沪教版七年级数学知识点总结

简记为“首平方；尾平方；积的２倍在中央。 ”
Ⅱ. 公式中的ａ、ｂ可以是单项式；也可以是多项式。
④推广：
Ⅰ. （ａ＋ｂ＋ｃ） 2＝ａ 2＋ｂ 2＋ｃ 2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａ c；
Ⅱ. （ａ＋ｂ） 3＝ａ 3＋ｂ 3＋３ａ 2ｂ＋３ａｂ 2；
Ⅲ. （ａ－ｂ） 3＝ａ 3－ｂ 3－３ａ 2ｂ＋３ａｂ 2。
（ A；B；C 为整式；且 B、C≠０）
①约分 :把一个分式的分子和分母的公因式约去；这种变形称为分式
的约分．
②分式的约分步骤：
(1)如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式；将它们的
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公因式约去 (2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别；再将公因式约去 .
注:公因式的提取方法 :取分子和分母系数的；字母取分子和分 母共有的字母；指数取公共字母的最小指数；即为它们的公因式 . ③一个分式的分子和分母没有公因式时；这个分式称为最简分式 .约分 时；一般将一个分式化为最简分式。 ④通分 ：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式； 叫做分式的通分。 ⑤分式的通分步骤 :先求出所有分式分母的最简公分母； 再将所有分式的分母变为 最简公分母 .同时各分式按照分母所扩大的倍数；相应扩大各自的分子 . 注:最简公分母的确定方法 :系数取各因式系数的最小公倍数；相同字母的及单独 字母的幂的乘积。 注 :(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质。 (2)分式的约分和通分都是互逆运算过程。 10.3 、分式的运算： ①分式的乘法法则 :两个分式相乘； 把分子相乘的积作为积的分子； 把分母相乘的 积作为积的分母 .用字母表示为： a/b * c/d=ac/bd ②分式的除法法则 : Ⅰ.两个分式相除；把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘
※ 内容整理
am· an=am+n
幂
(am) n=amn
的
单项式的乘法
多项式的乘法
因
提公因式法
运
式
算
分
(ab)n=anbn
乘法公式
解
公式法
am÷ an=am-n
单项式的除法
多项式除以单项式
第十章 分 式
10.1、（ 1）、分式的意义
两个整式 A/B 相除；即 A ÷ B 时；可以表示为 A/B. 如果 B 中含有字母；
ａｘ2+ｂｘ+ｃ=ａ（ｘ- ｘ１）（ｘ-ｘ２）。 ⑶因式分解的一般步骤及注意问题：
①对多项式各项有公因式时；应先提供因式。 ②多项式各项没有公因式时；如果是二项式就考虑是否符合平方差
公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的 因式分解；如果是四项或四项以上的多项式；通常采用分组分解法。 分解因式；必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
④几何意义：
平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等
的表达式。
⑤拓展：
Ⅰ. 立方和公式： （ａ＋ｂ）（ａ 2－ａｂ＋ｂ 2）＝ａ 3＋ｂ 3；
Ⅱ. 立方差公式： （ａ－ｂ）（ａ 2＋ａｂ＋ｂ 2）＝ａ 3－ｂ 3。
（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ 2＋…＋ａ 2ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ - ｂ。
9.12 完全平方公式：
ａ2＋ｂ 2－２ａｂ＝（ａ－ｂ） 2。 Ⅲ. 立方和与立方差公式：ａ 3＋ｂ 3＝（ａ＋ｂ）（ａ 2－ａｂ＋ｂ 2）；
ａ3－ｂ 3＝（ａ－ｂ）（ａ 2＋ａｂ＋ｂ 2）。 注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 （２）选择使用公式的方法：主要从项数上看；若多项式是二项式
应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式；可 考虑用完全平方公式。 9.15. 十字相乘法 ：利用十字交叉线来分解系数；把二次三项式分解
式的次数。
4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中；每个单项式叫做多项式的项； 不含字母的项叫做常数项。
5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的
次数
6、整式：单项式和多项式统：所含字母相同；并且相同字母的指数也相同的项叫做
同类项。
2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
那么 A/B 叫做分式。 A 叫做分式的分子； B 叫做分式的分母。
如果一个分式的分母为零；那么这个分式无意义。
10.2（ 2）、分式的基本性质
整式
整式和分式统称为有理式： ：即有理式
分式
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式；
分式的值不变。用式子表示为： A/B=A*C/B*C A/B=A ÷ C/B÷C
①内容：
（ａ＋ｂ） 2＝ａ 2＋ｂ 2＋２ａｂ；
（ａ－ｂ） 2＝ａ 2＋ｂ 2－２ａｂ。
②意义：
两数和的平方；等于它们的平方和；加上它们积的２倍。
两数差的平方；等于它们的平方和；减去它们积的２倍。
③特征：
Ⅰ. 左边是一个二项式的完全平方；右边是一个二次三项式；其
