测量钢丝绳的杨氏模量

x xi 4 xi (cm)
/ m （ Kg ） 加砝码时 xi （cm） 减砝码时 xi（cm） 平均值 xi（cm）
mi mi +1.00
0
3
mi +2.00
0
4
mi +3.00
0
5
mi +4.00
0
x
6
mi +5.00
0
7
mi +6.00
0
8
mi +7.00
0
l
x ______ cm ______ m 4
1 ( xi xi) 。数据填入表1。如果读数 xi 和 xi 相差较大， 2
应检查实验装置和测量过程中存在的问题，纠正后，重新进行测量。 4、用安置在木直尺上的钢卷尺测量光杠杆镜面到标尺的距离 D 。 5、将光杠杆置于平坦的纸上，压下三个脚，并按图2.3-5用钢直尺量出 b 。 6、用带有卡具的米尺量出上、下夹头间的钢丝的长度 L 。 7、用螺旋测微计在钢丝不同位置测直径 d 5次。 【数据记录与处理】 1.各个单次测量值:
x
( x 4 x0 ) ( x5 x1 ) ( x6 x 2 ) ( x7 x3 ) 4
标尺读数变化 x 是每增加 4 1.000kg 砝码，
的平均值。这里相当于测量了4次。它保持了多次测 量的优点，充分利用了实验数据。l
1 x ,这个值 4
是每增加1 Kg 拉力钢丝绳的改变量，把它代入公式 （2.3-4） ，可求得 Y 值。 【实验仪器】 杨氏模量测量仪装置，它由两大部分组成：测量仪支架和望远镜（附标尺） ，待测钢
Y
8mgLD
d bl
2
=___________（ N / m ）
2
u 2u u uY u u ( D ) 2 ( L ) 2 ( b ) 2 ( d ) 2 ( l ) 2 ______ Y D L b d l uY Y uY ______( N / m 2 ) Y ( p 0.68)
D (cm) 3 b ______ b (cm) 3 D ______ L ______ L (cm) 3
D 0.05cm
b 0.05cm
( p 0.68) ( p 0.68) ( p 0.68)
L 0.05cm
2.望远镜中标尺的读数： 测 量 次 数 1 2 砝码质量 望远镜标尺的读数
x
( x1 x 0 ) ( x 2 x1 ) ( x 6 x5 ) ( x 7 x 6 ) x 7 x 0 7 7
由上式可见，所有数据中只有x0、x7两个数据起作用，这两个数据如果误差较大将严 重影响结果的准确性，而其他的数据都没有利用，失去了在大量数据中求平均以减小误差 的效果。 如果我们把数据分成两组：一组是 x 0 、 x1 、 x 2 、 x3 ；另一组是 x 4 、 x5 、 x 6 、 x 7 。 对应项的差值为 （ x4 – x0 ） 、 （ x5 – x1 ） 、 …、 （ x7 – x3 ） ，取平均值
实验三
测量钢丝绳的杨氏模量
杨氏弹性模量是描述金属材料抗弹性形变能力的重要物理量，它是选定机械构件材料 的依据之一，是工程技术上常用的参数。 测量材料杨氏弹性模量的方法很多，例如①静态测量法，包括静态拉伸法、弯曲法、 扭转法；②动态测量法，包括横向共振法、纵向共振法、扭转共振法；③波速测量法，包 括连续波法、脉冲波法，等等。本实验是用拉伸法测钢丝绳的杨氏模量。 任何物体在外力作用下都要发生形变，形变分为弹性形变和塑性形变两大类。如果外 力在一定限度以内，当外力撤除后物体能恢复到原来的形状和大小，这种形变称为弹性形 变；如果外力撤除后物体不能恢复原状，而留下剩余的形变，则称为塑性形变。本实验只 研究弹性形变，因而要控制外力的大小，以保证物体作弹性形变。 