(完整版)专题二相似三角形的存在性问题解题策略

授课题目专题二相似三角形的存在性问题解题策略

授课日期2015年3月8日教师柳娜

授课学时 1 时 00 分学生

课型复习课学科组长柳娜

师生活动

一、要点归纳

相似三角形的存在性问题是苏州中考数学的热点问题．

解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．

二、课前热身

△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，如果△ADE与△ABC相似，请确定点E的位置.

三、例题讲解

1.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，BC＝10cm，CD＝6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．

（1）求AD的长；

（2）点F、E在运动过程中，如果△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．

图1 备用图

2.如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），交y 轴于点C ．已知B （8，0），tan ∠ABC ＝0.5，△ABC 的面积为8．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个长度单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．联结FP ，设运动时间t 秒．是否存在t 的值，使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1

3.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212

y x bx c =-

++，经过点A (1,3)，B (0,1)．

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ．

①求△ABC 的面积；

②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标．

图1

4.如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

5.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．

（1）求直线AD和抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写

．．．出．点Q点的坐标．

图1

6.如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝

3

10

．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作

DE//BC交射线CA于点E.．

(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；

(2) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．

图1 备用图备用图

专项训练：

1.直线113

y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点． (1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；

(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；

(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

2.Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k

y k x

=

≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．

（1）求m 与n 的数量关系；

（2）当tan ∠A ＝

1

2

时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．

图1

3.如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2

2y mx mx n =++上．

（1）求m 、n ；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．

图1

4.如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．

,

图1