惯性传感器及发展概述

二自由度陀螺 系统模型：系统方块图
➢拉氏变换方程
➢改写方程，画出系统方块图
➢每个力矩都同时引起陀 螺仪的两种运动，陀螺
力矩起耦合作用
二自由度陀螺 系统模型：传递函数
➢由拉氏变换方程求解两个框架角α、β ，得到
➢由此可以得到从 Mx1、My 分别到α和β的四个传递函数 ➢改写分母项
固有振荡频率
二自由度陀螺 脉冲响应：输入输出
惯性传感器及发展概述
2020年4月23日星期四
机械转子式陀螺仪的概述
➢陀螺的基本部件 陀螺转子(Rotator) 内、外框架(Gimbal)（支承部件） 附件（电机、力矩器、传感器等）
➢陀螺的分类（机械转子式） ➢ 二自由度(Two-Degree-of-Freedom) ➢ 单自由度(Single-Degree-of-Freedom)（速率 、积分）
➢根据投影
➢求导式展开，忽略高阶 小量，得到
二自由度陀螺 运动方程：力矩投影
➢力矩的变换 ➢代入上式，得到
➢实际β角很小，上式简化成
➢上式称为陀螺仪的技术方程。 ➢技术方程的物理意义（惯性力 矩和进动力矩）
二自由度陀螺 系统模型：拉氏变换
二自由度陀螺仪的技术方程 拉氏变换
整理
当初始条件都为零，得到
➢可见，力矩 Mx1 引起转子轴 同时绕内外两个框架作等幅振 荡，相位相差90度。
➢消去时间变量，得轨迹方程
二自由度陀螺 脉冲响应：计算例子
例子：设 Jx = Jy = Je = 1.38 克·厘米·
秒2，
（注：克 = 克重，相当
H = 5160 克·厘米·秒，
于每克物体的重量）
Mx1 = 36200 克·厘米 × 10-5 秒
章动的幅度（半径） 章动的特点：高频、微幅
角分
二自由度陀螺 阶跃响应：输入输出
如果陀螺仪受到的力矩为常值，可以用阶跃函数表示：
陀螺系统的初始条件都为零时，频域输出响应为：
二自由度陀螺 阶跃响应：时域响应
设 Jx = Jy = Je，并令ω02 =H / (Jx·Jy) 反拉氏变换，得时域响应：
动态响应：章动 稳态响应：进动和等效弹簧效应
进动角速度的方向和大小
➢进动角速度的方向：最短路径法则 （H 沿最短路径趋向 M ）
➢进动角速度的大小：根据 M = ω×H，写成标量形式：
M = ω·H·sinθ
因此
ω = M /（H·sinθ）
进动角速度大小与外力矩的大小成正比，与转子的动量矩的大小 成反比。
陀螺动力效应：陀螺力矩
外加力矩
陀螺力矩(Gyro Torque) ：反作用力矩
➢冲击力矩的数学模型：脉冲函数，数值极大，时间极短，对 时间的积分是一个有限值
➢代入系统的拉氏变换模型：
➢求解α(s) 和β(s)，得到
其中
二自由度陀螺 脉冲响应：响应轨迹
➢假设 Jx = Jy = Je，并令 ω02 = H2 / (Jx·Jy)，
➢部分分式展开，反拉氏变换 得：
➢轨迹圆，半径…圆心…频率 …
二自由度陀螺 阶跃响应：轨迹
对前式移项后两边平方相加，得到转子轴的轨迹方程
旋轮线：圆周运动（章动）和平移运动（进动）的合成。解释：
圆周运动线速度
圆心移动速度
：
：
两种运动合成的结果：车轮无摩擦滚动——旋轮线
其中进动起主导作用
二自由度陀螺 阶跃响应：计算例子
➢例题：My = 1 克·厘米； H = 10000 克·厘米·秒； Jx = Jy = Je = 4 克·厘米·秒2；常值干扰力矩作用时间 t = 60 秒。 陀螺漂移率
➢定轴性的相对性(二)：章动 (Nutation)现象
陀螺受冲击力矩时，自转轴将在原来的空 间方位附近作锥形振荡运动
二自由度陀螺 运动方程：初步分析
从定性到定量：引入坐标系 ➢外、内框架和转子坐标系
➢任务：描述当沿着内外框架轴 施加力矩时，陀螺框架角α、β的 变化规律
➢方法：动量矩定理 + 苛氏定律
➢以上称变态欧拉动力学方程
➢实际的陀螺中，一般赤道转动 惯量 Jx = Jy，由第三式可得
➢对前两式，忽略 角速度高阶小量， 得到简化方程
➢关于框架角速度和 外加力矩的方向
二自由度陀螺 运动方程：角速度投影
➢代入简化方程，得到
两种角速度的关系 ➢内框架坐标系 x y z 的ω等 于两个欧拉角速度的矢量和
二自由度陀螺 正弦响应：轨迹
➢可见 Mx1 使转子轴同时绕内 外框架轴做受迫振荡。 ➢消去时间变量，得到轨迹方程
➢椭圆：长、短半轴的判断 ➢不同类型的干扰力矩对陀螺 仪精度影响程度的比较： ➢ 常值 > 正弦 > 冲击
二自由度陀螺对外加力矩响应的总结
动态响应（双轴）
章动
二
外
自
加
由
力 矩
度 陀
静态响应（同轴）
二自由度陀螺仪进动性
➢进动性(Proceeding)
转子没有旋转时 ，给陀螺悬挂重 物
进动的规律
➢进动性：陀螺仪受到外力矩时 ，转子自转轴的转动方向与外力 矩方向相垂直的现象 ➢进动、进动角速度
用动量矩定理解释进动：近似推导
➢动量矩定理
➢H 的近似表示： ➢动量矩定理 + 苛氏定律
此即二自由度陀螺仪的进动方程
漂移的角度
章动振幅
章动频率 ➢常值干扰力矩的产生原因及影响
二自由度陀螺 正弦响应：输入输出
如果外加力矩方向不断改变，大致可以用简谐函数描述 初始条件都为零时，陀螺频域输出响应为：
令 ω02 = H2 / (Jx·Jy) ，并部分分式展开及反拉氏变换，得
二自由度陀螺 正弦响应：时域响应
章动项 强迫简谐振动项 常值项 ➢设ωa《ωo ，Jx = Jy = Je，则上述响应式可以简化成：
陀螺力矩的方向判断 陀螺力矩的作用对象
陀螺动力（稳定）效应，对外框架有效
陀螺动力（稳定）效应，对内框架无效
定轴性；漂移、章动
➢二自由度陀螺仪的定轴性
二自由度陀螺仪具有抵抗干 扰力矩，力图保持其自转轴 相对惯性空间方位不变的特 性（定轴性、或稳定性）。
➢定轴性的相对性(一)：陀螺漂移
➢
ωd = Md / H
二自由度陀螺 运动方程：矢量表示
➢转子的绝对角速度：分解表示 内框架坐标系的牵连角速度：
转子相对内框架的角速度： 转子的绝对角速度：
➢转子的动量矩：
二自由度陀螺 运动方程：推导
➢源自文库据动量矩定理和苛氏定律 ➢其中
二自由度陀螺 运动方程：合并简化
➢对每个坐标分量，分别写出方程
➢陀螺稳态工作时 ，Mz = 0，因此