵，B和C为 n m 矩阵，
并且A， A和 BCT I CT都A是1B 非奇异矩阵，则有矩
阵恒等式
A BCT 1 A1 A1B(I CT A1B)1CT A1
❖
令
A
PN1
，B
N 1
，C
T N 1
，根据引理有
PN1
T N 1 N 1
1
❖ 算法中，^ N 为2n+1个存贮单元（ai ,bi ,i 1,2, , n）， 而 PN 是 (2n 1) (2n 1)维矩阵，显然，将 N 换成 PN 后，存贮量大为减少（因为n为模型的阶数，一般 远远小于N）
最小二乘参数辨识方法及原理
2.2 一般最小二乘法原理及算法
z (k ) a i y (k i) bi u (k i) v (k )
i 1 i 1 n n
如果定义
h ( k ) [ y ( k 1), y ( k 2 ), , y ( k n ), u ( k 1), u ( k 2 ), , u ( k n )]
1 1 1
1 1 1
1
1
1
z1 1 1 ( z 1 z 2 ) 2 z2
r 1 0 0 1 1 4 r 1 1 1 1
2、最小二乘辨识方法的基本概念
通过试验确定热敏电阻阻值和温度间的关系
t (C ) R ( )
t1 R1
t2 R2
tN
1
tN RN
RN
1
R a bt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。 • 每次测量总是存在随机误差。
y i R i v i 或 y i a bt v i
v i y i R i 或 v i＝ y i a bt i
常见做法：
太复杂 使
max | y i R i |
1 i N
N
最小 /* minimax problem */ 不可导，求解困难
使 |y
i 1
i
Ri |
最小
最小
使 |y
i 1
m
i
Ri |
H
2
1 1
r R 0
0 4r
电机动态参数的鲁棒最小二乘辨识方法研究
电机动态参数的鲁棒最小二乘辨识方法研究电机动态参数的鲁棒最小二乘辨识方法是一种常用的电机参数辨识方法，它可以通过对电机的输入输出数据进行处理，得到电机的动态参数，从而实现对电机的控制和优化。
本文将介绍电机动态参数的鲁棒最小二乘辨识方法的研究。
一、电机动态参数的鲁棒最小二乘辨识方法的基本原理电机动态参数的鲁棒最小二乘辨识方法是一种基于最小二乘法的电机参数辨识方法。
它的基本原理是利用电机的输入输出数据，通过最小二乘法对电机的动态参数进行辨识。
具体来说，它可以通过以下步骤实现：1. 收集电机的输入输出数据，包括电机的电流、电压、速度、位置等参数。
2. 建立电机的动态模型，包括电机的电路模型和机械模型。
3. 利用最小二乘法对电机的动态参数进行辨识，包括电机的电阻、电感、转动惯量、摩擦系数等参数。
4. 对辨识结果进行鲁棒性分析，评估辨识结果的可靠性和精度。
二、电机动态参数的鲁棒最小二乘辨识方法的研究进展电机动态参数的鲁棒最小二乘辨识方法是一种经典的电机参数辨识方法，已经得到了广泛的应用和研究。
近年来，随着电机控制技术的不断发展和电机应用领域的不断拓展，电机动态参数的鲁棒最小二乘辨识方法也得到了进一步的研究和改进。
1. 基于神经网络的电机参数辨识方法神经网络是一种强大的模式识别和数据处理工具，已经被广泛应用于电机参数辨识领域。
基于神经网络的电机参数辨识方法可以通过对电机的输入输出数据进行训练，得到电机的动态参数，具有较高的精度和鲁棒性。
2. 基于模糊逻辑的电机参数辨识方法模糊逻辑是一种基于模糊集合理论的推理方法，可以处理不确定性和模糊性问题。
基于模糊逻辑的电机参数辨识方法可以通过对电机的输入输出数据进行模糊化处理，得到电机的动态参数，具有较高的鲁棒性和可靠性。
3. 基于深度学习的电机参数辨识方法深度学习是一种基于神经网络的机器学习方法，可以处理大规模、高维度的数据。
基于深度学习的电机参数辨识方法可以通过对电机的输入输出数据进行深度学习，得到电机的动态参数，具有较高的精度和鲁棒性。
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用一、研究背景在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。
其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。
它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。
随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。
本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。
二、最小二乘法的原理人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。
如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。
为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型,q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。
参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。
