《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-(1)

习题一：
1.1 写出下列随机试验的样本空间：
(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;
解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；
(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{
;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;
解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；
(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{
2
16,T y x T y x ≤≤=Ω ；
(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{
207 x x =Ω；
(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{
l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2
(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；
(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；
(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；
(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC
(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{
6.18.0≤=x x B 具体写出下列各事件：
(1) AB ; (2) B A - ; (3) B A -; (4) B A ⋃ （1）AB }{
18.0≤=x x ； (2) B A -=}{
8.05.0≤≤x x ；
(3) B A -=}{
28.05.00≤⋃≤≤x x x ; (4) B A ⋃=}{
26.15.00≤⋃≤≤x x x
1.6 按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃, 并说明理由.
解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤，而由加法公式，有：
)()()(B P A P B A P +≤⋃
1.7
解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：
175.0)()()()(=-+=⋃WE P E P W P E W P
(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=WE P W P E W P
(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=⋃-=E W P E W P . 1.8
解：(1) 由于B AB A AB ⊆⊆,，故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ⊆时P(AB)
取到最大值。

最大值是0.6.
(2) 由于)()()()(B A P B P A P AB P ⋃-+=。

显然当1)(=⋃B A P 时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4. 1.9
解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：
7
.0)()()()()()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P
1.10 解
（1）通过作图，可以知道，3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P （2）6.0))()((1)(1)(=---=-=B A P A P AB P AB P
7
.0)(1)()
()()(1))()()((1)(1)()()3(=-=+--=-+-=⋃-==A P B P AB P B P A P AB P B P A P B A P B A P AB P 由于 1.11
解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1,2,3。

三只球放入四只杯中，放法有
44464⨯⨯=种，每种放法等可能。

对事件1A ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。

放法4×3×2种，故8
3)(1=A P
(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

对事件3A ：必须三球都放入一杯中。

放法有4种。

(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故161)(3=A P 。

16
9
161831)(2=--=A P 1.12
解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。

.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。

故前后两次出现的点数之和为3的概率为
18
1。

同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是9
1,121。

(1) 1.13
解：从10个数中任取三个数，共有1203
10=C 种取法，亦即基本事件总数为120。

(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有
624=C 种，故所求概率为
201。

(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法
有1025=C 种，故所求概率为
12
1。

1.14
解：分别用321,,A A A 表示事件：
(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则
,11
1
666)(,33146628)(2122
42212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P 。

1.15
解：)
())
()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ⋃=⋂⋃=
⋃
由于0)(=B B P ，故5.0)
()
()()()())((=-==
⋃B P B A P A P B P AB P B B A P
1.16
(1) );(B A P ⋃（2）);(B A P ⋃
解：（1）;8.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P AB P B P A P B A P
（2）;6.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P B A P B P A P B A P
注意：因为5.0)(=B A P ，所以5.0)(1)(=-=B A P B A P 。

1.17
解：用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”（3,2,1=i ），则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”（3,2,1=i ）。

11212115331421
(),()()()20441938
P A P A A P A P A A =
===⨯=
(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：
3125()18
P A A A =。

(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：
1231213121514535
()()()()201918228
P A A A P A P A A P A A A ==
⨯⨯=
（3）事件“第三次取到次品”的概率为：
4
1 此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。

再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。

用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”（2,1=i ），
则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：1)(12=A A P ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：2
1
)()()(12121==A A P A P A A P 。

区别是显然的。

1.18。

解：用)2,1,0(=i A i 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”。

用B 表示事件“从第二箱中取到的是次品”。

则
2112
121222012222
14141466241
(),(),(),919191
C C C C P A P A P A C C C ⨯====== 01()12P B A =
，12()12P B A =，2
3
()12P B A =，
根据全概率公式，有：
283
)()()()()()()(221100=
++=A B P A P A B P A P A B P A P B P
1.19
解：设)3,2,1(=i A i 表示事件“所用小麦种子为i 等种子”，
B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。

则123()0.92,()0.05,()0.03,P A P A P A ===1()0.5P B A =，2()0.15P B A =，
3()0.1P B A =，根据全概率公式，有：
4705.0)()()()()()()(332211=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P
1.20
解：用B 表示色盲，A 表示男性，则A 表示女性，由已知条件，显然有：
,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(====A B P A B P A P A P 因此：
根据贝叶斯公式，所求概率为：
151
102
)()()()()()()()()()()()(=
+=+==
A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 1.21
解：用B 表示对试验呈阳性反应，A 表示癌症患者，则A 表示非癌症患者，显然有：
,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)(====A B P A B P A P A P
因此根据贝叶斯公式，所求概率为：
294
95
)()()()()()()()()()()()(=
+=+==
A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 1.22
(1) 求该批产品的合格率;
(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少?
解：设，},{},{},{321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产===B B B
}{产品为合格品=A ，则
（1）根据全概率公式，94.0)()()()()()()(332211=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P ，该批产品的合格率为0.94.
（2）根据贝叶斯公式，94
19
)()()()()()()()()(332211111=++=
B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P
同理可以求得47
24
)(,9427)(32=
=A B P A B P ，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：47
24
,9427,9419。