中有两项是公
式左边二项式中每一项的平方；另一项是左边二项式中两项乘积的２倍；可
单项式与多项式相乘；就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项；再把所
得的积相加；即。
注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。
⑶多项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘；先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；再
把所得的积相加；
即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。
第四节、乘法公式
②幂的乘方与积的乘方 （ am） n=amn(m、n 都是正整数 )
幂的乘方；底数不变；指数相乘。 （ ab） n=anbn (n 都是正整数 )
积的乘方等于各因式乘方的积。
③同底数幂的除法 am÷ an=am-n(a ≠ 0；mn都是正整数；且 m＞n)
同底数幂相除；底数不变；指数相减。
a0=1（a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 1。
9.11 平方差公式
①内容：
（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ 2－ｂ２
②意义：
两个数的和与这两个数的差的乘积；等于这两个数的平方差。
③特征：
Ⅰ. 左边是两个二项式相乘；这两项中有一项相同；另一项互
为相反数；
Ⅱ. 右边是乘式中两项的平方差；
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Ⅲ. 公式中的ａ和ｂ可以使有理数；也可以是单项式或多项式。
第六节 整式除法 ： 9.17 同底数幂的除法
同底数幂相除；底数不变；指数相减。 任何不等于零的数的零次幂为 1；既：
9.18 单项式除以单项式： 单项式与单项式相除的法则：
单项式与单项式相除；把系数、同底数幂分别相除；作为商的因式；对于只在被 除式里含有的字母；则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：①两个单项式相除；只要将系数及同底数幂分别相除即可。 ②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。
a/b ±c/d=ad ±cb/bd
10.5 分式方程： ①分式方程的意义 :分母中含有未知数的方程叫做分式方程 . ②分式方程的解法 : Ⅰ. 去分母 (方程两边同时乘以最简公分母；将分式方程化为整式方 程); Ⅱ. 按解整式方程的步骤求出未知数的值 ; Ⅲ . 验根 (求出未知数的值后必须验根；因为在把分式方程化为整式方程的过程 中；扩大了未知数的取值范围；可能产生增根 ).
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第一节整式的概念
9.1.2.3、字母表示数 代数式 ：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独
的数或字母也是代数式。
代数式的书写 ：1、代数式中出现乘号通常写作“ * ”或省略不写；但数与数相乘
不遵循此原则。
的前面。
2、数字与字母相乘；数字写在字母前面；而有理数要写在无理数
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添括号法则
（1）所添括号前面是“ +”号；括到括号里的各项都不变符号；
（2）所添括号前面是“－”号；括到括号里的各项都改变符号。
第三节整式的乘法 9.7 同底数幂的乘法、 9.8 幂的乘方、 9.9 积的乘方：
①同底数幂的乘法 am· an=am+n(m、n 都是正整数 ) 。
同底数幂相乘；底数不变；指数相加。
第五节因式分解
⑴因式分解的意义：
把一个多项式化为几个整式积的形式；这种变形叫做把这个多项式因式分
解；也叫做把这个多项式分解因式；即多项式化为几个整式的积。
注意：①因式分解的要求：
Ⅰ. 结果一定是积的形式；分解的对象是多项式；
Ⅱ. 每个因式必须是整式；
Ⅲ. 各因式要分解到不能分解为止。
②因式分解与整式乘法的关系：
：a/b ÷c/d=ad/bc Ⅱ. 除以一个分式； 等于乘以这个分式的倒数 :a/b ÷c/d=a/b*d/c 异分母分式通分时； 关键是确定公分母； 通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母； 这样的 公分母叫做 最简公分母。 10.4 分式的加减 ③同分母分式加减法则 : 同分母的分式相加减；分母不变；把分子相加减 .用字母 表示为： a/c ±b/c=a ±b/c ④异分母分式加减法则 : 异分母的分式相加减； 先通分；化为同分母的分式； 然后 再按同分母分式的加减法法则进行计算 .用字母表示为：
2、若带入的值是负数时；应添上括号。
3、注意解题格式规范；应写“当 …..时；原式 =…… ..”.
4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。
9.4 整式
1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母
也是单项式。
2、系 数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项
3、带分数应写成假分数的形式；除法运算写成分数形式。
4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来；而写成幂的形式。
5、代数式不能含有“ =、≠、 <、>、≥、≤”符号。