（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。
其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。
一般情况下，观测值远多于所选择的参数。
其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。
高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。
令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。
人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。
除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。
确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。
并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。
用函数表示为：用欧几里得度量表达为：最小化问题的精度，依赖于所选择的函数模型。
最小二乘法辨识参数
姓名：廖伟学号：201221014368 专业：控制工程增广型递推最小二乘法仿真第一种模型的仿真程序：%选择的模型结构（递推最小二乘法）：Y=Fai*theta+E%输入u为一个伪随机序列L=10;y1=1;y2=1;y3=1;y4=0;for i=1:L;x1=xor(y3,y4);x2=y1;x3=y2;x4=y3;y(i)=y4;if y(i)>0.5,u(i)=-0.1;else u(i)=0.1;endy1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;endv=randn(1,10);y(1)=0;y(2)=0;%设定输出的初始值y(0),y(1)theta0=[0.01;0;0.01;0;0.01];%给出待辨识参数的初始值P0=10^6*eye(5);%生成初始矩阵7x7的单位阵E=0.00005;%E为递推结束的条件%下面进行递推运算for k=3:10y(k)=1.5*y(k-1)-0.7*y(k-2)+1.0*u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k);%产生输出y Fai1=[-y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2) v(k)]';%生成实测数据组Fai1K1=P0*Fai1/(1+Fai1'*P0*Fai1);theta1=theta0+K1*(y(k)-Fai1'*theta0);e1=theta1-theta0;%e2=e1/theta1;P1=P0-K1*Fai1'*P0;theta0=theta1;%供下次递推使用P0=P1;%供下次递推使用if abs(e1)<E,break;%循环结束条件endendtheta1辨识的参数的最后结果为：theta1 =-1.50000.70001.00000.50001.0000可以从结果看出，辨识的效果很好，基本没有误差。
第二种模型的仿真程序：%选择的模型结构（增广最小二乘法）：Y=Fai*theta+E %输入u为一个伪随机序列L=10;y1=1;y2=1;y3=1;y4=0;for i=1:L;x1=xor(y3,y4);x2=y1;x3=y2;x4=y3;y(i)=y4;if y(i)>0.5,u(i)=-0.1;else u(i)=0.1;endy1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;endv=randn(1,10);%噪声干扰随机数序列y(1)=0;y(2)=0;%设定输出的初始值y(0),y(1)theta0=[0.01;0;0.01;0;0.01;0;0];%给出待辨识参数的初始值P0=10^6*eye(7);%生成初始矩阵7x7的单位阵E=0.00005;%E为递推结束的条件%下面进行递推运算for k=3:10y(k)=1.5*y(k-1)-0.7*y(k-2)+1.0*u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k)-v(k-1)+0.2*v(k-2);%产生输出y Fai1=[-y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2) v(k) v(k-1) v(k-2)]';%生成实测数据组Fai1K1=P0*Fai1/(1+Fai1'*P0*Fai1);theta1=theta0+K1*(y(k)-Fai1'*theta0);e1=theta1-theta0;%e2=e1/theta1;P1=P0-K1*Fai1'*P0;theta0=theta1;%供下次递推使用P0=P1;%供下次递推使用if abs(e1)<E,break;%循环结束条件endendtheta1辨识的参数最后结果为：-1.50.699990.998890.500191.0001-10.19991从辨识的结果看出，所得结果与真实的模型参数很接近，辨识效果也很好。