1.23
解：记A ={目标被击中}，则994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)(=----=-=A P A P 1.24
解：记4A ={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，4A ={四次独立试验，事件A 一次也不发生}。

而5904.0)(4=A P ，因此4096.0)()()(1)(444===-=A P A A A A P A P A P 。

所以
2.08.01)(,8.0)(1=-==A P A P
三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：384.064.02.03))(1)((21
3
=⨯⨯=-A P A P C 。

二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：
第二章 随机变量
2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P
1/36
1/18
1/12
1/9
5/36
1/6
5/36
1/9
1/12
1/18
1/36
2.2解：根据
1)(0
==∑∞
=k k X P ，得10
=∑∞
=-k k
ae
，即111
1
=---e
ae 。

故 1-=e a
2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同
P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=
1
1
2
2
020211112020222222
0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多
P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=
1
2
2
1
110220022011
2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=
12321515155
++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=
12115155
+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=
2
4621111222
2k +++=11[1()]
14413
14
k k lim
→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244
-
-= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)
34
314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=
(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)
345
324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=
2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)
0 1.51.5{0}0!
P X e -=== 1.5
e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)
0122
222{2}1{0}{1}1130!1!
P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-
2.8解：设应配备m 名设备维修人员。

又设发生故障的设备数为X ，则)01.0,180(~B X 。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即99.0)(≥≤m X P ，也即
01.0)1(≤+≥m X P
因为n =180较大，p =0.01较小，所以X 近似服从参数为8.101.0180=⨯=λ的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m +1=7时上式成立，得m =6。

故应至少配备6名设备维修人员。

2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为
3
1
10001000)15001000(1500
10001500
10002=
-==≤≤⎰x dx x X P 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ，则)3
1
,5(~B Y 。

所求的概率为
329.03
80
)32()31()2(53225==⨯==C Y P
2.10（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：
11
22340.8
0.8
{0.81}12(1)(683)0.0272|P X x x dx x x x <≤=-=-+=⎰
（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：
11
2
2
3
4
0.9
0.9
{0.91}12(1)(683)0.0037|P X x x dx x x x <≤=-=-+=⎰
2.11解:要使方程
03222
=+++K Kx x
有实根则使0)32(4)2(2
≥+-=∆K K
解得K 的取值范围为],4[]1,[+∞--∞ ,又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为
3
1
)2(4]34)2(1[=---+---=
p
2.12解：X~P(λ)= P(
1
200
) (1) 111
100
100200
200200
1{100}1200
|x P X e dx e e ---≤=
==-⎰
（2）113200
20023003001{300}200
|x P X e dx e e --∞
-∞≥===⎰ （3）1113
300
300200
2002
2100100
1{100300}200
|x P X e dx e e e ----≤≤=
==-⎰
1
132
2
2
{100,100300}{100}{100300}(1)()P X X P X P X e e
e -
-
-
≤≤≤=≤≤≤=--
2.13解：设每人每次打电话的时间为X ，X ~E (0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为
510
5.010
5.05.0)10(-+∞
-+∞
-=-==>⎰e e
dx e
X P x x
又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y ，则),282(~5
-e B Y 。

因为n =282较大，p 较小，所以Y 近似服从参数为9.12825
≈⨯=-e
λ的泊松分布。

所求的概率为
)1()0(1)2(=-=-=≥Y P Y P Y P
56625.09.219.119.19.19.1=-=--=---e e e
2.14解：(1))42.0(1)42.0()12
110
105(
)105(Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 3372.06628.01=-=
(2))12
110
100()12110120(
)120100(-Φ--Φ=≤≤X P 5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=
2.15解：设车门的最低高度应为a 厘米，X~N(170,62)
{}1{}0.01170
{}(
)0.996
P X a P X a a P X a ≥=-≤≤-≤=Φ≥ 170
2.336
a -= 184a ≈厘米
2.19解：X 的可能取值为1,2,3。

