切线长定理(用)解析

解：(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
A
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP.
E
O
D
C
P
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得
B
PA 2 + OA 2 = OP 2
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE 平分∠BAC交⊙O于点E,过 点E作⊙O的切线交AC的延 长线于点D,试判断△AED的
形状,并说明理由.
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直 径,AE平分∠BAC交⊙O 于点E,过点E作⊙O的切 线交AC的延长线于点D, 试判断△AED的
形状,并说明理由.
过圆外一点可以引圆的几条切线？
切线的判定方法：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2）到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆
的切线； （3 ）经过半径的外端并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的 半径.
证明一条直线是圆的切线的 常见的两种方法：
当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这 个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这 条半径，简称“作半径，证垂直.”
当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆 心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离 等于半径,简称“做垂直,证半径。”
切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径
几何应用: ∵L是⊙O的切线 ，
∴OA⊥L
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这
.O
条半径的直线是圆的切线.
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
L A
几何应用:
OA是⊙O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
练习1：已知：AB是弦，AD是切
线，判断∠DAC与圆周∠ABC之间
的关系并证明.
BE
C
AD
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交
、另一边和圆相切的角叫做弦切角。
判别下列图形中的角是不是弦切角， 并说明理由。
图2 图1
图3
图4
弦切角性质: 弦切角等于它所夹的 弧所对的圆周角。
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分
两条切线的夹角。
A
O
P
几何语言: B PA = PB
PA、PB分别切⊙O于A、B ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法
试一试
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明. B
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点. 直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形.
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
证一证
请证明你所发现的结论。 B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
A
O。
P
B
尺规作图：
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
OO ·
P
B
比一比
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长。
A
O
·
P
B
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联 系呢？ 切线:不可以度量。切线长：可以度量。
A
1
O
2
P
B
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B 为切点，把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?
A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交
PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的
周长。
易证EQ=EA, FQ=FB,
PA=PB
A
E
O
∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
Q
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∴周长为24cm
P
B
F
变式：如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
⊙O于点D、E，交AB于C。 E O C D
P
（1）写出图中所有的垂直关系
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有相等的线段
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
例题1
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是
OP垂直平分AB
OM
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.
B
CA=CB
。
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
A
D
P
·O
E
C B
例题2
例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，
求证： AD+BC=AB+CD 证明：由切线长定理得
C N
∴AL=AP，LB=MB,NC=MCD，
DN=DP
M O
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2
解得 x = 3 cm
所以，半径 OA 的长为 3 cm.
练一练
已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线， PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。 求证：AC=BD
A C
O·
P
D B
探究：PA、PB是⊙O的两条切
A
线，A、B为切点，直线OP交于