抛物线的简单几何性质习题一(附答案)

抛物线的简单几何性质习题一

【同步达纲练习】

A 级

一、选择题

1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线

2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) A.2.5 B.5 C.7.5 D.10

3.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )

A.y 2=11x

B.y 2=-11x

C.y 2=22x

D.y 2=-22x

4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( )

A.小于90°

B.等于90°

C.大于90°

D.不能确定

5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定

二、填空题

6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .

7.若以曲线252x +16

2

y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于

A 、

B 两点，则｜AB ｜= .

8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 .

三、解答题

9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.

10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.

AA 级

一、选择题

1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2p C.4p D.不确定

2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( )

A.15

B.415

C.215

D.42

3.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称

C.关于原点对称，但不关于y=x 对称

D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称

4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-

x p B.

y p C.px - D.-px 0

5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则

2

12

1x x y y 的值一定等于( ) A.4 B.-4 C.p 2 D.-p 2

二、填空题

6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 .

7.以椭圆5

2x +y 2

=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个

公共点是A ，则｜AF ｜= .

8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为 .

三、解答题

9.抛物线y=-

2

2x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线

OA 和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.

10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜

2

r

),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.

【素质优化训练】 一、选择题

1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )

A.x 3=x 1+x 2

B.x 3=

11x +2

1x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1 D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 2

3.当0＜k ＜

3

1

时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( )

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.不确定

5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )

A.-1

B.1

C.7

D.9

二、填空题

6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为 .

7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是 . 8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则

m 1+n

1

= .

三、解答题

9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +n

m

的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.