因为6.010
6
)1(3524====C C X P ； 1.01011)3(35==
==C X P ；
所以X 的分布律为
X 的分布函数为
3
.01.06.01)2(=--==X P
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3
1329.0216.010
)(x x x x x F
2.20(1)
22{0}{}0.22
{}{0}{}0.30.40.73{4}{}0.1
2
P Y P X P Y P X P X P Y P X π
πππ
π=======+==+=====
Y
2π
42
π i q
0.2
0.7
0.1
(2)
{1}{0}{}0.30.40.7
3{1}{}{}0.20.10.3
22P Y P X P X P Y P X P X πππ
=-==+==+====+==+= Y
-1 1 i q
0.7
0.3
2.21（1）
当11x -≤<时，(){1}0.3F x P X ==-=
当12x ≤<时，(){1}{1}0.3{1}0.8F x P X P X P X ==-+==+==
{1}0.80.30.5P X ==-=
当2x ≥时，(){1}{1}{2}0.8{2}1F x P X P X P X P X ==-+=+==+==
{2}10.80.2P X ==-=
X -1 1 2 P 0.3
0.5
0.2
（2）
{1}{1}{1}0.30.50.8P Y P X P X ===-+==+= {2}{2}0.2P Y P X ====
Y
1 2 i q
0.8
0.2
2.22
~(0,1)X N
∴22
()x X f x -
=
（1）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则
2122
1
(){}{21}{}2
y x Y y F y P Y y P X y P X dx +-
-∞
+=≤=-≤=≤
=⎰
对()Y F y 求关于y
的导数，得2
2
1(
)(1)2
821()()2y y Y y f y ++--+'== (,)y ∈-∞∞ （2）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则
当0y ≤时，(){}{}{}0X
Y F y P Y y P e y P -=≤=≤=∅=
当0y >时，有
2
2
ln (){}{}{ln }{ln }x X Y F y P Y y P e y P X y P X y dx ∞
---=≤=≤=-≤=≥-=⎰
对()Y F y 求关于y 的导数，得
2
2
(ln )(ln )22
(ln )()0
y y Y y f y ---⎧'-=⎪=⎨⎪⎩ y>0y 0≤
（3）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则
当y 0≤时，2
(){}{}{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=∅=
当y>0
时，222
(){}{}{x Y F y P Y y P X y P X dx -
=≤=≤=≤≤
=
对()Y F y 求关于y
的导数，得
2
(ln )2
()0
y Y f y -
⎧''=
=⎩
y>0
y 0
≤
2.23 ∵πX
U(0,)∴1
()0
X f x π⎧⎪
=⎨⎪⎩ 0x π<<其它
（1）
2ln y π<<∞当时
2(){}{2ln }{ln }{}0Y F y P Y y P X y P X y P =≤=≤=≤=∅=
2ln y π-∞<≤当
时
2220
1
(){}{2ln }{ln }{}{y
e
y Y F y P Y y P X y P X y P X e P X dx π
=≤=≤=≤=≤=≤=⎰
对()Y F y 求关于y 的导数，得到2211()()20y y Y e e f y ππ⎧'=
⎪=⎨⎪⎩
2ln 2ln y y ππ-∞<≤<<∞ （2）
≥≤当y 1或 y -1时，(){}{cos }{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=∅= 11y -<<当时,arccos 1
(){}{cos }{arccos }Y y
F y P Y y P X y P X y dx π
π
=≤=≤=≥=⎰
对()Y F y 求关于y 的导数，得到
1(arccos )()0Y y f y π⎧'-=⎪
=⎨⎪⎩
11y -<<其它 （3）≥≤当y 1或 y 0时(){}{sin }{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=∅=
01y <<当时，
arcsin 0
arcsin (){}{sin }{0arcsin }{arcsin }1
1
Y y
y
F y P Y y P X y P X y P y X dx dx
π
ππππ
π
-=≤=≤=≤≤+-≤≤=+⎰
⎰
对()Y F y 求关于y 的导数，得到
11arcsin (arcsin )()0Y y y f y πππ⎧''--=⎪=⎨⎪⎩
01y <<其它
第三章 随机向量
3.1 P{1<X ≤2,3<Y ≤5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—F(2,3)= 3
128
3.2
3.4（1）a=
9
（2）
512
（3）
1
11120000111
{(,)}(6)[(6)]992
|y
y P X Y D dy x y dx y x x dy --∈=--=--⎰⎰
⎰
1123200111111188
(65)(35)9229629327
|y y dy y y y =-+=-+=⨯=
⎰ 3.5解：（1）
(2)222000
(,)22(|)(|)(1)(1)
y
x
y x
u v v u v y u x
y x F x y e dudv e dv e du e e e e -+------===--=--⎰
⎰
⎰⎰（2）
(2)
2200
223230000()222(|)221
2(1)(22)(|)|1333
x
x
x y x
v
x y x
x
x
x x x x P Y X e
dxdy e
dx e dy e e dx e
e dx e e dx e e ∞
∞
∞
-+----∞
∞
-----∞-∞≤===-=-=-=-+=-=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
3.6解：222
222222222001()(1)(1)a x y a r P x y a d dr x y r πθππ+≤+≤=
=+++⎰⎰⎰⎰ 222
222220
11111(1)21(1)2(1)11|a
a a d d r r r a a πθπππ=+=-⨯⨯=-=++++⎰⎰
3.7参见课本后面P227的答案
3.8 31
1
1200
033()(,)2232
|X y x
f x f x y dy xy dy x =
===⎰
⎰
22
2
22220
331()(,)3222|y f y f x y dx xy dx y x y ====⎰⎰
,
()20,X x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 02
x ≤≤其它
23()0Y y f y ⎧=⎨⎩01y ≤≤其它
3.9解：X 的边缘概率密度函数()X f x 为：
①当10x x ><或时，(,)0f x y =，
()0X f x =1
122220
111
() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[12]
222
10
01
() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)
||Y y y x
x
X f y y x dx y x x y y y y y y f x y x dy y x x x =-=-=-+><≤≤=-=-=-⎰⎰或
②当01x ≤≤时，220
() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)|x
x
X f x y x dy y x x x =
-=-=-⎰
Y 的边缘概率密度函数()Y f y 为：
① 当10y y ><或时，(,)0f x y =，()0Y f y =
② 当01y ≤≤时，1
122
111() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[12]222
|Y y y f y y x dx y x x y y y =-=-=-+⎰
22.4(34)y y y =-+
3.10 （1）参见课本后面P227的答案
（2）26()0
x
x X dy f x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰ 01x ≤≤其它6=0x x ⎧⎨
⎩（
1-） 01x ≤≤其它
()0
y Y dx f y ⎧⎪=⎨⎪⎩ 01y ≤≤
其它6=0y ⎧
⎪⎨⎪⎩） 01
y ≤≤其它
3.11参见课本后面P228的答案 3.12参见课本后面P228的答案 3.13（1）
220()()3
0X xy
x dy
f x ⎧+⎪=⎨⎪⎩⎰ 01x ≤≤其它22230x x ⎧+⎪=⎨⎪⎩01x ≤≤其它 120()()3
Y xy
x dx
f y ⎧+⎪=⎨⎪⎩⎰ 02y ≤≤其它1=360y ⎧+⎪⎨⎪⎩ 02y ≤≤其它 对于02y ≤≤时，()0Y f y >，
所以2|3(,)1(|)()360X Y Y xy x f x y y f x y f y ⎧+⎪⎪==⎨+⎪⎪⎩ 01x ≤≤其它2
6+220x xy y ⎧⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩
01
x ≤≤其它 对于01x ≤≤时，()0X f x >
所以22|3
(,)2(|)2()30Y X X xy x f x y x f y x x f x ⎧+⎪⎪==⎨+⎪⎪⎩ 02y ≤≤其它3620
x y x +⎧⎪+⎪⎪
=⎨⎪⎪⎪⎩ 02y ≤≤其它
1
11222
|00
01133111
722{|}(|)1222
54062
2
Y X y y P Y X f y dy dy dy ⨯+⨯+<
=====⨯+⎰⎰⎰
3.14
由表格可知 P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225 故}{}P{};P{
y Y x X y Y x X i
i
i
i
P ====≠
所以X 与Y 不独立 3.15
由独立的条件}{}P{};P{
y Y x X y Y x X i
i
i
i
P =====则
}2{}2P{X }2;2P{X =====Y P Y
}3{}2P{X }3;2P{X =====Y P Y
1}P{X ==∑i
可以列出方程
a a
b a =+++)91
)(31( b b a b =+++)31
)(181( 131
31=+++b a 0,0≥≥b a
解得9
1,92==
b a 3.16 解（1）在3.8中()20X x
f x ⎧⎪
=⎨⎪⎩ 02x ≤≤其它
23()0Y y f y ⎧=⎨⎩01y ≤≤其它
当02x ≤≤， 01y ≤≤时，()()X Y f x f y 2
3(,)2
xy f x y =
= 当2x >或0x <时，当1y >或0y <时，()()X Y f x f y 0(,)f x y == 所以， X 与Y 之间相互独立。

