材料力学内部习题集及答案

第二章 轴向拉伸和压缩2-1 一圆截面直杆，其直径d ＝20mm, 长L =40m ，材料的弹性模量E =200GPa ，容重γ＝80kN/m 3, 杆的上端固定，下端作用有拉力F =4KN ，试求此杆的：⑴最大正应力； ⑵最大线应变； ⑶最大切应力；⑷下端处横截面的位移∆。

题 2 - 1 图+5004.8N4000N解：首先作直杆的轴力图⑴最大的轴向拉力为232N,max 80100.024*********.8N 44d F V F L F ππγγ=+=+=⨯⨯⨯⨯+= 故最大正应力为：N,maxN,maxN,maxmax 222445004.8=15.94MPa 3.140.024F F F Ad d σππ⨯====⨯⑵最大线应变为:64maxmax915.94100.7971020010E σε-⨯===⨯⨯ ⑶当α（α为杆内斜截面与横截面的夹角）为45︒时，maxmax 7.97MPa 2ασττ===⑷取A 点为x 轴起点，2N (25.124000)N 4d F Vx F x F x πγγ=+=+=+故下端处横截面的位移为：240N 0025.1240001d d (12.564000)2.87mm LL F x x x x x EA EA EA+∆===⋅+=⎰⎰2-2 试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长△L 。

已知杆横截面面积为A ，长度为L,材料的容重为γ。

AB题 2-2 图A B解：距离A 为x 处的轴力为N ()F x Ax γ=⋅ 所以总伸长 2N 00()L d d 2LL F x Ax L x x EA EA Eγγ∆===⎰⎰ 2-3 图示结构，已知两杆的横截面面积均为A =200mm 2,材料的弹性模量E =200GPa 。

在结点A 处受荷载F 作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为ε1＝4×10－4，ε2＝2×10－4，试确定荷载P 及其方位角θ的大小。

题 2 - 3 图解: 由胡克定律得945112001041080010Pa E σε-=⨯=⨯⨯⨯=⨯945222001021040010Pa E σε-=⨯=⨯⨯⨯=⨯相应杆上的轴力为11N A σ=g 22N A σ=g561800102001016N KN -=⨯⨯⨯=11182N N KN == 取A 节点为研究对象，由力的平衡方程得1212sin 30sin 30sin cos30cos30cos N N P N N P θθ⎧=+⎪⎨++⎪⎩o o o o g g g g g g解上述方程组得10.8921.17P KNθ⎧=⎨=⎩o2-4 图示杆受轴向荷载F 1、F 2作用，且F 1＝F 2＝F ，已知杆的横截面面积为A ，材料的应力－应变关系为ε＝c σn，其中c 、n 为由试验测定的常数。

(1) 试计算杆的总伸长；(2) 如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？ (3) 当n ＝1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？+FFF N 图（a ）F N 图F+（b ）F N 图F+（c ）题 2 - 4 图解：（１）轴力图如图（a ）所示。

根据nc ε=σ： 112()n l l F c l a A ∆∆== 12n n n F l ac A∆=22()nl l F c l a A ∆∆== 2n n F l ac A∆=则 12(21)n nnacF l l l A +∆=∆+∆=（２）采用叠加法。

单独作用F 1时，轴力图如图（b ）所示。

1()nl F c a A ∆= 1n n F l ac A ∆=单独作用F 2时，轴力图如图（c ）所示。

2()2nl F c a A ∆= 22n n F l ac A ∆=则 3nnacF l A ∆=（３）当n =1时，上述两解答相同。

结论：只有当ε与σ成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。

2-5 试求图示构架点C 的铅垂位移和水平位移，已知两根杆的抗拉刚度均为EA 。

(a)(c)题 2 - 5 图(b)F CDF BCCC'Δl CD解： 取C 点分析受力情况，如图（b ）所示，得,0CD BC F F F == 因此只有CD 杆有伸长 CD FLl EA=变形几何图如图（c ）所示 ，得FL x y EA∆=∆=。

2-6 刚性梁ABCD 在B 、D 两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G 、H 。

已知钢丝的E ＝210GPa ，绳横截面面积A ＝100mm 2，荷载F ＝20KN ，试求C 点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）。

