中考数学旋转综合题汇编附详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b．

（1）如图1，当a＝42时，求b的值；

（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；

（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．

【答案】（1）422）b＝8；（3）ab＝32．

【解析】

试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝2，∠ACB＝45°．

再CE＝a＝2∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC；

（2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得；

（3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.

试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝2，∠ACB＝45°．

∵CE＝a＝2∴∠CAE＝∠AEC＝45

2︒

＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，

∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42

（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC．

又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CF

EC CA

=，∴

42

442

=∴CF＝

8，即b＝8．（3）ab＝32．

提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CF

EC CA

=，∴

42

42

a

=，∴ab＝32．

2．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：

()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为21.(2a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE

()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由． ()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．

【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为212

a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为

214

a ． 【解析】

【分析】 ()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌

BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论； ()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出

ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论； ()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形

的性质可以得出1BF BC 2

=，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由

三角形的面积公式就可以得出结论．

【详解】 ()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，

BED ACB 90∠∠∴==，

由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，

ABC DBE 90∠∠∴+=，

A ABC 90∠∠+=，

A DBE ∠∠∴=，

在ABC 和BDE 中，

ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

ABC ∴≌()BDE AAS

BC DE a ∴==，

BCD 1S BC

DE 2

=⋅， 2BCD 1S a 2

∴=； ()2BCD 的面积为21a 2

， 理由：如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，

BED ACB 90∠∠∴==，

线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ，

AB BD ∴=，ABD 90∠=，

ABC DBE 90∠∠∴+=，

A ABC 90∠∠+=，

A DBE ∠∠∴=，

在ABC 和BDE 中，

ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

ABC ∴≌()BDE AAS ，

BC DE a ∴==，

BCD 1S

BC DE 2=⋅， 2BCD 1S a 2∴=； ()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，

AFB E 90∠∠∴==，11BF BC a 22

=

=， FAB ABF 90∠∠∴+=， ABD 90∠=，

ABF DBE 90∠∠∴+=，

FAB EBD ∠∠∴=，

线段BD 是由线段AB 旋转得到的，

AB BD ∴=，

在AFB 和BED 中，

AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

AFB ∴≌()BED AAS ，

1BF DE a 2∴==

， 2BCD 1111S BC DE a a a 2224

=⋅=⋅⋅=， BCD ∴的面积为21a 4

． 【点睛】

本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.

3．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC ＝EC ，连接DE 、AE 、BD ．点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．