（2）在3.9中，22.4(2)()0X x x f x ⎧-=⎨⎩ 01
x ≤≤其它
22.4(34)()0
Y y y y f y ⎧-+=⎨⎩ 01
y ≤≤其它
当01x ≤≤，01y ≤≤时，
()()X Y f x f y 22222.4(2)2.4(34) 5.76(2)(34)x x y y y x x y y y --+=--+=
(,)f x y ≠ ，所以X 与Y 之间不相互独立。

3.17解：
xe y xe
f x
x
x
dy dy y x f x -+∞∞
-+∞
-===⎰⎰
+0
2
)
1(1
),()( )
1()
1(2
2
1
1
),()(y y xe
f
dx dy y x f y x
y
+⎰
⎰
+===+∞
∞
-+∞
-
),(1
)()()
1(2
y x f y x y xe
f f
x
y
x
==+⋅-
故X 与Y 相互独立
3.18参见课本后面P228的答案
第四章 数字特征
4.1 解：()1i i
i
E X x p
=
=∑
()0.9i i i
E Y y p ==∑
∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又∵两台机床的总的产量相同 ∴乙机床生产的零件的质量较好。

4.2 解：X 的所有可能取值为：3，4，5
35
1
{3}0.1P X C
==
=
2
33
5{4}0.3P X C C
=== 2
4
35
{5}0.6P X C C
===
()30.140.350.6 4.5i i i
E X x p ==⨯+⨯+⨯=∑
4.3参见课本230页参考答案 4.4解：
1{}(1),1,2,3......
n P X n p p n -==-=121
1
()(1)[1(1)]n i i i
n p E X x p np p p p
∞
-===-=
=
--∑∑
4.6参考课本230页参考答案
4.7解：设途中遇到红灯次数为X ，则~(3,0.4)X B
()40.3 1.2E X np ==⨯=
4.8解
⎰+∞
∞
-=
xdx x f X E )()(
xdx x dx x )3000(13000
1500
2
1500
2
2
1500
1500--+=
⎰⎰ =500+1000 =1500
4.9参见课本后面230页参考答案 4.10参见课本后面231页参考答案 4.11 解:设均值为μ,方差为
σ
2
,则X~N(μ,σ2)根据题意有:
)96(1)96(<-=>X P X P
)72
96(
1σ
σ
μ
-<
--=X P
)(1t Φ-=
%3.2=
997.0)(=Φt ,解得t=2即σ=12
所以成绩在60到84的概率为
)12
72
-84-X 1272-60P(
84)X P(60≤≤=≤≤σμ (-1)-(1)ΦΦ=
1-(1)2Φ= 1-0.84132⨯= 0.6826=
4.122
2
2
2
()00.410.320.230.12E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
2222(54)40.4(514)0.3(524)0.2(534)0.114E X +=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
4.13解：
()(2)22()2[]
2()2
||x x x x x
E Y E X xe dx xd e xe e dx e ∞∞∞
∞----∞
-===-=-+=-=⎰⎰⎰
223300011
()()33
|X x x x x E Y E e e e dx e dx e ∞∞∞-----====-=⎰⎰
4.14解：3
43
R V π=
设球的直径为X,则：1
()0
f x b a ⎧⎪
=-⎨⎪⎩ a x b <<其它
3
334224(
)
1112()(
)()=()()
36
66424|b b a a X E V E E X x dx x b a b a b a b a πππππ===⨯⨯=++--⎰4.15参看课本后面231页答案 4.16 解:
x y f
dy dy y x f x x
x
4123
2
),()(===⎰
⎰
+∞
∞
-
y y y f
dx dy y x f y y
y
1212123
21
2),()(-===⎰⎰+∞∞
-
5
4)()(1
4
4=
=⋅=⎰
⎰
+∞
∞
-dx xdx x X E x f
x
5
3
)()(10431212=-=⋅=⎰⎰
+∞
∞
-dy ydy x Y E y y f
y ⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
===
=
≤≤≤≤≤≤1003
1
03
1
02
1
1212),()(x
x y x y dydx x dxdy x xydxdy y x f XY E y y 3
2
)()(1
5
2
2
4=
=⋅=⎰
⎰+∞
∞
-dx dx x f E x x X 5
2)()(1
5
4
22
1212=
-=⋅=⎰⎰+∞∞
-dy dy y f E y y y Y 15
16)()()(2
22
2
=
+=+Y X Y
X
E E E
4.17解
∵X 与Y 相互独立， ∴
115350055
2()()()2()()
3|y y E XY E X E Y x xdx ye dy x yd e ∞∞
--===-⎰⎰⎰555555222
()[5()](51)4
333
||y y y ye e dy e ∞∞∞---=⨯-+=⨯+-=⨯+=⎰ 4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案 4.21设X 表示10颗骰子出现的点数之和，i X (1,2,10)i =表示第i 颗骰子出现的点数，
