使用GMM方法分析动态面板数据

GMM 方法与动态面板数据——一个简介

2015年8月

在阅读文献中经常看到有使用GMM 方法分析动态面板数据，但没有深入研究。最近开始自己用此方法时，感觉很困惑，因为使用此方法的文献中，对方法的原理大多语焉不详。对该方法的适用性，为什么用此方法，以及方法优缺点介绍聊聊几句。因此，通过读文献很难对该方法有全面的把握。

由于时常有学生过来问我怎么用GMM 方法处理动态面板数据，不能总是含糊地回答，同时自己也在写这方面的文章，因此找来几本参考书，搜集了大量的文献，详细阅读之后，撰写本文。文中主要内容摘要并整理自Roodman （2009），这是STATA 命令xtabond2命令的作者所写的介绍性文章，应该有权威性，如果该文不准确，那么所有使用此命令做的研究将全部失效。同时参考了Cameron and Trivedi （2009）和（Angrist and Pischke ，2009）等书籍。本文仅为作者对该方法的理解，如有不妥、疑问或建议请联系：hyang_zhang@ 。

（一） 为什么要用GMM 方法

本文所谓动态面板数据(Dynamic Panel data, DPD)分析，指的是分析中采用如下的回归方程：

,,1i t i t it i it Y Y X u αβε-=+++ （1）

1,...,i N =，1,...,t T =

其中，,1i t Y -是因变量的滞后项，i u 是个体i 的固定效应。因变量的滞后项和固定效应同时存在，是动态面板数据分析特殊性的关键。如果固定效应不存在，那么回归方程变为:

,,1i t i t it it Y Y X αβε-=++ （2）

这时，用OLS 或者随机效应模型回归分析即可。如果因变量的滞后项,1i t Y α-不存在，那么回归方程变为：

,i t it i it Y X u βε=++ （3）

对于该模型，用固定效应模型分析即可。如果因变量的滞后项和固定效应都存在，那么对于（1）式这样的回归方程，如果采用差分方法去掉固定效应，会得到如下的结果

,,1i t i t it it Y Y X αβε-∆=∆+∆+∆ （4）

其中,,,-1=-i t i t i t Y Y Y ∆，,-1,-1,-2=-i t i t i t Y Y Y ∆，,,,-1=-i t i t i t X X X ∆，,,,-1=-i t i t i t εεε∆。如果（1）式代表了真实的变量之间关系，那么,1i t Y -∆和it ε∆之间必有相关性，因为：

,-1,-1,-2,2,1,1=-=(1)i t i t i t i t i t i t Y Y Y Y X αβε---∆-++，

,-1,cov(,)i t i t Y ε∆∆显然不会等于0，因为两者都有,1i t ε-这一项。

通常所用的固定效应模型实际上就是对（1）式差分，得到类似于（4）式的差分回归方程，然后做OLS 。对于现在的情况，由于,1i t Y -∆和it ε∆之间的相关性，再用OLS 只会得到有偏误的回归系数。所以传统的统计方法无法实现对此类方程的估计，需要用GMM 方法。

需要注意的是（2）的模型（包含滞后项的OLS ）和（3）的模型（不包含滞后项的FE ，固定效应）尽管都有偏误,但好处是一个偏大,一个偏小(具体哪个大,哪个小要看变量之间的关系),所以这两个估计系数应该界定了真实参数的范围（Angrist and Pischke ，2009:246页；Roodman ，2009）。也就是说，你最后用GMM 方法估计出来的参数应该落到这个区间。

（二） 什么是GMM 方法

通常所用的OLS 等方法，基本逻辑是从计量模型对数据拟合的角度分析，得出最好的估计参数。GMM 方法，又称为广义矩方法（Generalized Moment Method ），该方法所用的思路与传统思路完全不同。任何计量模型都有一定的适用性，即数据要满足一定的要求。GMM 方法的思路是，从计量模型对数据的要求出发，得出一系列矩条件，再根据这些矩条件，求解满足条件的系数。对于大多数计量模型，GMM 方法和传统的方法“殊途同归”，得出的回归系数相差不会太远。

1、 线性回归中的GMM 方法

以OLS 为例，对于回归方程：

=+Y X βε

传统OLS 模型中，β的估计量1

OLS ˆ=(')(')-βX X X Y 。注意到，如果使用OLS 模型，数据有要求，就是自变量X 和误差项ε要独立，也就是说：

(')0E =X ε

这个就是所谓的“矩条件”。把=-εY βX 带入，得到('())0E -=X Y X β，即：

(')(')E E =X Y X X β

1[(')](')E E -=βX X X Y

为了得到β的估计量，可以把(')E X X 和(')E X Y 的估计量分别带入，即

1ˆ(')'E N =X X X X ，1ˆ(')'E N

=X Y X Y 得到1

GMM ˆ(')'-=βX X X Y ，这是和传统的OLS 一样的估计量。 2、 工具变量的GMM 方法

工具变量方法也可以用矩估计的思路实现。由于过程略复杂，此处仅给出简要步骤，详细的推导可以参考（Roodman ，2009）。需要回归的方程为：

=+Y X βε

其中，Z 是工具变量，(|)0E =εZ 。()=12k X x ,x ...x ，是k 个自变量向量，()=12j Z z ,z ...z 是j 个工具变量向量。相应的，待估计的系数β是k 维向量。定义

=-E Y X β为误差向量，对于任意估计出来的参数ˆβ

，残差项为ˆˆ=-E Y X β。 根据工具变量的含义，它应该和误差项ε独立：(')0E =Z ε，这就是我们需要的矩条件。计算的时候，理论上应该利用1ˆ(')0N E N

≡

=Z εZ'E 求解，注意到，我们有j 个工具