例如一根长约1 m 的钢丝，在外力作用下产生了一个微小的伸长，数量级约 10 mm ， 用一般长度量具（如米尺、游标尺和螺旋测微计等）去测量此伸长量，根本无法测量。本 实验采用光杠杆镜尺法来测量长度的微小变化，以解决这一难题。镜尺法不仅可以测量长 度的微小变化，也可以测量角度的微小变化。 【实验目的】 1、学会测量金属丝的杨氏弹性模量； 2、掌握光杠杆镜尺法测量长度微小变化的原理，学会具体的测量方法； 3、学习用逐差法处理实验数据。 【实验原理】 一根粗细均匀的金属丝，长度为 L ，截面积为 S 。将其上端固定，下端悬挂质量为 m 的砝码。于是，金属丝受外力 F mg 的作用伸长了 L 。把单位截面积上所受的作用力
变化前与叉丝横线重合的标尺读数为 x 0 ，当长度变化 L 时，光杠杆后足就随之移动 L ， 因而横架与小镜镜面都要绕前足连线转动一微小角度 ，这时与望远镜叉丝横线重合的标 尺读数也作相应的变化，设为 x1 ，由光的反射定律可知： ∠ x1Ox 0 2 若光杠杆的后足到两前足连线的垂直距离为 K ，镜面到标尺的距离为 D ， x1 与 x 0 的 距离为 l ， l x1 x0 。在长度变化 L 很小的情况下，
ul A u xA t
( x x ) 2 _______ cm _____ m 4(4 1) ulB
2
( p 0.68)
0.05 cm _____ m 3
2
( p 0.68) ( p 0.68) ( p 0.68)
ul ulA ulB ________ m l l ul ____ _____ m
1
F / S 称为应力，单位长度的伸长 L / L 称为应变。于是，根据胡克定律有：在弹性限度内，
物体的应力 F / S 和Байду номын сангаас产生的应变 L / L 成正比，即：
mg L Y S L
（2.3-1）
比例恒量Y就是该材料的弹性模量，简称杨氏模量，它在数值上等于产生单位应变的 应力。它的单位为 N / m 或 Pa 。由（2.3-1）式可得：
2
Y
mg L S L
（2.3-2）
根据（2.3-2）式，测出等号右端的各量，杨氏模量便可求得。加于金属丝的外力以 及金属丝的原长 L 和截面积 S 都可用一般方法测得。 唯有伸长量 L 是一个微小变量， 一般 较难测准，现以本实验中所用的钢丝为例，估算 L 的大小。 设钢丝长度 L 90.0cm ，直径 d 0.500mm ，悬挂砝码质量 m 1.000Kg 。若钢 丝的杨氏弹性模量 Y 2.00 10 N / m ，则
4.
试分析你的测量中哪一项相对不确定度最大？如何改进？
附录 表 3 各种固体的杨氏弹性模量
tan
所以
L l 和 2 tan 2 D b
L
bl 2D
（2.3-3）
由式（2.3-3）可知，光杠杆镜尺法的作用在于将长度的微小变化量，经光杠杆转变 为角度的微小变化量，同时再经望远镜和标尺把它转变为较大的标尺读数变化量 l 。 比值
l 2D 就是光杠杆镜尺的放大倍数。 L b
5(5 1)
0.004 mm ______ m 3
2 2
u d u dA u dB _____ m d d u d ______ _______ m
4. 将所有的测试数据代入(2.4-4)式计算 Y ,并求出测量结果的总合成不确定度 uY ， 写出杨氏模量测量结果的标准式：
3. 钢丝直径的测量 螺旋测微计零差：________ mm 测量次数 1 2 3 4
5
平均值
d （ mm ）
u dA t u dB
(d
i 1
n
i
d )2 ___________ mm =_______ m ( p 0.68) ( p 0.68) ( p 0.68) ( p 0.68)
