几何证明——角平分线模型(高级)
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（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，判断∠AOD与∠AOE的数量关系，并证明；
（3）在四边形ABCD中，已知BC=DC，且AB≠AD，对角线AC平分∠BAD，请直接写出∠B和∠D的数量关系．
11．（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：∠PAC+∠PBC=°（直接写出结论，不需证明）．
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．
17．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准点．
（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准点．
（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；
（2）求证：AB=CF+DM．
19．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，
AF与BG交于点E．
（1）求证：AF⊥BG，DF=CG；
（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度．
20、平行四边形 中， ， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ， 、 交于点 ，若 。求证： 。
几何证明——角平分线模型(高级)
【经典例题】
例1、已知如图， 中， ， 平分 ，若 ，求证： 。
例2、如图，已知在 中， ， 的角平分线 相交于点 ，求证： 。
例3、如图， 平分 ， ， ，求 .
例4、已知，如图 中， 为 的角平分线，求证： ．
例5、如图，已知 为锐角△ 一点，过 分别作 的垂线，垂足分别为 ， 为 的平分线， 的延长线交 于点 ；如果 ，求证： 是 的平分线。
14．在 中，AD是∠BAC的平分线．
（1）如图①，求证： ；
（2）如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；
（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．
15．如图，在 中，∠ABC=90°，D为BC上一点，在△ADE中，∠E=∠C，∠1=90°﹣ ∠EDC．求证：
（1）∠1=∠2；
（2）ED=BC+BD．
例6、如图，在梯形 中， ， ， ， 是腰 上一点，连接 、 、 ，若 ， ，求 的度数．
例7、已知： 中， ， 的中点为 ， 交 的角平分线于 ．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，若 ，则 、 、 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．
【提升训练】
1、在 中， ， 是 的平分线． 是 上任意一点．求证： ．
2、如图，在 中， 等于 ， 平分 平分 ，求证： 。
3、如图所示，在 中， 平分 ， ， 于 ，求证： 。
4、已知 是 角平分线的交点， 交对应边于 。求证： 。
5、（1）如图， 、 分别是 的外角平分线，过点 作 ， ，垂足分别为 、 ，连接 ，延长 、 ，与直线 相交，求证： 。
（2）若 、 分别是 的角平分线（如图（2）），过点 作 ， ，垂足分别为 、 ，连接 ，线段 与 三边有怎样的数量关系？；
21、如图，在 中， 是 外角平分线上一点，求证： 。
22．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
求证： ．
8．如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，K为ED的中点，KF⊥AB于F，KG⊥AC于G，KH⊥BC于H，求证：KF+KG=KH．
9．已知 ， Biblioteka Baidu ， ， 于点 ，求证： ．
10．（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=30，BC=23，请补全图形，并求△ABP与△BPC的面积的比值；
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
（3）判断下列命题的真假，在括号填“真”或“假”．
①任意凸四边形一定存在准点．（）
②任意凸四边形一定只有一个准点．（）
③若P是任意凸四边形ABCD的准点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）
18．如图，已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；
（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：FK∥AB．
16．如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？
（3）若 为 的角平分线， 为 的外角平分线（如图（3）），过点 作 ， ，垂足分别为 、 ，连接 ，则线段 与 三边又有怎样的数量关系？
6、如图，已知 ， 为 的角平分钱， 为 的中点，点 到 ， ， 的距离分别为 ， ， ，若 。
（1）求 ， ， ， 的值；（2）求证： 。
7．已知如图， 是 斜边上的高， 的平分线交 于 ，交 的平分线于 ，
（2）已知：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．
12．如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．
（3）在四边形ABCD中，已知BC=DC，且AB≠AD，对角线AC平分∠BAD，请直接写出∠B和∠D的数量关系．
11．（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：∠PAC+∠PBC=°（直接写出结论，不需证明）．
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．
17．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准点．
（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准点．
（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；
（2）求证：AB=CF+DM．
19．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，
AF与BG交于点E．
（1）求证：AF⊥BG，DF=CG；
（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度．
20、平行四边形 中， ， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ， 、 交于点 ，若 。求证： 。
几何证明——角平分线模型(高级)
【经典例题】
例1、已知如图， 中， ， 平分 ，若 ，求证： 。
例2、如图，已知在 中， ， 的角平分线 相交于点 ，求证： 。
例3、如图， 平分 ， ， ，求 .
例4、已知，如图 中， 为 的角平分线，求证： ．
例5、如图，已知 为锐角△ 一点，过 分别作 的垂线，垂足分别为 ， 为 的平分线， 的延长线交 于点 ；如果 ，求证： 是 的平分线。
14．在 中，AD是∠BAC的平分线．
（1）如图①，求证： ；
（2）如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；
（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．
15．如图，在 中，∠ABC=90°，D为BC上一点，在△ADE中，∠E=∠C，∠1=90°﹣ ∠EDC．求证：
（1）∠1=∠2；
（2）ED=BC+BD．
例6、如图，在梯形 中， ， ， ， 是腰 上一点，连接 、 、 ，若 ， ，求 的度数．
例7、已知： 中， ， 的中点为 ， 交 的角平分线于 ．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，若 ，则 、 、 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．
【提升训练】
1、在 中， ， 是 的平分线． 是 上任意一点．求证： ．
2、如图，在 中， 等于 ， 平分 平分 ，求证： 。
3、如图所示，在 中， 平分 ， ， 于 ，求证： 。
4、已知 是 角平分线的交点， 交对应边于 。求证： 。
5、（1）如图， 、 分别是 的外角平分线，过点 作 ， ，垂足分别为 、 ，连接 ，延长 、 ，与直线 相交，求证： 。
（2）若 、 分别是 的角平分线（如图（2）），过点 作 ， ，垂足分别为 、 ，连接 ，线段 与 三边有怎样的数量关系？；
21、如图，在 中， 是 外角平分线上一点，求证： 。
22．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
求证： ．
8．如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，K为ED的中点，KF⊥AB于F，KG⊥AC于G，KH⊥BC于H，求证：KF+KG=KH．
9．已知 ， Biblioteka Baidu ， ， 于点 ，求证： ．
10．（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=30，BC=23，请补全图形，并求△ABP与△BPC的面积的比值；
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
（3）判断下列命题的真假，在括号填“真”或“假”．
①任意凸四边形一定存在准点．（）
②任意凸四边形一定只有一个准点．（）
③若P是任意凸四边形ABCD的准点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）
18．如图，已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；
（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：FK∥AB．
16．如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？
（3）若 为 的角平分线， 为 的外角平分线（如图（3）），过点 作 ， ，垂足分别为 、 ，连接 ，则线段 与 三边又有怎样的数量关系？
6、如图，已知 ， 为 的角平分钱， 为 的中点，点 到 ， ， 的距离分别为 ， ， ，若 。
（1）求 ， ， ， 的值；（2）求证： 。
7．已知如图， 是 斜边上的高， 的平分线交 于 ，交 的平分线于 ，
（2）已知：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．
12．如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．