对一道物理难题的再深究_邓峰

（３）
ρ１ ＝ｄｄθｓ，
式 中ｓ 为 轨 道 弧 长 ．
将 （４）式 代 入 （３）式 可 有
ｇｓｉｎαｃｏｓθ＝ｖ２ ρ
＝ｖ２
ｄθ， ｄｓ
其中
（４） （５）
ｖ＝ｄｄｓｔ．
将 （６）式 代 入 （５）式 可 有
ｇｓｉｎαｃｏｓθ＝ｖ２ ρ
＝ｖｄｄｓｔｄｄθｓ＝ｖｄｄθｔ．
则
（６）
ｄｄθｔ＝ｇｓｉｎｖαｃｏｓθ． （３）对（１）式两边同乘以 ｄθ，可有
第 ４０ 卷 第 １ 期 ２０１９ 年
物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
Ｖｏｌ．４０ Ｎｏ．１ （２０１９）
对一道物理难题的再深究
邓 峰
（北 京 理 工 大 学 附 属 中 学 ，北 京 １０００８９）
摘 要：本文对一道物理难题进行了深入细致地再探究，有着自己的 研 究 思 路 和 着 手 点，通 过 巧 妙 分 析 得 到 原 题 答 案 ，通 过 牛 顿 第 二 定 律 求 解 常 微 分 方 程 探 究 小 孩 下 滑 的 轨 迹 方 程 ． 关 键 词 ：再 深 究 ；牛 顿 第 二 定 律 ；微 分 方 程
（７）
ｆ１（ｓｉｎθ－１）ｄθ＝ｍ ｄｄｔｖｄθ，
ｍｇｓｉｎα（ｓｉｎθ－１）ｄθ＝ｍ ｄｄｔｖｄθ，
ｃｏｓｖθｄｖ＝（ｓｉｎθ－１）ｄθ，
ｄｖｖ＝ Leabharlann Baiduｓｉｃｎθｏｓ－θ１）ｄθ．
（８）
（４）对（８）式两边 积 分，并 考 虑 初 始 条 件θ＝０
时ｖ＝ｖ０ ，可 得
∫ ∫ ｌｎｖ ｖ０
＝
θ ０
ｓｉｃｎｏθｓθｄθ－
成时间的函数．然而 在 计 算 时 会 发 现，其 实 这 是 一
个用初等方法无法求解的曲线运动．
２ 巧 妙 解 答 过 程 与 点 评
如 图 ２，在 斜 面 上 建
立直 角 坐 标，其 中 ｘ 方
向与 速 度ｖ０ 同 向，垂 直
于ｘ 方向沿倾斜的山坡
向下 为ｙ 方 向．其 中 ｆ１
＝ｍｇｓｉｎａ 为 重 力 沿 斜
和 是 个 定 值 ，从 而 很 方 便 地 导 出 了 末 速 度 的 大 小 ．
３ 再 度 深 入 探 究 下面分步 骤 对 这 个 模 型 做 深 入 的 探 究，并 求
出小孩下滑的轨迹方程．
（１）根 据 牛 顿 第 二 定 律 可 得
ｆ１ｃｏｓθ＝ｍｖ２ ， ρ
其 中ρ 为 曲 线 轨 迹 的 曲 率 半 径 ． （２）根 据 数 学 的 曲 率 半 径 特 点 可 有
笔者最近 有 幸 看 到 《２００ 道 物 理 学 难 题》里 的 第８５ 题．本 文 在 原 书 答 案 的 基 础 上，进 行 深 入 细 致地再探究，有着自 己 的 研 究 思 路 和 着 手 点，算 是 对 此 问 题 的 补 充 研 究，权 当 抛 砖 引 玉，跟 同 仁 交流．
题 目．两 个 小 孩 站 在 一 个 开 阔、倾 斜 的 山 坡 上，山坡可以看成一 个 平 坦 的 斜 面．地 面 上 结 了 足 够的冰，只 要 小 孩 受 到 一 点 点 的 作 用 力 就 会 以 恒 定的速度滑向山下．