最小二乘法
第3章 线性动态模型参数辨识－最小二乘法3.1 辨识方法分类根据不同的辨识原理，参数模型辨识方法可归纳成三类： ① 最小二乘类参数辨识方法，其基本思想是通过极小化如下准则函数来估计模型参数：min )()ˆ(ˆ==∑=θθLk k J 12ε 其中)(k ε代表模型输出与系统输出的偏差。
典型的方法有最小二乘法、增广最小二乘法、辅助变量法、广义最小二乘法等。
② 梯度校正参数辨识方法，其基本思想是沿着准则函数负梯度方向逐步修正模型参数，使准则函数达到最小，如随机逼近法。
③ 概率密度逼近参数辨识方法，其基本思想是使输出z 的条件概率密度)|(θz p 最大限度地逼近条件0θ下的概率密度)|(0θz p ，即)|()ˆ|(0m a x θθz p z p −−→−。
典型的方法是极大似然法。
3.2 最小二乘法的基本概念● 两种算法形式 ① 批处理算法：利用一批观测数据，一次计算或经反复迭代，以获得模型参数的估计值。
② 递推算法：在上次模型参数估计值)(ˆ1-k θ的基础上，根据当前获得的数据提出修正，进而获得本次模型参数估计值)(ˆk θ，广泛采用的递推算法形式为() ()()()~()θθk k k k d z k =-+-1K h其中)(ˆk θ表示k 时刻的模型参数估计值，K (k )为算法的增益，h (k -d ) 是由观测数据组成的输入数据向量，d 为整数，)(~k z 表示新息。
● 最小二乘原理定义：设一个随机序列)},,,(),({L k k z 21∈的均值是参数θ 的线性函数E{()}()T z k k θ=h其中h (k )是可测的数据向量，那么利用随机序列的一个实现，使准则函数21()[()()]LT k J z k k θθ==-∑h达到极小的参数估计值θˆ称作θ的最小二乘估计。
● 最小二乘原理表明，未知参数估计问题，就是求参数估计值θˆ，使序列的估计值尽可能地接近实际序列，两者的接近程度用实际序列与序列估计值之差的平方和来度量。
锂离子电池等效电路参数辨识最小二乘法
锂离子电池等效电路参数辨识最小二乘法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：锂离子电池是现代电子设备中常用的电池类型之一，其能量密度高、重量轻、使用寿命长等优点使其得到广泛应用。
在电子设备设计和性能优化过程中，我们常常需要对锂离子电池的等效电路参数进行辨识。
等效电路参数是描述锂离子电池内部特性的重要参数，包括电阻、电容、电压源等。
辨识锂离子电池的等效电路参数可以帮助我们更准确地模拟锂电池在不同电荷和放电状态下的特性，从而优化电子设备设计，提高性能和效率。
最小二乘法是一种常用的参数辨识方法，可以通过拟合实测数据来估计锂离子电池的等效电路参数。
最小二乘法是一种通过最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和来确定参数估计值的方法。
在锂离子电池的等效电路参数辨识中，我们可以将实测数据与模型之间的误差定义为残差，然后通过最小化残差的平方和来求解最优参数估计值。
锂离子电池的等效电路模型一般包括电阻、电容和电压源三个主要参数。
电阻代表电池内部电阻，影响电流的流动；电容代表电池内的电荷存储能力，影响电压的变化；电压源代表电池的电动势，影响电池的输出电压。
通过最小二乘法，我们可以估计出这三个参数的最优值，实现对锂离子电池等效电路的准确描述。
第二篇示例：锂离子电池是当今最为普遍应用于电动汽车、手机、笔记本电脑等设备中的一种电池类型。
为了更好地管理和控制锂离子电池的性能，我们需要了解其等效电路参数。
而通过最小二乘法来辨识锂离子电池的等效电路参数就是一种常用的方法。
一、锂离子电池的等效电路模型锂离子电池的等效电路模型通常包括电池的内阻、电池的电压和电池的容量。
一般来说，我们可以将锂离子电池抽象成一个电压源和一个内阻的串联电路。
其等效电路模型如下图所示：\[V(t) = E(t) - R_i I(t) - R_v \frac{\partial Q(t)}{\partial t}\]\(V(t)\)是电池的电压，\(E(t)\)是电池的开路电压，\(R_i\)是电池的内阻，\(R_v\)是电池的电压响应，\(Q(t)\)是电池的电量，\(I(t)\)是电池的电流。
系统辨识—最小二乘法_3
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------系统辨识—最小二乘法最小二乘法参数辨识 1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号 u 和等价准则 J=L(y，yM)(一般情况下，J 是误差函数，是过程输出 y 和模型输出 yM 的一个泛函)；然后选择使误差函数J 达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使1 / 17用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
最小二乘参数辨识方法及原理
' ' ' f cy ( x, y) , f cy ( x, y) x , f cy ( x, y) y ] T ；
Y ( x, y ) ＝ f r ( x, y) f c ( x, y) ；
