2019届松江区高三一模数学试卷(含标答)
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1. 设集合 A {x | x 1} ， B {x | 3. 已知函数 y f ( x ) 的图像与函数 y a x ( a 0, a 1) 的图像关于直线 y x 对称，且点
P (4, 2) 在函数 y f ( x ) 的图像上，则实数 a
4. 已知等差数列 {an } 的前 10 项和为 30 ，则 a1 a4 a7 a10
………………………4 分
∴ f ( x) 不可能是偶ห้องสมุดไป่ตู้数
2 4 ， f ( 1) a ，∴对任意实数 a ，都有 f ( 1) f (1) 3 3
………………………6 分
（2）由条件可得： m 2 x f ( x ) 2 x (1 记 t 2 x 1 ，则由 x [2,3] 此时函数 g (t ) t
19. 某科技创新公司投资 400 万元研发了一款网络产品，产品上线第 1 个月的收入为 40 万 元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长 50% ，同时，该产品第 1 个月的维护费支出为 100 万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加 50 万元. （1）分别求出第 6 个月该产品的收入和维护费支出，并判断第 6 个月该产品的收入是否足 够支付第 6 个月的维护费支出？ （2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？ （总支出包括维护费支出和研发投资支出）
100 2k 2k 2 6
]，
]
1 100 ，当 x [ 100, 0] 时， x [0,100] ， f ( x) [1, 2 ] f ( x) 100 ,1] ∴ f ( x ) [2
综上，当 x [ 100,100] 时，函数 f ( x ) 的值域为 [2 二. 选择题 13. A 三、解答题 14. B 15. A 16. D ……………………………………2 分
16. 对于平面上点 P 和曲线 C ，任取 C 上一点 Q ，若线段 PQ 的长度存在最小值，则称该 值为点 P 到曲线 C 的距离，记作 d ( P, C ) ，若曲线 C 是边长为 6 的等边三角形，则点集
D {P | d ( P, C ) 1} 所表示的图形的面积为（
A. 36 B. 36 3 3
2
18. 已知函数 f ( x ) a
2 （常数 a R ） 2 1
x
（1）讨论函数 f ( x ) 的奇偶性，并说明理由； （2）当 f ( x ) 为奇函数时，若对任意的 x [2,3] ，都有 f ( x )
m 成立，求 m 的最大值. 2x
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3 …………………………………14 分 6 2 6 6 2 18．解： （1）若 f ( x) 为奇函数，必有 f (0) a 1 0 得 a 1 ，……………………2 分
，即 x 时， f ( x ) max f ( ) 当 a 1 时， f ( x ) 1
100
, 2100 ] .
17．解： （1）由 a / /b 得, 3 sin x cos x ， ∴ tan x
r
r
3 ……………………………………………4 分 3 2 tan x 3 ∴ tan x ……………………………………………6 分 1 tan 2 x r r r （2） f ( x ) ( a b) b 3 sin x cos x cos 2 x ………………………………………8 分
3 1 1 1 sin 2 x cos 2 x sin(2 x ) 2 2 2 6 2 2 ∴函数 f ( x) 的最小正周期为 T 2
…………………………………10 分 …………………………………12 分
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当 x [0, ∴当 2 x
21. 对于给定数列 {an } ，若数列 {bn } 满足：对任意 n N* ，都有 ( an bn )( an 1 bn 1 ) 0 ，则称数 列 {bn } 是数列 {an } 的“相伴数列”. （1）若 bn an cn ，且数列 {bn } 是 {an } 的“相伴数列”，试写出 {cn } 的一个通项公式，并说明理 由； （2）设 an 2n 1 ，证明：不存在等差数列 {bn } ，使得数列 {bn } 是 {an } 的“相伴数列”； （3）设 an 2n 1 ， bn b q n 1 （其中 q 0 ），若 {bn } 是 {an } 的“相伴数列”，试分析实数 b 、 q 的取值应满足的条件.
