《实数》培优材料

七年级数学培优讲义（2）

一、实数：

（一）【内容解析】

（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；

要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x 的平方是a ，那么x 是a 的平方根；②符号概念：若a x =2，那么a x ±=；③逆向理解：若x 是a 的平方根，那么a x =2。

（2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a ≥0⇔式子有意义；

②在算术平方根中，其结果a 是非负数，即a ≥0； ③计算中的性质1：a a =2)(（a ≥0）；

④计算中的性质2：⎩

⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ；

⑤在立方根中，33a a -=-（符号法则）

⑥计算中的性质3：a a =33)(；a a =3

3

%

（3）实数的分类：

（二分法）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩

⎪

⎨⎧负无理数正无理数无理数负无理数

零正有理数

有理数实数 （三分法）⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数实数 （二）【典例分析】 1、利用概念解题：

例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求

N M +的平方根。

练习：1. 已知234323-=-=+y x y x ，

，求x y +的算术平方根与立方根。 ，

2．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。

例2、解方程（x+1）2

=36.

练习：（1）9)1(2=-x （2）2515

1

3

=+）（x

2、利用性质解题：

例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．

%

变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ；

②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。 例2．若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x

的值

例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

.

⑴

⑵

⑶

⑷

例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求y

x

21+的值.

练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a

2005

的值。

2. 若（x －3）2

＋

1-y =0，求x ＋y 的平方根；

3. 已知,22421+-+-=x x y 求y

x 的值.

%

4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。

① 2)2(x -=x －2 ② x -3=3-x ③x =x

5. 若3

38

7

=-a ，则a 的值是 3、利用取值范围解题：

例1. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042

的值。

3、利用估算比较大小、计算： {

估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例1．比较

83-13与7

1

的大小

说明：比较大小的常用方法还有： ①差值比较法：

如：比较1－2与1－3的大小。

解 ∵（1－2）－（1－3）=3－2＞0 ， ∴1－2＞1－3。 ②商值比较法（适用于两个正数） 如：比较

51-3与5

1

的大小。 }

解：∵

51-3÷51=3-1＜1 ∴51-3＜5

1

③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a ，b ，先分别求出a 与b 的倒数，再

根据当a 1＞b

1

时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。（以后介绍）

④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

如：当0

x ，x ，

x 1

的大小顺序是____________。 解：（特殊值法）取x =21，则：2x =41，x 1=2。∵41＜21＜2，∴2

x ＜x ＜x

1。

例2．若53+的小数部分是a ， 5-3的小数部分是b ，求a+b 的值。

—

例3.计算：①6(6

1-6) ②1-2-2-32-3+

练习：1.估计10＋1的值是（ ）

（A ）在2和3之间 （B ）在3和4之间 （C ）在4和5之间 （D ）在5和6之间

2．比较大小：① 2

1

-5 1；②3

>”、“<”）

4、利用数形结合解题：

例1 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a +b |+2)(a b -的结果是（ ）

（

A 、2b

B 、2a

C 、－2a

D 、－2b

例2 如图，数轴上表示1、2的对应点为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所

表示的数是（ ）

A 、2－1

B 、1－2

C 、2－2

D 、2－2

（三）【常见错误诊断】

1、混淆平方根和算术平方根： ①由-3是9的平方根得：9=-3。 ②由81的平方根是±9得81=±9 ③5-是5的平方根的相反数

.

2、混淆文字表示和符号表示：

①16的算术平方根是4； ②64的立方根是4 3、概念理解不透彻：

（1）平方根、算术平方根的概念不清：

①6是6的平方根；②6的平方根是6；③6与6-互为相反数；

④a （2）无理数的概念不清：

①开方开不尽的数是无理数； ②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④无限小数是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑦两个无理数的和还是无理数；⑧两个无理数的积还是无理数；

填空：在，2，π， 3.4

1 ，2+3，…，7

22，23，.这些数中，无理数的个数有

个；

4、计算错误： ①2)13(-=13-；②1251144251

=③20

95141251161=+=+④若x 2

=16，则x=16=4. ！

5、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）

①若代数式21

--x x 有意义，则x 的取值范围是21≠>x x 且 ②若代数式2

1--x x 有意义，则x 的取值范围是2≥x

6、公式用错：

1 2

《