i 1 i 1 n n
如果定义
h(k ) [ y(k 1), y(k 2),, y(k n),u(k 1),u(k 2),, u(k n)]
[a1 , a2 ,, an , b1 , b2 ,, bn ]
T
z (k ) h(k ) v(k )
z ( k ) y ( k ) v( k )
z
1、问题的提出
v(k )
t (k )
G (k )
y (k )
z (k )
m次独立试验的数据
f (t )
(t1 , y1 ) (t2 , y2 )
t
(tm , ym )
z(k ) a0 a1h1 (k ) a2h2 (k ) an hn (k ) v(k )
2.1 利用最小二乘法求模型参数
例：表 1 中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根 据测量值确定该电阻的数学模型， 并求出当温度在 70 C 时
的电阻值。
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
零偏 标度因数 输出轴灵敏 度误差系数 二阶非线性 误差系数 摆轴灵敏度 误差系数
最小二乘参数辨识标准算法——第三讲
Harbin Institute of Technology– HIT系统辨识与自适应控制黄显林、班晓军 控制理论与制导技术研究中心 哈尔滨工业大学 banxiaojun@2010-3-15控制理论与制导技术研究中心第1页Harbin Institute of Technology– HIT第四讲 最小二乘参数辨识标准算法内容提要： 1. 最小二乘数学方法引例； 2. 最小二乘辨识方法的基本计算公式； 3. 算法演示与仿真分析； 4. 加权最小二乘法介绍。
2010-3-15控制理论与制导技术研究中心第2页Harbin Institute of Technology– HIT最小二乘方法的典故：1801年左右,德国数学家Gauss，在“星体轨道估计中”就发明了最小二 乘方法。
Gauss, K. F. (1809), Theoria Motus Corporum Celestium, English Translation: Theory of the Motion of Heavenly bodies. Dover(1963), New York.当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和 木星间应该还有行星未被发现。
在1801年，意大利的天文学家 Piazzi， 发现在火星和木星间有一颗新星。
它被命名为「谷神星」(Cere)。
现在 我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，但当时天文学界争论 不休，有人说这是行星，有人说这是彗星。
必须继续观察才能判决， 但是 Piazzi只能观察到它 9 度的轨道，再来，它便隐身到太阳後面去 了。
因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。
2010-3-15控制理论与制导技术研究中心第3页Harbin Institute of Technology– HIT高斯这时对这个问是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨 迹的问题。
高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道 的方法。
小二乘参数辨识方法及原理
目录
• 引言 • 小二乘参数辨识方法 • 小二乘参数辨识原理 • 小二乘参数辨识的应用 • 小二乘参数辨识的优缺点 • 小二乘参数辨识的未来发展
01
引言
目的和背景
目的
小二乘参数辨识方法是一种数学优化技术，旨在通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差和，来估计模 型参数。这种方法广泛应用于各种领域，如系统辨识、回归分析、机器学习等。
易于理解和实现
最小二乘法的原理直观易懂，且易于通过编程实现。
缺点
对异常值敏感
最小二乘法对数据中的异常值非常敏感，异常值可能会对参数估计 产生显著影响。
假设限制
最小二乘法要求误差项是随机的且服从正态分布，这在某些情况下 可能无法满足。
无法处理非线性问题
最小二乘法主要用于线性回归问题，对于非线性问题，可能需要其他 方法。
将小二乘参数辨识方法应用于机器学习中，提高模型 的训练效率和精度。
控制系统
将小二乘参数辨识方法应用于控制系统中，实现系统 的优化和自适应控制。
生物医学工程
将小二乘参数辨识方法应用于生物医学工程中，实现 对生理信号的准确分析和处理。
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THANKS
背景
随着现代科技和工程领域的快速发展，越来越多的复杂系统需要建立数学模型进行描述和预测。小二乘参数辨 识方法作为一种有效的参数估计方法，能够为这些复杂系统的建模提供重要的技术支持。
小二乘参数辨识的定义
定义
小二乘参数辨识，也称为最小二乘法，是一种通过最小化观测数据与模型预测数据之间的平方误差和来估计模型 参数的方法。这种方法的基本思想是通过最小化误差的平方和来找到最佳的参数值，使得模型的预测结果与实际 观测结果之间的差异最小。
