小高奥数几何三角形五大模型及例题解析
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小高奥数几何三角形五大模型及例题解析
TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
三角形五大模型
【专题知识点概述】
本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。 重点模型重温 一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、等分点结论（“鸟头定理”）
D
C
B
A
b
如图，三角形AED占三角形ABC面积的2
3
×
1
4
=
1
6
三、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）
①S
1︰S
2
=S
4
︰S
3
或者S
1
×S
3
=S
2
×S
4
②②AO︰OC=（S
1+S
2
）︰（S
4
+S
3
）
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S
1︰S
3
=a2︰b2
②S
1︰S
3
︰S
2
︰S
4
= a2︰b2︰ab︰ab ;
③S的对应份数为（a+b）2
模型四：相似三角形性质
如何判断相似
(1)相似的基本概念：
两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)判断相似的方法：
①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；
②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
h
h H c
b a C
B A
a
c b H
C B
A
①
a b c h
A B C H
=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2
模型五：燕尾定理
S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ；
S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ；
S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；
【重点难点解析】
1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形
2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头” 【竞赛考点挖掘】
1. 三角形面积等高成比
2. “鸟头定理”
3. “蝴蝶定理”
【习题精讲】 【例1】（难度等级 ※）
如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积. 【例2】（难度等级 ※）
如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米． 【例3】（难度等级 ※）
如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F
分别
为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘
米
【例4】（难度等级 ※※※）
如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。 【例5】（难度等级 ※※）
角形
如右图BE=31BC ，CD=4
1
AC ，那么三角形AED 的面积是三
ABC 面积的几分之几
【例6】（难度等级 ※）
F
E
D
C
B
A
F
A
B
C
D
E
如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明
它们的面积相等． 【例7】（难度等级 ※）
如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，
如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY 的面积．
【例8】（难度等级 ※※）
如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，EF 和BC 平行， ECH 的面积是7平方厘米，求EG 的长。
【例10】（难度等级 ※※）
如图已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多
少平方厘米?
【例11】（难度等级 ※※）
如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积
分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为? 【例12】（难度等级 ※※※）
如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD 的面
积。
【例13】（难度等级 ※※※）
G
F
E D
C
B A
Y
Z D
C
B
A
H
G
F
E
D C
B
A 12
32
23
d
c
b a x
A
B
C
D
E
F