最大面积的问题

2.7 最大面积是多少

教学目标如下：

(一)知识与技能

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

(二)过程与方法

1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．

2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．

(三)情感态度与价值观

1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．

2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．

3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．

教学重点

1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．

教学难点

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题．

三、教学过程分析

本节课分为五个环节，分别是：创设问题情境引入新课、归纳升华、课堂练习活动探究、课时小结、课后作业

第一环节创设问题情境，引入新课

上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要审清题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。在此基础上，利用我们所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程．

本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题．

活动内容：由四个实际问题构成

1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．

(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？

(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

问题一的设计目的：

对于这个问题，教师将其作为例题，不论是对问题本身的分析，还是具体的解法过程，都将作出细致、规范的讲解和示范。具体的过程如下：

分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得即．所以AD＝BC＝(40－x)．

(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x· (40－x)的最大值，就转化为数学问题了．下面请小组开始讨论并写出解题步骤．

(1)∵BC∥AD，

∴△EBC∽△EAF．∴．

又AB＝x，BE＝40－x，

∴．∴BC＝(40－x)．

∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．

(2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x

＝－(x2－40x＋400－400)

＝－(x2－40x＋400)＋300

＝－(x－20)2＋300．

当x＝20时，y最大＝300．

即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．

2．问题二：将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？”

解：∵DC∥AB，

∴△FDC∽△FAE．

∴．

∵AD＝x，FD＝30－x．

∴．

∴DC＝(30－x)．

∴AB＝DC＝(30－x)．

y＝AB·AD＝x· (30－x)

＝－x2＋40x

＝－(x2－30x＋225－225)

＝－(x－15)2＋300．

当x＝15时，y最大＝300．

即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2．

活动目的：

在活动解决之初（末），揭示该问题与问题一的关系

3．问题三：对问题一再变式

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC 在斜边上.

(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？

(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?

活动目的：

有了前面两题作基础，这个问题可以留给学生自己解决，作为练习

4．问题四：

某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？

分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求

透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y ＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．

解：∵7x＋4y＋πx＝15，

∴y＝．

设窗户的面积是S(m2)，则

S＝πx2＋2xy

＝πx2＋2x·

＝πx2＋

＝－3.5x2＋7.5x

＝－3.5(x2－x)

＝－3.5(x－)2＋．

∴当x＝≈1.07时，

S最大＝≈4.02．

即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．

实际教学效果：

问题四中的数量关系，较前面3个问题，处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助。

第二环节归纳升华

活动内容：

同学们能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．

活动目的：

通过前面例题的学习和感受，学生讨论交流，在教师的帮助下归纳出：

基本流程为：理解题目分析已知量与未知量转化为数学问题．

解决此类问题的基本思路是：

(1)理解问题；

(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

(3)用数学的方式表示它们之间的关系；

(4)做函数求解；

(5)检验结果的合理性，拓展等．

第三环节课堂练习，活动探究

活动内容：

1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?

2. 正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：

(1)当t=3s时，求S的值；

(2)当t=3s时，求S的值；