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参考答案
一. 填空题 1. (1,3) 5. 1 9. 4 2. 1 6. 1 10.
1 2
3. 2 7.
4. 12 8.
3 3 2
6
11. ①③
12. [2 100 , 2100 ]
12．令 t 1 x ，则有 f (t ) f (2 t ) 4 ，即 f (2 t )
7 ] 时， 2 x 6 6 6 2
∴当且仅当 a 1 时， f ( x) 为奇函数 又 f (1) a
2 2x 1 2 x 1 1 2 x ， f ( x ) f ( x) 2x 1 2x 1 2 x 1 2 x 1
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上海市松江区 2018 届高三期末质量监控（一模） 数学试卷 2018.12
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
x 0} ，则 A B x3 2. 若复数 z 满足 (3 4i) z 4 3i ，则 | z |
∴当 x [2, 4] 时， f ( x) 的值域为 [4,16] ， x [4, 6] 时， f ( x) 的值域为 [16, 2 ] ， 依此类推可知，当 x [2k , 2k 2] 时， f ( x) 的值域为 [2 , 2 ∴当 x [0,100] 时， f ( x) 的值域为 [1, 2 又， f ( x )
x1 x2 y1 y2 , )； 2 2
② A、 B 两点间的距离为 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ； ③ 向量 OA 平行于向量 OB 的充要条件是 x1 y2 x2 y1 ； ④ 向量 OA 垂直于向量 OB 的充要条件是 x1 x2 y1 y2 0 . 其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号）
） D. 36 3 3
C. 36
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 已知向量 a ( 3 sin x,1) ， b (cos x, 1) . （1）若 a ∥ b ，求 tan 2 x 的值； （2）若 f ( x ) (a b) b ，求函数 f ( x ) 的最小正周期及当 x [0, ] 时的最大值.
则 an 40 ( )
5. 若增广矩阵为 8. 在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，若 c 2 (a b )2 6 ， C 则△ ABC 的面积
， 3
| lg( x 1) | x 0 ，则 y f ( x ) 图像上关于原点 O 对称的点共有 对 x 0 sin x 10. 已知 A 、 B 、 C 是单位圆上三个互不相同的点，若 | AB | = | AC | ，则 AB AC 的最小值
得 t [5,9] ，
2 2 ) (2 x 1) x 3 恒成立， ……8 分 2 1 2 1
x
………………………10 分 ………………………12 分 ………………………13 分 ………………………14 分
2 3 在 t [5,9] 上单调递增， t 12 所以 g (t ) 的最小值是 g (5) ， 5 12 12 所以 m ，即 m 的最大值是 5 5
4 f (t ) 4 [2, 4] 当 t [0,1] 时， 2 t [1, 2] ，又 f (t ) [1, 2] ，∴ f (t ) 即当 x [1, 2] 时， f ( x) 的值域为 [2, 4] ∴当 x [0, 2] 时， f ( x) 的值域为 [1, 4] 1 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 1 ∵ f (2 x) 4 f ( x) 4 f (1 x) f (1 x) 4 f ( x) f (2 x)
20. 已知曲线 上的任意一点到两定点 F1 ( 1,0) 、F2 (1,0) 的距离之和为 2 2 ， 直线 l 交曲线 于 A 、
B 两点， O 为坐标原点.
（1）求曲线 的方程； （2）若 l 不过点 O 且不平行于坐标轴，记线段 AB 的中点为 M ，求证：直线 OM 的斜率与 l 的斜率 的乘积为定值； （3）若 OA OB ，求△ AOB 面积的取值范围.
