基础知识天天练 数学5-1

第5模块 第1节
[知能演练]
一、选择题
1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n
3n ＋1
，那么这个数列是
( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．常数列 解法一：∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)3(n ＋1)＋1－2n
3n ＋1
＝2
[3(n ＋1)＋1](3n ＋1)
>0， ∴a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列．
解法二：研究函数f (x )＝2x
3x ＋1
(x >0)的单调性，
f (x )＝2x ＋23－233x ＋1＝23(3x ＋1)－
233x ＋1＝23－23(3x ＋1)，∴f (x )＝2x
3x ＋1
在(0，＋∞)上单调递增，
∴f (n ＋1)>f (n )，故a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列． 答案：A
2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5
等于
( )
A.6116
B.259
C.2516
D.3115 解法一：由已知得a 1·a 2＝22，∴a 2＝4.
a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝9
4，
a 1·a 2·a 3·a 4＝42，∴a 4＝16
9，
a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52，∴a 5＝25
16
.
∴a 3＋a 5＝94＋2516＝61
16
.
解法二：由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(n n －1
)2
(n ≥2)，
∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝61
16
.
答案：A
3．若数列{a n }的通项公式a n ＝1
(n ＋1)2
，记f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算
f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )为
( )
A.n ＋1n
B.n ＋3n ＋1
C.n ＋2n ＋1
D.n ＋3n ＋2
解析：f (1)＝2(1－a 1)＝32＝1＋2
1＋1
，
f (2)＝2(1－14)(1－19)＝43＝2＋2
2＋1
，
f (3)＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)
＝2(1－14)(1－19)(1－116)＝54＝3＋2
3＋1
，
可猜测f (n )＝n ＋2
n ＋1
.
答案：C
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于
( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
解析：∵S n ＝n 2
－9n ，
∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8也适合上式，
∴a n ＝2n －10，又5<2k －10<8，15
2
<k <9，∴k ＝8.
答案：B 二、填空题
5．数列{a n }满足a n ＋1＝
⎩
⎨⎧
2a n ， 0≤a n <1
2
，
2a n －1， 1
2
≤a n <1，
a 1＝3
5
，则数列的第2008项为
________．
解析：∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝1
5，
∴a 3＝2a 2＝25，∴a 4＝2a 3＝4
5，
a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝1
5
…，
∴该数列的周期为T ＝4.∴a 2008＝a 4＝4
5
.
答案：45
6．已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{a n }的一个通项公式a n ＝________. 解法一：由a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1， 可得a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4， ∴数列的通项公式a n ＝n .
验证：当a n ＝n 时，(n ＋1)a n ＝na n ＋1成立．
解法二：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1可得a n ＋1a n ＝n ＋1
n .
∴当n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2
，…，a 3a 2＝32，a 2
a 1＝2.
将以上各式累乘求得a n
a 1
＝n ，∴a n ＝n ，而n ＝1时也适合．
∴数列的通项公式为a n ＝n . 答案：n
三、解答题
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，求数列的通项公式．
解：S n 满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，∴1＋S n ＝2n ＋
1，
∴S n ＝2n ＋
1－1.
∴a 1＝3，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋
1－1)－(2n －1)＝2n (n ≥2)，
∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3 (n ＝1)，
2n (n ≥2).
8．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1
a n －1
(n ≥2，n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n .
(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2008.
(1)证明：a n ＋3＝1－1a n ＋2
＝1－1
1－1a n ＋1
＝1－11－11－1a n ＝1－1
1－
1a n －1a n
＝1－11－
a n a n －1＝1－1
a n －1－a n
a n －1
＝1－1
－1a n －1
＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .
(2)解：由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，
a 1＝1
2
，a 2＝－1，a 3＝2.
又∵a 2008＝a 3×669＋1＝a 1＝12.∴a 2008＝1
2
.
[高考·模拟·预测]
1．记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝
( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．－2
解析：取n ＝1得a 1＝2(a 1－1)，所以a 1＝2，再由n ＝2得2＋a 2＝2(a 2－1)，所以a 2＝
4.
答案：A
2．在数列{a n }中，若a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n 是
( )
A.2n ＋13
B.n ＋23
C.12n －1
D.13n －2
解析：将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0的两边同时除以a n a n －1(a n a n －1≠0)得：3＋1a n －1－1a n
＝0，
1
a n －1a n －1
＝3，故数列{1a n }是首项为1，公差为3的等差数列，1a n ＝1a 1＋(n －1)×3＝3n －2，故
通项a n ＝1
3n －2.
答案：D
3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (20－n )，则当a n a n ＋1<0时，n ＝________.
解析：由S n ＝n (20－n )得，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (20－n )－(n －1)[20－(n －1)]＝－2n ＋21； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1×(20－1)＝19＝－2×1＋21. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋21.
由a n ·a n ＋1＝(－2n ＋21)[－2(n ＋1)＋21]＝(－2n ＋21)(－2n ＋19)<0⇔192<n <21
2
，因为
n ∈N ，所以n ＝10.
答案：10
4．设a 1＝2，a n ＋1＝2
a n ＋1，
b n ＝|a n ＋2a n －1
|，n ∈N *，则数列{b n }的通项b n ＝________.
解析：∵b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1＝
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪2
a n ＋1＋22a n ＋1
－1
＝ ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2(a n ＋2)a n ＋1－(a n －1)a n ＋1
＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2(a n ＋2)a n －1＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n
.
又b 1＝4，∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋
1.
答案：2n ＋
1
5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)由已知有a 1＋a 2＝4a 1＋2，
解得a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3.
又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2)＝4a n ＋1－4a n ， 于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n . 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知等比数列{b n }中b 1＝3，公比q ＝2，所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －
1，于是a n ＋12
n ＋1－a n 2n ＝
34，因此数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －1
4
，所以a n ＝(3n －1)·2n －2
.
[备选精题]
6．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1
n )a n ＋n ＋12
n .
(1)设b n ＝a n
n
，求数列{b n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1
2
n ，
即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋1
2，
b 3＝b 2＋1
2
2，
……
b n ＝b n －1＋1
2
n －1(n ≥2)，
于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋1
2
n －1
＝2－1
2
n 1(n ≥2)．
又b 1＝1，故所求的通项公式b n ＝2－
1
2
n 1.
(2)由(1)知，a n ＝n (2－12n －1)＝2n －n
2n －1.
令T n ＝∑k ＝1n
k
2
k －1，则
2T n ＝∑k ＝1
n
k
2
k －2.
于是T n ＝2T n －T n ＝∑k ＝0n －1
12
k －1－n
2n －1＝4－n ＋22
n －1. 又∑k ＝1
n (2k )＝n (n ＋1)，
所以S n ＝n (n ＋1)＋
n ＋2
2
n －1
－4.。