最小二乘法辨识
y ( n 1) y (2) u (n 2) u (2)
y ( n N 1) y(N ) u (n N ) u(N )
( n 1) (n 2) (n N )
x(k)为理论输出值，y(k)为实际观测值 n(k)为观测噪声。则有： ( k ) y ( k ) n ( k ) x
将x(k)代入上式，可得输入输出数据方程为：
y ( k ) a1 y ( k 1) a n y ( k n ) b 0 u ( k ) b1u ( k 1) b n u ( k n ) ( k )
ˆ min J
下面我们推导θ估计值的计算方法。
J取得最小值，也即J为极值，则有：
J ˆ θ
0
ˆ T ˆ [ (Y Φ θ ) (Y Φ θ ) ] ˆ θ
0
T ˆ 2 Φ (Y Φ θ ) 0
T ˆ Φ Φθ Φ
T
Y
其中, ( Φ
T
Φ)
为(2n+1)×(2n+1)的方阵。
基本的最小二乘法(LS)
辨识准则：残差平方和最小。
(1)残差e
ˆ ˆ 为模型的计算值，即 e YY , Y
ˆ ˆ Y θ
(2)指标函数J
n N
J
k n 1
e ( k ) ee
2
T
ˆ T ˆ (Y θ) (Y θ)
最小二乘法辨识就是使J最小的参数估计方法。
非参数模型辨识方法参数模型辨识方法用来进行系统参数辨识的最小二乘法是一种经典的数据处理方法最早的应用可追溯到18世纪高斯为了提高天体运动观测的准确性提出了最小二乘法
系统辨识—最小二乘法
最小二乘法参数辨识1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类μ={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J=L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
用于系统设计的仿真，则强调设计参数能正确地符合它本身的物理意义。
③预测这是辨识的一个重要应用方面，其目的是用迄今为止系统的可测量的输入和输出去预测系统输出的未来的演变。
例如最常见的气象预报，洪水预报，其他如太阳黑子预报，市场价格的预测，河流污染物含量的预测等。
预测模型辨识的等价准则主要是使预测误差平方和最小。
递推阻尼最小二乘法辨识算法公式的详细推导与说明
控制理论与控制工程学位课程《系统辨识》考试报告递推阻尼最小二乘法公式详细推导专业：控制理论与控制工程班级：2011双控（研）学生姓名：江南学号：20110201016任课教师：蔡启仲老师2012年06月29 日摘要在参数辨识中，递推最小二乘法是用得最多的一种算法。
但是，最小二乘法存在一些缺点，如随着协方差矩阵的减小，易产生参数爆发现象；参数向量和协方差矩阵的处置选择不当会使得辨识过程在参数收敛之前结束；在存在随机噪声的情况下，参数易产生漂移，出现不稳定等。
为了防止参数爆发现象，Levenberg 提出在参数优化算法中增加一个阻尼项，以增加算法的稳定性。
本文在一般的最小二乘法中增加了阻尼因子，构成了阻尼最小二乘法。
又根据实时控制的要求，详细推到了递推阻尼最小二乘公式，实现在线辨识。
关键字：系统辨识，最小二乘法，递推算法正文1.题目的基本要求已知单入单出系统的差分方程以及噪声，在应用最小二乘法进行辨识的时候，在性能指标中加入阻尼因子，详细推导阻尼最小二乘法的递推公式。
2.输入辨识信号和系统噪声的产生方法和理论依据 2.1系统辩识信号输入选择准则（1）输入信号的功率或副度不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辩识精度；（2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等； （3）工程上要便于实现，成本低。
2.2白噪声及其产生方法 （1） 白噪声过程（2）白噪声是一种均值为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。
（3）白噪声过程定义：如果随机过程()t ω的均值为0，自相关函数为()()2R t t ωσδ= （2.2.1）式中()t δ 为狄拉克（Dirac) 分布函数，即(){(),00,01t t t dt δδ∞∞=≠∞==⎰-且t （2.2.2）则称该随机过程为白燥声过程。
2.3白噪声序列 (1) 定义 如果随机序列{()}w t 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数为()2,0,1,2w l R l l σδ==±± 式中{1,00,0l l l δ=≠=则称这种随机序列{()}w t 为白噪声序列。
递推最小二乘辨识
ˆ (1) 选取 (0)各元素为零或较小的参数,P(0)=I,其中为 充分大的实数（105～1010）;
(2) 先将大于所需辨识的参数个数的L组数据,利用成批 型的LS法求取参数估计值LS和协方差阵P(L),并将这 些量作为递推估计的初值.
y N 1 原 有 信 息 ˆ
N
N 1
ˆ (k ) (ΦΦ )1 ΦY θ k k k k
Yk=[y(1), y(2), ..., y(k)]T=[Yk y(k)]T 1
仔细考察上述LS法,可以知道,该算法进行递推化的关键是算法中的矩 阵求逆的递推计算问题. 因此,下面先讨论该逆矩阵的递推计算.