则10
1
i
i X X
==
∑，且1210,,X X X 是
独立同分布的，又11
121
()1266666
i E X =⨯
+⨯++⨯=
所以1010
1
1
21
()(
)()10356
i
i
i i E X E X E X =====⨯=∑∑
4.22参看课本后面232页答案
4.232
2
2
2
()00.410.320.230.12E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
222()()[()]211D X E X E X =-=-=
2222()00.310.520.230 1.3E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= 222()()[()] 1.30.90.49D Y E Y E Y =-=-=
4.242
4242
2
2443020
2111111114()(1)[]1441616333
||E X x xdx x x dx x x x =
+-+=+-+=+=⎰
⎰
22142
()()[()]433
D X
E X E X =-=
-= 4.25111()40X xy
dy f x -+⎧⎪=⎨⎪⎩⎰ 11x -<<其它
1=20⎧⎪
⎨⎪⎩ 11x -<<其它
1
1222
21111()()[()][]22Var X E X E X x dx xdx --=-=-⎰⎰ 11321111111
23223
||x x --=⨯-⨯= 111()40Y xy
dx f y -+⎧⎪=⎨⎪⎩⎰ 11y -<<其它
1=20⎧⎪
⎨⎪⎩ 11y -<<其它
1
1222
21111()()[()][]22Var Y E Y E Y y dy ydy --=-=-⎰⎰ 11321111111
23223
||y y --=⨯-⨯= 4.26因为X~N(0,4),Y~U(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)=
3
4
故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+
34=3
16 Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 283
4
944=⨯+⨯ 4.27参看课本后面232页答案 4.281212()(
)(
)()(
)n
n
X X X X X X E Z E E E E n
n n
n
++
+==+++ 1211
11
()()()n E X E X E X n n n
n n μμ=
+++
=*= 1212()(
)(
)()(
)n
n
X X X X X X
D Z D D D D n
n n
n
++
+==+++ 2
212222211
11()()()n E X E X E X n n n
n n n
σσ=+++=*= 后面4题不作详解
第五章 极限理
5.3
解：用i X 表示每包大米的重量，，则()10i E X μ==,2
()0.1i D X σ==
100
21
~(,
)(10010,1000.1)i
i X
N n n N μσ==⨯⨯∑
100
100
100
10010
1000~(0,1)i
i
i
X
n X
X
Z N
μ
--⨯-=
=
=
∑∑∑
100
100
1
1000
(9901010)
i
i i X
P X
P =-≤≤=≤≤
∑∑
((=Φ-Φ=Φ-Φ210.9986=Φ-=
5.4解：因为i V 服从区间[0,10]上的均匀分布，
010
()52
i E V +== 210100()1212i D V == 20
20
20
1
1
1
100
~[(),()](205,20)12
i i i i i i V N E V D V N ====⨯⨯
∑∑∑
20202020
()205100
~(0,1)3
i
i
i
i
V E V V V Z N --⨯-=
=
=
∑∑∑∑
20
20
1
100
(105)1(105)1(105)1i
i i V P V P V P V P =->=-≤=-≤=-≤
∑∑
11(0.387)0.348=-Φ=-Φ=
5.5解：方法1：用i X 表示每个部件的情况，则1,0,i X ⎧=⎨
⎩
正常工作
损坏~(1,0.9)i X B ，()0.9i E X p ==,()(1)0.90.1
i D X p p =⨯-=⨯100
1
~[,(1)](1000.9,1000.90.1)i
i X
N np np p N =⨯-=⨯⨯⨯∑
100
100
100
1
1000.9
90
~(0,1)3
i
i
i
i X
np
X
X
Z N =--⨯-=
=
=
∑∑∑
100
100100
1
1
1
90
8590
(85)1(85)1()3
3
i
i i i i i X
P X P X P ===--≥=-<=-<
∑∑∑
55
1()()0.952533
=-Φ-=Φ=
方法2：用X 表示100个部件中正常工作的部件数，则
~(100,0.9)X B
()1000.990E X np ==⨯=()(1)1000.90.19D X np p =-=⨯⨯=~[,(1)](90,9)X N np np p N -
=90
~(0,1)3X Z N -=
=
90
~(0,1)3X Z N -=
=
908590
(85)1(85)1()33
55
1()()0.9525
33
X P X P X P --≥=-<=-<=-Φ-=Φ=
5.6略
第六章样本与统计
6.1 6.3.1证明:
由错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