这 说 明ｖ＋ｖｙ ＝ 常 数 ＝ｖ０ ． 由（１）式可以知道：小孩运动合速度ｖ 的减 小
与 １－ｓｉｎθ 成 正 比 ，在 ０～９０°范 围 这 是 一 个 单 调 减
函数，最终会有ｓｉｎθ＝１，合 速 度 不 再 变 化，而 且 最
终合速度ｖ 减小到最小值ｖｍｉｎ，此时小孩 沿ｙ 方 向 的 加 速 度 为 ０，小 孩 最 终 的 合 速 度 方 向 将 沿 斜 面 向
θ ｄθ ， ０ ｃｏｓθ
图２
坡向下的分力，ｆ２ 为 小 孩 所 受 的 摩 擦 力．由 题 设
匀速运 动 条 件 可 得 到 ｆ１ 和 ｆ２ 必 定 大 小 相 等，即
ｆ１＝ｆ２． 因为小孩受到的 摩 擦 力 ｆ２ 虽 大 小 保 持 恒 定，
且ｆ２≡ｆ１，但小孩做曲线运动时 ｆ２ 的 方 向 时 刻 变 化，故其所受到的合 外 力 大 小 和 方 向 必 时 刻 变 化，
可知小孩所做的运动不是类平抛运动．
设某时刻速度方向和ｘ 轴的夹角为θ，根据牛
顿第二定律可得
则在速度方向ｖ 方向上
－ｆ２＋ｆ１ｓｉｎθ＝ｍ ｄｄｔｖ．
（１）
和ｙ 方向上
ｆ１
－ｆ２ｓｉｎθ＝ｍ
ｄｖｙ ｄｔ
．
（２）
联 立 （１）、（２）式 可 得
ｍ
ｄｄｔｖ＝
－ｍ
ｄｖｙ ｄｔ
．
即 ｄｖ＋ｄｖｙ＝０，可知 ｄ（ｖ＋ｖｙ）＝０，
如图１所 示，一 个 小 孩与另外一个小 孩 玩，他 背靠 在 一 颗 大 树 上 以 ｖ０＝１ ｍ／ｓ 的 速 度 水 平 推了对方一下．后 者 滑 下 了山坡，此间其速 度 的 大 小和方向均发生了变化． 如果 忽 略 空 气 阻 力 并 假
图１
定摩擦力与速度 无 关，被 推的小孩最终的速度为多大？ １ 难 点 分 析
— ６５ —
Ｖｏｌ．４０ Ｎｏ．１ （２０１９）
物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
第 ４０ 卷 第 １ 期 ２０１９ 年
下 ，这 时 便 有ｖ＝ｖｍｉｎ＝ｖｙｍａｘ，所 以 ｖ＝ｖ２０ ＝０．５ ｍ／ｓ． 这种解法十分巧 妙，也 很 简 洁，通 过 计 算 速 度
大小和沿斜 面 向 下 的 分 速 度 的 关 系，发 现 二 者 之
有学生审题时对小孩是否受摩擦力产生了疑 惑，认为既然是恒定 的 速 度 滑 下，怎 么 会 有 小 孩 速 度的大小和方向均发生了变化呢？本题分两段， 前一段给出 摩 擦 力 与 速 度 无 关 的 条 件，说 明 摩 擦 力大小恒定，但方向 当 然 是 跟 相 对 运 动 反 向 了．学 生误以为摩 擦 力 大 小，方 向 都 恒 定，是 受 “恒 定 速 度”这句话的干扰，很多学生就是在这陷进 了思维 怪圈而认为 此 题 出 错 了．有 学 生 没 有 认 真 思 考 题 目的条件，就误以为 是 类 平 抛 运 动，分 析 此 题 可 以 看出下滑运动受到的其实不是恒定不变的合力， 所以不可能 做 类 平 抛 运 动．另 有 一 些 物 理 基 础 好 的学生和教师们试图求出小孩下滑任意时刻的速 度，试图求出小孩的 运 动 轨 迹 方 程，在 求 解 的 时 候 必然会引入 时 间ｔ，将 位 置、速 度 和 受 力 分 别 表 示