P(k ) (ΦΦk )-1 k
首先,假定在第k-1次递推中,我们已计算好参数估计值 在第k次递推时,我们已获得新的观测数据向量(k-1)和 y(k),则记 Φ k-1=[(0), (1), ..., (k-2)]T Φ k=[(0), (1), ..., (k-1)]T=[φ (k-1)T φ (k-1)]T Yk-1=[y(1), y(2), ..., y(k-1)]T
1.2递推算法的思想 * 递推辨识算法的思想可以概括成 新的参数估计值=旧的参数估计值+修正项 即新的递推参数估计值是在旧的递推估计值的基础上而成， 这就是递推的概念. 递推算法不仅可减少计算量和存储量,而且能实现在线 实时辨识. * 递推算法是依时间顺序,每获得一次新的观测数据就修 正一次参数估计值,随着时间的推移,便能获得满意的辨 识结果. RLS法即为成批型LS算法的递推化，即将成批型LS算法 化成依时间顺序递推计算即可。 该工作是1950年由Plackett完成的。
将Φ k展开,故有
(2)
P (k ) ([Φ-1 (k -1)][Φ-1 (k -1)] )-1 k k
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T 1 T ˆ (H m H m ) H m Z m
最小二乘估计虽然不能满足式（3.12）中的每一个方程，使 每个方程都有偏差，但它使所有方程偏差的平方和达到最小，兼 顾了所有方程的近似程度，使整体误差达到最小，这对抑制测量 误差 v(i)(i 1,, m) 是有益的。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
当系统的量测噪声 Vm 是均值为 0，方差为 R 的随机向 量，则最小二乘估计有如下性质。
(1) 最小二乘估计是无偏估计，即
~ ˆ E( ) 或 E( ) 0
(2) 最小二乘估计的均方误差为
T T T E( ) (H m H m ) 1 H m RHm (H m H m ) 1
z (k ) ai y(k i) bi u (k i) v(k )
i 1 i 1
n
n
z (k ) 为系统输出量的第 k 次观测值; y(k ) 为系统输出量的第 k 次真值; u (k ) 为系统的第 k 个输入值;
v(k ) 是均值为 0 的随机噪声。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
T m T m T m
1
1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
例 3.2
用 2 台仪器对未知标量 各直接测量一次，量
测量分别为 z 1 和 z 2 ，仪器的测量误差均值为 0，方差分别 为 r 和 4 r 的随机量，求 的最小二乘估计，并计算估计的 均方误差。
z1 Z2 z2
r 0 R 0 4 r
z1 1 1 ˆ 1 1 ( z1 z 2 ) 1 1 1 z2 2
[a1 , a2 ,, an , b1 , b2 ,, bn ]
T
z (k ) h(k ) v(k )
式中 为待估参数。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
z (k ) h(k ) v(k )
y(1 n) u (0) y(2 n) u (1) y(m n) u (m 1) u (1 n) u ( 2 n) u ( m n)
和最小，即
ˆ) (Z H ˆ)T (Z H ˆ) min J ( m m m m
J ˆ) 0 2 H ( Z m H m
T m
ˆ
T ˆ H H m H m Z m T m
2.2 一般最小二乘法原理及算法
T
令 k 1,2,, m ，则有
z (1) h(1) y(0) z (2) h(2) y(1) Hm Zm z ( m ) h ( m ) y(m 1)
使 | y
i
测量误差的平方和最小
2.1 利用最小二乘法求模型参数
根据最小二乘的准则有
J min vi2 [ Ri (a bti )]2
i 1 i 1 N N
根据求极值的方法，对上式求导
N J 2 ( Ri a bti ) 0 a a a i 1 ˆ N J 2 ( Ri a bti )t i 0 i 1 b bbˆ
2.1 利用最小二乘法求模型参数
例：表 1 中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根 据测量值确定该电阻的数学模型， 并求出当温度在 70 C 时
的电阻值。
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
~ T 1 T T 1 T E( ) E[(H m H m ) (H m H m ) (H m H m ) H m Z m ]