+b 可得，对等式两边求和再除以n 有
n
b a n
n
i i
n i i
X
Y ∑∑==+=
1
1
)
( 错误!未找到引用源。

由于
∑==n i i Y n Y 11 ∑==n
i i
X n X 1
1 错误!未找到引用源。

所以由错误!未找到引用源。

可得
Y =n
nb
n a n i i X +∑=1=b X a +
6.3.2因为
Y Y Y Y n i
i n
i n
i 2
1
2
1
2
)(-=∑∑-==()b X a b X a i n
i n
i +∑+-==2
1
2
)(
)2(22
2
2
221
2
nb X
na
nb X
a
X nab X nab i
n
i ++-++=∑=
()
∑∑==-=-=n i i
i
n
i X X
a
X
na
X
a
1
2
22
2
2
21
2
∑+==-n
i i
X
X X X a i 1
2
2
2
)(2
∑-==n
i X X a
i 1
2
2
)
(
S
a
X
n 22
)1(-=
S Y n 2
)1(-=
所以有S
a
S
X
Y
22
2=
6.2 证明：
μμ
===∑=n
n E n X E n
i X )(1)(1i
n
n Var X Var n
X n
n
i σσ
2
2
2
1
i 2
)(1
)(==
=
∑=
6.3（1）
)2(1n 11
21i 2
1
2
2
)
(X X X X X S
X n i i n i
n
i +--=-=
∑∑-==
)2(1n 121
i 1i 2
X n X X n
i n i X +--=∑∑== )2(1n 121
i 2
X n X X n X n
i +•--=∑= )(1n 121
i 2
X n X n
i ∑=--= （2）由于))
((2
2)()(
X
E X
X i E Var i
i
-=
所以有σμ2
2
2
2
)()(
))
((+=+=X X
E X i i Var i E
n
X Var E X E X σμ2
2
2
2
)()()(+=+=
σσμσμ2
2
2
2
2
1
2
)1()()()()(-=+-+=∑-=n n
n n i E n
i X X
两边同时除以（n-1）可得σ21
2
)1
()
(=-∑-=n i E n
i X X 即 σ2
2)(=S E
6.4 同例6.3.3可知
0.951-)n (0.321-)n
0.3(
20.3}|-X P{|=Φ=Φ≈≤σ
μ
得 0.975)n (0.3=Φ查表可知n 0.3=1.96 又Z n ∈ 根据题意可知n=43
6.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为错误!未找到引用源。

,它们来自均值为错误!未找到引用源。

=200欧姆，标准差为错误!未找到引用源。

=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：
}25
10200
202n -X 2510200199{}202X 199{-<<-=<<σμP P
}1n
-X 5.0{<<
-=σμ
P
)5.0()1(-Φ-Φ≈
5328.0=
(2)根据题意有
}5100X 52P{}5100P{25
1
i i X ≤=≤∑=}2n
-X P{
≤=σμ
)2(Φ≈9772.0=
6.6 解：（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为错误!未找到引用源。