解：首先要求绳的内力T 。

刚性梁ABCD 的受力分析如图()b ，由平衡方程：0AM=∑解得： 80KN 7T =绳的原长 2428m L =++= 绳的伸长量为3396801087 4.3510m 2101010010TL L EA --⨯⨯∆===⨯⨯⨯⨯ 在F 作用下结构变形如图()c ， 可得：(a)34.3510m B D L L L -∆+∆=∆=⨯ (1)再由三角几何关系得：59B D L AB L AD ∆==∆ (2) 由 (1)、(2)式联立可得：31.5510m B L -∆=⨯又因为：58B C L AB L AC ∆==∆ 所以，32.4910m 2.49mm C L -∆=⨯=2-7 图示结构中AB 杆为刚性杆，杆AC 为钢质圆截面杆，直径d 1=20mm ，E 1=200GPa ；杆BD 为铜质圆截面杆，直径d 2＝25mm ，E 2=100GPa ，试求：(1) 外力F 作用在何处(x ＝？)时AB 梁保持水平？(2) 如此时F ＝30kN ，则两拉杆横截面上的正应力各为多少？ 解：(1). 容易求得AC 杆、BD 杆的轴力分别为122,22N N x x F F F F -=⋅=⋅从而AC 杆、BD 杆的伸长量()11111122111111222222222222224444N N N Fl l x F l Fl l E A E d E d lF l F l Fl xl E A E d E d lππππ-∆===∆===若要AB 梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即12l l ∆=∆.于是,()1222112244.Fl l x Fl xE d lE d lππ-=2921222292921222111.5100100.02521.5100100.025*******.0201.08l E d l x l E d l E d m⨯⨯⨯⨯∴==+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=(2).当30, 1.08F kN x m ==时，两拉杆横截面上的正应力分别为()311221132222222230102 1.082443.140.02423010 1.082333.140.0254N N x F F MPad A xF F MPa d A σπσπ-⋅⨯⨯-====⨯⋅⨯⨯⨯====⨯题 2 - 7 图2-8 图示五根杆的铰接结构，沿其对角线AC 方向作用两力F ＝20 kN ，各杆弹性模量E =200GPa ，横截面面积A ＝500mm 2，L ＝1m ，试求：(1) AC 之间的相对位移△AC ，(2) 若将两力F 改至BD 点，则BD 点之间的相对位移△BD 又如何？ 解：(1)取A 节点为研究对象，受力分析如图(b)由平衡方程：0AXF=∑,cos450AB F F ︒-=0,sin 450AYAD FF F =︒-=∑得AB AD F F === 同理，可得：CD CB F F == B 节点受力分析如图(c)0XF=∑，20cos45ABBD F F kN -==-︒AB ,BC ,CD ,DA 四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应 变能相同，可求得整个杆件应变能为：224 6.8222AB BD F LJ EA EAεν=⨯+=力F 作的功为： 12AC W F =∆ 由弹性体的功能原理得： W εν=16.822AC F ∆= 36.8220.6822010AC mm ⨯∆==⨯()2当两力F 移至.B D 两点时，可知，只有BD 杆受力，轴力为F所以12BD F εν∆=从而0.283BDmm ∆=2-9 图示结构，已知三根杆AF 、CD 、CE 的横截面面积均为A =200mm 2, E =200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点B 的竖向位移。

题 2 - 9 图F题 2 - 8 图(b)(c)(d)解：取AB 为研究对象，选取如图所示坐标轴， 故0xF=∑，即ND NE F F =,0yF=∑,即2sin300NA ND F F F +-︒=,于是得 NA ND F F F +=，0AM=∑ ，即32sin3060ND F F ⨯︒-=，于是 221020KN ND F F ==⨯=， 解得：20KN NE F =，10KN NA F = 所有构件的应变能为*23max10030460202010160202360430468011270100.7MPa<1MPa 240.580.3A B B S z S z z F F F F S F h b I b I b τ+⨯--⨯--=⨯--⨯⨯-⨯+⨯⨯-=⨯⨯==⋅==⨯⨯由功能原理得，F 作的功在数值上等于该结构的应变能 即：12B F V ε⋅∆= 所以 32242.58.5mm 1010B V F ε⨯∆===⨯. 2-10 图示结构，已知四根杆AC 、CB 、AD 、BD 的长度均为a ,抗拉刚度均为EA ,试求各杆轴力，并求下端B 点的位移。

CD(a )题 2 - 10 图C(b )(d )2F 3解：(1)以B 结点为研究对象，受力图如图（a ）所示 由0xF=∑ 得34F F =得34F F ==以刚性杆为研究对象，受力图如图（b ）所示由0xF=∑ 得12F F =由0yF=∑得12F F ==(2)由于1，2杆的伸长变形，引起CD 刚性杆以及B 结点的下降（如图（c ））112B l l l ∆====由于3，4杆的伸长引起B 点的继续下降（如图（d ））23B Fal l EA ∆===则12B B B l l l ∆∆+∆==2-11 重G =500N,边长为a =400mm 的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。

已知此麻绳在290N 的拉力作用下将被拉断。

(1) 如麻绳长为1.7m 时，试问此时绳是否会拉断？ (2) 如改变ɑ角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？解：(1)取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系.由于箱子重G =500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为F=250N.即cos 250F α⨯=而cos 0.9722α== 则2502572900.972F N N ==< 于是,此时绳子不会被拉断. (2)绳子被拉断时cos 250u F α⨯=其中290u F N =则250cos 0.8622902α=== 解得:0.789L m =答：(1)N =417N (2)L =1.988m题 2 - 11 图题 2 - 12 图2-12 图示结构，BC 为刚性杆, 长度为L , 杆1、2的横截面面积均为A ，其容许应力分别为[σ1]和[σ2]，且[σ1]=2[σ2]，荷载可沿梁BC 移动, 其移动范围0＜x ＜L , 试从强度方面考虑，当x 取何值时，F 的容许值最大，F max 等于多少？解：分析题意可知，由于1、2两杆横截面积均为A ，而1杆的容许应力为2杆的二倍，则由公式[]F A σ=⨯可知，破坏时2杆的轴力也为1杆的二倍。