丝的一端固定在上夹头上（支架上端） ，另一端固定在平台处的下夹头上，下夹头可在平台 孔中上下移动。夹头下方有砝码钩，用来放置砝码，使钢丝受力，光杠杆的两前足放在固 定平台上，后足放在可上下移动的夹头上，当增加砝码时，钢丝伸长，夹头下降。由望远 镜中读出标尺的读数，从而可计算钢丝伸长量 L 。望远镜和标尺装置如图2.3-4所示。 【实验步骤】 1、光杠杆与望远镜的安装和调节方法如下： 调节望远镜与光杠杆大致等高。调节光杠杆镜面大致垂直。 先用目测法在望远镜外面附近寻找光杠杆镜中标尺的像。 移动望远镜位置，使缺口与准星对准镜中标尺的像。 调节望远镜目镜，看清望远镜中的十字叉丝。 调节望远镜的调焦手轮，直到看清镜面反射的标尺刻度，并且刻度与十字叉丝无视差 为止（视差是由于标尺刻度成像面没有落在十字叉丝面上，因此，当眼睛上下移动时，刻 度像与叉丝有相对移动） 。 2、在钢丝下端先挂若干砝码（1.000 Kg ） ，使钢 丝完全拉直（此砝码不计入所加作用力 mg 之内） 。 3、安装光杠杆，调节好望远镜，读下此时望远镜 中标尺读数 x 0 以后，每加1.000 Kg 砝码，记录望远镜 中读数 xi (i 1 、2、3…） ，直到7×1.000 Kg 为止，然 后，将砝码逐次减少1.000 Kg ，相应地记录望远镜中读数 xi 。取增荷和减荷时，对应于同 一荷重下两次读数的平均值 xi
( p 0.68)
Y uY ____________（ N / m 2 ） ( p 0.68)
（1.782+0.032）X1011 （1.78+0.32）X 1011
【思考题】 1. 简述光杠杆镜尺法测量长度微小变化的原理，其放大倍数与哪些量有关？ 2. 3. 什么是逐差法？它应用的条件是什么？ 作图法和逐差法处理实验数据各有什么特点？
2
本实验的 b 值约为 7.00 10 m ， D 约为 1.700 ～ 1.900 m ，所以放大倍率 约为50 倍左右。将（2.3-3）式代入（2.3-2）式，得：
Y
2 LDg m 8 LDg m Sb l d 2 b l
（2.3-4）
式中 d 为钢丝直径。在实验装置已定的情况下， （2.3-4）式中的 L 、 D 、 g 、 S 和 b 各量均为常量，唯有 l 随悬挂砝码质量 m 的增加而增大。 逐差法： 逐差法是处理实验数据的一种方法。因为算术平均值最接近真值，所以，为了求得较 准确的结果，在实验中应尽可能多次测量。但在有些实验中，如果简单地取各次测量的平 均值，并不能达到好的结果。例如本实验每次增加砝码1.000 Kg ，连续增加7次，可读得8 个标尺读数，它们分别为 x 0 、 x1 、 x 2 、… x 7 ，相应的差值为（ x1 – x 0 ） 、 （ x 2 – x1 ） 、…、 （ x7 – x6 ） 。那么，每增加1.000 Kg 砝码，标尺读数变化的平均值为：
11 2
ΔL
mg L 1.000 9.80 4 90.0 10 2 S Y π (0.500) 2 10 6 2.00 1011
2.2 10 4 m 0.22mm
对如此微小的伸长量，常采用光杠杆镜尺法，将它比较准确地测量出来。本实验用光 杠杆法进行测量。 光杠杆镜尺法测量长度微小变化的原理 光杠杆的构造如图2.3-1所示。在“ T ”形横架 上装一小镜，架子下面有三只足。测量时调节镜面大 致垂直，把光杠杆的两个前足放在固定平台上如图 2.3-2所示， 后足放在待测长度变化的钢丝夹头上， 在 镜前相当距离处（约 1.70 m 以上） ，竖一和长度变化 方向平行的标尺，尺旁放一望远镜，从中可以看清由 小镜反射的标尺，并可读出与望远镜叉丝横线相重合 的标尺读数。 光杠杆镜尺法的原理如图3所示， 若长度