高数-不定积分讲解

s(t ) v(t ), ∴ s (t) 是 v (t) 的原函数。
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有关原函数的几个问题 1. 在什么条件下, f (x) 一定存在原函数？
原函数存在定理： 若 f (x) 在区间I 上连续， 则在 I 上必存在原函数。
2. 如果 f (x) 有原函数，那么共有几个？ 设F (x) 为 f (x) 的原函数，则
由题意，曲线上点(x, y)的切线斜率 dy 6x, dx
y 6xdx 3x2 C ,
为一簇积分曲线。
y |x1 2, 即有2 3 C C 1.
所求曲线为：y 3x2 1 .
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二、 基本积分表
依基本导数公式与不定积分的定义， 即可得基本积分公式： 请同学们参见教材第186页15个公式。
先积分后微分的作用相互抵消。
又 F ( x)d x f ( x)d x F ( x) C ,
或 d F ( x) F ( x) C（, F ( x)dx dF ( x)）
先微分后积分的作用抵消后加任意常数C。 9
例：求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的 切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线。 解：设所求曲线方程为 y = f (x) .
(x) F(x) C
∴F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。 6
定义2：函数 f (x) 的全体原函数就称为
f (x) 的不定积分。 记作 f ( x)d x .
其中 — 积分号 f (x) — 被积函数
f (x) d x — 被积表 x — 积分变量 达式
若F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则
F ( x) f ( x),
且 (F ( x) C ) f ( x), C 为任意常数。
∴ f (x) 如有原函数，就有无穷多个。5
3. 如果 f (x) 有一个原函数 F (x) , 那么F (x) + C 是否包含了 f (x) 的 所有原函数？
设 (x)是 f (x)的任一个原函数，
则 ( x) f ( x) [ ( x) F ( x)] f ( x) f ( x) 0 ( x) F ( x) C (C是常数)
ln a
sin x d x cos x C ,
掌握被积函数的恒等变形。
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例5. cot2 x d x (csc2 x 1) d x
cot x x C.
同理， tan2 x d x (sec2 x 1) d x
tan x x C .
例6.
sin2
1 x cos2
—— 积分学的任务
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一、原函数与不定积分的概念
定义1：
已知 f (x)是一个定义在区间I上的函数， 如果存在函数F (x), 使在 I 内的任一点都有
F ( x) f ( x) 或 d F ( x) f ( x)d x , 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。 如：( x2 ) 2 x, ∴ x 2 是 2 x 的原函数; d sin x = cos x d x,∴ sin x 是 cos x 的原函数;
f ( x)d x F ( x) C .
例： ( x2 ) 2 x, 2xd x x2 C .
( cos x) sin x,
sin x d x
cos x C. 7
不定积分的几何意义:
f (x) 的一个原函数F (x) 的图形称为 f (x) 的一条积分曲线，方程为 y = F (x) .
2x 2 x 2 C.
3 2
xd x x1 C ( 1).
1
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三、 不定积分的性质
性质1. 函数和的不定积分等于 各个函数的不定积分的和。
f ( x) g( x) dx f ( x)d x g( x)d x .
性质2. 被积函数中不为零的常 数因子可提到积分号外。
k f (x) d x k f (x) d x . (k 0为常数)
注意：② xd x x1 C ( 1).
1
( x ) x 1 .
③ d x 1 d x ln x C
xx
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例题讨论
求下列不定积分：
例1.
x
2
3
1 x
d
x
x2
x
1
3d
x
8
5
x 3dx
3 x 3 C.
例2.
1 x2
8 3
dx x 2 dx
1
x 2dx
xx
1
3
技巧：先将被积函数变形，化为表中所列 的类型，然后再积分。
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例3. (e x 3sin x)d x e xd x 3 sin xd x
e x 3cos x C .
例4.
42x 2x
3x
dx
4
3 2
x
d
x
4x (3 2)x C.
ln(3 2)
a xd x a x C.
x
d
x
sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x
d
x
sec2 x csc2 xd x tan x cot x C.
例7. 1 cos2 x d x 1 cos 2x
第四章 不定积分
1
§1. 不定积分的概念与性质
2
已知物体运动的位置函数 s = s(t)， 求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。
—— 微分学解决的问题
已知物体运动的速度函数 v = v(t) 求运动的位置函数 s = s(t)。
—— 积分学解决的问题
一般，已知函数 f(x), 要找另一 个函数F(x), 使 F ’(x) = f (x)。
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利用基本积分表和不定积分性质，可计算 一些简单函数的不定积分。注意3点：
1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数
不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为 一个常数。
2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，
看它的导数是否等于被积函数即可。
3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式
中的 x 可用其它变量 u 替代，公式仍正确。
则 f (x)dx F(x) C
就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .
y
它源自文库相互平行，即 在横坐标相同的点 处有相同的切线斜 率。
0
y F(x)
xx
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由不定积分的定义，
f ( x)d x 是 f ( x) 的原函数，则有
[ f ( x)d x] f ( x) , 或 d [ f (x)d x ] f (x)d x,