弧度制优秀教学设计

运用弧度制解决具体的问题。
【课时安排】
1 课时
【教学过程】
一、复习引入：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是 rad 读作弧度，
这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
如下图，依次是 1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad
rr
1rad
r
2r
2rad
r
A． 6 rad
B．－ 6 rad
C． 12 rad
D．－ 12 rad
3．一个半径为 R 的扇形，它的周长是 4R，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）
A 1 (2 sin1cos1)R 2 2
C. 1 R2 2
B. 1 sin1cos1R 2 2
D.(1 sin1cos1)R 2
l 11 10 55 (cm)
（2）
180
12
∴ 12
6
例 6 已知扇形周长为 10cm，面积为 6cM²，求扇形中心角的弧度数。
解：设扇形中心角的弧度数为 α(0<α<2π)，弧长为 l，半径为 r，
由题意：
l
2r 1lr 2
10 6
r 2 5r 6 0
五、小结：用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。
【作业布置】
1．两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1∶2，则两个扇形周长的比为（ ）
R oS l
l rad 弧长为 l 的扇形圆心角为 R
S l 1 R 2 1 lR
∴ R 2
2
比较这与扇形面积公式
S扇

nR 2 360
要简单
三、讲解范例： 例 1．求图中公路弯道处弧 AB 的长 l （精确到 1m）图中长度单位为：m
60
解： ∵
3
l R 45 3.14 15 47(m)
11π
弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4
2π
/6
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与
实数的集合之间建立一种一一对应的关系
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
任意角的集合 实数集 R
l 5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：

nr 180
sin
sin 45

2
∴4
2
1.5rad 57.30 1.5 85.95 85 57'
∴ tan1.5 tan 85 57' 14.12 例 4 将下列各角化成 0 到 2 的角加上 2k (k Z ) 的形式
19 （1） 3
（2） 315
19 6 解： 3 3 315 45 360 2
4 4
例 5 直径为 20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 （1） 3
（2） 165
解：
r 10cm
（1）
l r 4 10 40 (cm)
3
3
165 165(rad ) 11 rad
5718'
在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0
π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
（5）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）用角度制和弧度 制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同
2． 角度制与弧度制的换算： ∵ 360=2 rad ∴180= rad
rad 0.01745rad ∴ 1= 180
1rad


180


57.30
S扇 ；

nR 2 360
二、讲解新课： 1．弧长公式： l r
l 由公式： r
l r
l nr 比公式 180 简单
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
S 1 lR
2．扇形面积公式
2
其中 l 是扇形弧长， R 是圆的半径
1 R 2 证：如图：圆心角为 1rad 的扇形面积为： 2
1 4．圆的半径变为原来的 2 ，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的
倍。
5．若α＝－216°，l＝7π，则ｒ＝
（其中扇形的圆心角为α，弧长为 l，
半径为 r）。
30
2
6．在半径为 的圆中，圆心角为周角的 3 的角所对圆弧的长为
。
参考答案：1．B 2．B 3．D 4．2
35 5． 6 6．40
弧度制
【教学目标】
1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形
面积公式。
2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力
3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证
统一的，而不是孤立、割裂的关系。
【教学重点】
运用弧度制解决具体的问题。
【教学难点】
∴
3
例 2．已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积
解：设扇形的半径为 r，弧长为 l ，则有
2rl r1l

6

r l

2 2
S 1 rl 2(cm)2 ∴ 扇形的面积 2
A
B
o
sin 例 3．计算 4 和 tan1.5
45 解：∵ 4
r 2 r 3
∴ l 6 或 l 4 ∴ l =3 或 4
r
3
四、课堂练习：
1．圆的半径变为原来的 2 倍，而弧长也增加到原来的 2 倍，则（ ）
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的 2 倍 D．扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 2．时钟经过一小时，时针转过了（ ）
3r
3rad
r
l来自百度文库
rad
r
探究：
（1）平角、周角的弧度数，（平角= raD．周角=2 rad）
（2）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0
l
（3）角的弧度数的绝对值
r （ l 为弧长， r 为半径）
（4）角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有 不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、 处理方法，因此结果就有所不同