，它们是来自均值为错误!未找到引用源。

=4小时，标准差为错误!未找到引用源。

=0.8小时的总体的样本。

根据题意有：
}30
8.04
5n -X 308.041{
}5X 1{-<<-=<<σμP P
}846.6n
-X 54.20{<<
-=σμ
P
)54.20()846.6(-Φ-Φ≈
1≈
（注：)(u Φ当6>u 时，)(u Φ的值趋近于1，相反当6-<u 时，其值趋近于0）
（2）根据题意有：
}115X 03P{}115P{30
1
i i X ≤=≤∑=}14.1n
-X P{
-≤=σμ
)14.1(-Φ≈)14.1(1Φ-=1271.0=
6.7证明：因为T 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，则，随机变量n
Y /X
T =
的密度函数为
∞<<-∞Γ+Γ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-t n n n t f n t n ,2)2
()21()(12
1π 显然)()(t f t f =-，则)(t f 为偶函数，则
0)()()())(()()()()(0
=+-=+--=+==⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
∞
-+∞
∞
-tdt t f tdt t f tdt t f dt t t f tdt t f tdt t f tdt t f T E
6.8 解：记50.1=μ，25=σ，则X 错误!未找到引用源。

N(μ,
σ
2
),n=25故
}25
25150
-147.5n -X 2525150-140P{147.5}X P{140<<=<<σμ
}5.0n
-X P{-2-<<
=σμ
(-2)-(-0.5)ΦΦ≈ (0.5)-(2)ΦΦ=
0.2857=
6.9 解：记这100人的年均收入为错误!未找到引用源。

，它们是来自均值为5.1=μ万元，标准差
为5.0=σ万元的总体的样本，n=100则根据题意有： （1） 1.6}X P{11.6}X P{<-=>
}1000.5 1.5
-1.6n -X P{
1<-=σμ
}2n
-X P{
1<-=σμ
)2(1Φ-≈
9772.01-=
0228.0=
（2）
}1000.5 1.5-1.3n -X P{
1.3}X P{<=<σμ}4n
-X P{-<=σμ
)4(-Φ≈)4(1Φ-=11-≈0=（3）
}100
0.5 1.5
-1.6n -X 1000.5 1.5-1.2P{
1.6}X P{1.2<<=≤≤σμ
(-6)-(2)ΦΦ≈
09772.0-≈
9772.0=
6.10 解：根据题意可知此样本是来自均值为12=μ，标准差为2=σ的总体，样本容量为n=5 （1）依题意有
1314.08686.01)12.1(1}12.1n
-X P{1}5212-13n -X P{
1}31X P{1}31X P{=-=Φ-≈<-=<-=<-=>σμ
σμ （2）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于10的概率：
0.15870.8413-1(1)-1(-1))2
12
-10-X P(
10)P(X ==Φ=Φ=<
=<=σ
μ
p 设X 是5个样本中小于10的样本个数则X 服从二项分布B(5,0.1587)故有
()5785.0111-10)P(X -11)(X )
1587.01(1C P
5
5
5
B
=⨯⨯-====≥--p p
即样本的最小值小于10的概率是0.5785.
（3）同（2）要求样本的最大值大于15的概率，即5个数中至少有一个大于15的概率，首先计算每个样本大于15的概率：
0668.00.9332-1(1.5)1)2
12
-15-X P(
115)P(X -115)P(X ==Φ-=<
-=<=>=σ
μ
p 设X 是5个样本中大于15的样本个数则X 服从二项分布B(5,0.0668)故有
()
2923.0111-10)P(X -11)(X )0668.01(1C P 5
5
5
B =⨯⨯-====≥--p p
即样本的最大值大于15的概率是0.2923
第七章参数估计
7.1解因为:错误!未找到引用源。

是抽自二项分布B （m,p ）的样本，故都独立同分布所以有
mp X E =)(用样本均值X 代替总体均值，则p 的矩估计为m
X
p
=ˆ 7.2解：λ
λλ1
)(0
=
•=
⎰
+∞
-xdx x E e
x
用样本均值x 代替总体均值，则λ的矩估计为
λ
ˆx
x E 1
)(1== 由概率密度函数可知联合密度分布函数为：
e e e x x x L n λ
λ
λ
λλλλ---••••=21)(e
n
i i x n
∑==-1
λ
λ
对它们两边求对数可得
∑
-=∑==-=n
i i
n
x e
n x L n
i i 1
ln )ln())(ln(1
λλλλ
λ
对λ求导并令其为0得
0))(ln(1=∑-=∂∂=n
i i x n L λλλ 即可得λ的似然估计值为x n n i i x 111ˆ1
=∑==λ
7.3解:记随机变量x 服从总体为[0,错误!未找到引用源。