T T (H m H m ) 1 H m E(H m Z m )
T T (Hm Hm )1 Hm E(Vm ) 0
系统辨识
第4章 最小二乘参数辨识方法
主讲教师：赵龙 办公地点：新主楼E402 网 站：
Email：flylong@
本章内容
1、最小二乘辨识的基本概念
2、一般最小二乘辨识方法
3、加权最小二乘辨识方法
4、递推最小二乘参数辨识方法
小。
2、最小二乘辨识方法的基本概念
通过试验确定热敏电阻阻值和温度间的关系
t (C ) R ()
t1 R1
t2 R2
t N 1 RN 1
tN
RN
R a bt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。 • 每次测量总是存在随机误差。
yi Ri vi 或 yi a bt vi
vi yi Ri或vi＝yi a bti
太复杂
常见做法：
| yi Ri | 最小 /* minimax problem */ 使 max 1 i N
使
| y
i 1
m i 1
N
i
Ri |
Ri |2
最小
最小
不可导，求解困难
• 高斯自己独创了一套行星轨道计算 理论。 • 高斯仅用1小时就算出了谷神星的 轨道形状，并进行了预测 •1794年，高斯提出了最小二乘的思想。
1794年，高斯提出的最小二乘的基本原理是 未知量的最可能值是使各项实际观测值和计算
值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和为最
5、增广最小二乘辨识方法 6、多变量最小二乘辨识方法
本章的学习目的
1、掌握最小二乘参数辨识方法的基本原理
2、掌握常用的最小二乘辨识方法 3、熟练应用最小二乘参数辨识方法进行模型参数辨识 4、能够编程实现最小二乘参数辨识
1、引言
z
m次独立试验的数据
~ ~T
~ ˆ (1) 最小二乘估计是无偏估计，即 E( ) 或 E( ) 0
证明：
ˆ (H T H ) 1 H T Z m m m m ~ ˆ) E[ (H T H )1 H T Z ] E( ) E( m m m m ~
t (k )
G( z)
y (k )
(t1 , y1 ) (t2 , y2 )
(tm , ym )
f (t )
t
f (t ) a0 a1h1 (t ) a2 h2 (t ) an hn (t )
• 1801年初，天文学家皮亚齐发现了谷神星。 •1801年末，天文爱好者奥博斯，在高斯预 言的时间里，再次发现谷神星。 •1802年又成功地预测了智神星的轨道。
N J 2 ( Ri a bti ) 0 a a a i 1 ˆ N J 2 ( Ri a bti )t i 0 i 1 b bbˆ
ˆ t ˆ N a b Ri i i 1 i 1 N N N 2 ˆ a ˆ t i b t i Ri t i i 1 i 1 i 1
N N
N N N N 2 R t i i Ri t i t i i 1 i 1 a ˆ i 1 i 1 2 N N 2 N ti ti i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b ˆ i 1 2 N N 2 N ti ti i 1 i 1
z (k ) ai y(k i ) bi u (k i) v(k )
i 1 i 1
n
n
如果定义
h(k ) [ y(k 1), y(k 2),, y(k n),u(k 1),u(k 2),, u(k n)]
(2) 最小二乘估计的均方误差为
T T T E( ) (H m H m ) 1 H m RHm (H m H m ) 1
~ ~T
证明： 根据第（1）式的证明，显然有
T T T T E( ) (Hm Hm )1 Hm E(VmVm )Hm (H Hm ) H RHm ( H Hm )
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
R a bt
N ˆ N N 2 N a 702 Ri t i.762 Ri t i t i i 1 i 1 a ˆ i 1 i 1 2 N N ˆ 2 N t t b 3. 4344 i i i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b ˆ i 1 R 943 N .168 N 2 N t i2 t i i 1 i 1
a1 an b1 bn
T
Vm v(1) v(2) v(m)
Z m H m Vm
2.2 一般最小二乘法原理及算法
最小二乘的思想就是寻找一个 的估计值 ˆ ，使得各次测量
ˆ ˆ H 的 Z i (i 1,m) 与由估计 ˆ 确定的量测估计 Z i i 之差的平方