]上的均匀分布，则
2
20)(θθ=+=
X E 故错误!未找到引用源。

的矩估计为X 2ˆ=θ X 的密度函数为θ
1
)(=
x p 故它的是似然函数为
I
I
X X L n i
n
n
i n
}
{
1
}
0{)(1
1
)(θθθ
θ
θ≤=≤<
==
∏要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值应
该为1，其次是θ
n
1
尽可能大。

由于θ
n
1
是错误!未找到引用源。

的单调减函数，所以错
误!未找到引用源。

的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了错误!未找到引用源。

不能
小于错误!未找到引用源。

,因此给出错误!未找到引用源。

的最大似然估计=θ
ˆ错误!未找到引用源。

（示性函数I=错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

=min{错误!未找到引用源。

} 错误!未找到引用源。

=max{错误!未找到引用源。

}）
7.4解:记随机变量x 服从总体为[错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

]上的均匀分布，则
232
2)(θθ
θ=
+=
X E 所以错误!未找到引用源。

的矩估计为X 3
2ˆ=θ X 的密度函数为θ
1
)(=
x p 故它的是似然函数为
I I I n n i
n
n
n
i n
X L }
2
{
}
2{1
}
2{x x
1
x x
1
1
)()1()
()
()
1(≤
≤≤<
≤
=≤<
===
∏θθθθθ
θ
θ
θ
θ
要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是θ
n
1
尽可能大。

由于
θn
1是错误!未找到引用源。

的单调减函数，所以错误!未找到引用源。

的取值应该尽可能
小，但示性函数为1决定了错误!未找到引用源。

不能小于错误!未找到引用源。

,因此给出错
误!未找到引用源。

的最大似然估计=θ
ˆ错误!未找到引用源。

7.5 解:似然函数为:e
e
n
i i i n ∑-=-==-
-
-
=∏
1
2
22
2
)X (2)
X (21
)L(
21
2
2
n
1
i 2
)
2(μσσ
μσ
πσπσ
它的对数为:∑---==-n i i n n L 1
222
2
)X (21)ln(2)2ln(2)(
ln μσσσ
π 对
σ
2
求偏导并令它等于零有
0212)(ln 1
2
4
2
2
2
)X (=∑+-
=∂∂=-n i i n L μσ
σ
σ
σ
解得
σ
2
的似然估计值为
∑==-n
i i n 1
22
)X (ˆ1μσ
7.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知
θθ
θ=⋅
==-
+∞∞
+∞
⎰⎰dx x dx x xf e x
-0
1
)()E(x θ2
)(=X Var
(1) θθ
==)()(
X ˆ1
1
E E θθθ=•=+=
+=22
1
))E()(E(21)2
()(X X X X ˆ2121
2
E E θθθ
=•=+=+=33
1))2E()(E(3
1)3(
)(X X 2X X ˆ2
12
13
E E θθθ
=•=++=++==331
))E()E()(E(
3
1)3()E()(X X X X X X ˆ3213
214
E X E
故这四个估计都是错误!未找到引用源。

的无偏估计.. （2）θθ
2
1
1
)()(
V X ˆ==Var ar
2
241
))(V )(V (4
1)2()(V 2
2
2
12
1
2
X X X X ˆθ
θθ
=⋅=+=+=ar ar Var ar
9
591))(V 4)(V (91)3(
)(V 5X X 2X X ˆ2
2
212
13
θθθ=⋅=+=+=ar ar Var ar
3
391))(V )(V )(V (91)3
(
)(V 2
2
3213
214
X X X X X X ˆθθθ=⋅=++=++=ar ar ar Var ar
故有 )(V )(V )(V )(
V ˆˆˆˆ1
3
2
4
θθθθ
ar ar ar ar <<< 7.7证明（1）因为X 服从[错误!未找到引用源。

]上的均匀分布，故
2
1
21
)(+=++=
θθθX E
θθ≠+
==2
1
)()(X E X E 故样本均值不是错误!未找到引用源。

的无偏估计 （2）由（1）可知错误!未找到引用源。

的矩估计为 2
1ˆ-=X θ 又 θθθ
=-+=-=2
1
21)2
1
()ˆ(X E E 故它是错误!未找到引用源。

无偏估计. 7.8解;因为σσθθ
θ
21))1(()ˆ(2
2
2
2
2
1
)1(ˆˆc c c c E Var -+=-+= 要使)ˆ(θ
Var 最小则对)ˆ(θVar 关于c 求一阶导并令其等于零可得 02)1(212)ˆ(22=--=∂∂σσθ
c c c
Var 解得 σσσ2
122
2
2
+=
c
因为对)ˆ(θ
Var 关于c 求二阶导可得 02
2
12)ˆ(2
2
2
2
≥+=∂∂σσθc
Var
故当σσσ2
122
2
2
+=
c 时)ˆ(θ
Var 达到最小。

7.9 解(1)根据题意和所给的数据可得
0.05=α,16=n ,96.1025.02
==Z Z α,01.02
2=σ,125.2=X
0049.096.116
01.02
2
=⨯=
Z
n
α
σ
所以μ的置信区间为
]1299.2,1201.2[]0049.0125.2,0049.0125.2[],[2
2
=+-=+
-
Z Z n
X n
X αα
σ
σ。