m 1 m 1 的线性方程组无解，则实数 m 的值为 1 m 2m x2 6. 已知双曲线标准方程为 y 2 1 ，则其焦点到渐近线的距离为 3 7. 若向量 a ， b 满足 ( a b) b 7 ，且 | a | 3 ， | b | 2 ，则向量 a 与 b 夹角为
9. 若 f ( x ) 是 11. 已知向量 e1 ， e2 是平面 内的一组基向量， O 为 内的定点，对于 内任意一点 P ， 当 OP xe1 ye2 时，则称有序实数对 ( x, y ) 为点 P 的广义坐标，若点 A 、 B 的广义坐标分 别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，对于下列命题： ① 线段 A 、 B 的中点的广义坐标为 (
12. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ，且 f ( x ) f ( x ) 1 和 f (1 x ) f (1 x ) 4 对任意的 x R 都成 立，若当 x [0,1] 时， f ( x ) 的值域为 [1, 2] ，则当 x [100,100] 时，函数 f ( x ) 的值域为
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二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 过点 (0,1) 且与直线 x 2 y 1 0 垂直的直线方程是（ A. 2 x y 1 0 B. 2 x y 1 0 ） D. x 2 y 1 0
C. x 2 y 2 0 ）条件
14. 若 a 0 ， b 0 ，则 A. 充分非必要
x y a b x a 是 的（ x y a b y b
C. 充要
B. 必要非充分
D. 既非充分又非必要
15. 将函数 f ( x ) 2sin(3x
) 的图像向下平移 1 个单位，得到 g ( x ) 的图像，若 4 x ） g ( x1 ) g ( x2 ) 9 ，其中 x1 , x2 [0, 4 ] ，则 1 的最大值为（ x2 37 A. 9 B. C. 3 D. 1 5
P (4, 2) 在函数 y f ( x ) 的图像上，则实数 a
4. 已知等差数列 {an } 的前 10 项和为 30 ，则 a1 a4 a7 a10
………………………4 分
∴ f ( x) 不可能是偶ห้องสมุดไป่ตู้数
2 4 ， f ( 1) a ，∴对任意实数 a ，都有 f ( 1) f (1) 3 3
………………………6 分
（2）由条件可得： m 2 x f ( x ) 2 x (1 记 t 2 x 1 ，则由 x [2,3] 此时函数 g (t ) t
19. 某科技创新公司投资 400 万元研发了一款网络产品，产品上线第 1 个月的收入为 40 万 元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长 50% ，同时，该产品第 1 个月的维护费支出为 100 万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加 50 万元. （1）分别求出第 6 个月该产品的收入和维护费支出，并判断第 6 个月该产品的收入是否足 够支付第 6 个月的维护费支出？ （2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？ （总支出包括维护费支出和研发投资支出）
100 2k 2k 2 6
]，
]
1 100 ，当 x [ 100, 0] 时， x [0,100] ， f ( x) [1, 2 ] f ( x) 100 ,1] ∴ f ( x ) [2
综上，当 x [ 100,100] 时，函数 f ( x ) 的值域为 [2 二. 选择题 13. A 三、解答题 14. B 15. A 16. D ……………………………………2 分
16. 对于平面上点 P 和曲线 C ，任取 C 上一点 Q ，若线段 PQ 的长度存在最小值，则称该 值为点 P 到曲线 C 的距离，记作 d ( P, C ) ，若曲线 C 是边长为 6 的等边三角形，则点集
D {P | d ( P, C ) 1} 所表示的图形的面积为（
A. 36 B. 36 3 3
2
18. 已知函数 f ( x ) a
2 （常数 a R ） 2 1
x
（1）讨论函数 f ( x ) 的奇偶性，并说明理由； （2）当 f ( x ) 为奇函数时，若对任意的 x [2,3] ，都有 f ( x )
m 成立，求 m 的最大值. 2x
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3 …………………………………14 分 6 2 6 6 2 18．解： （1）若 f ( x) 为奇函数，必有 f (0) a 1 0 得 a 1 ，……………………2 分
，即 x 时， f ( x ) max f ( ) 当 a 1 时， f ( x ) 1
100
, 2100 ] .
17．解： （1）由 a / /b 得, 3 sin x cos x ， ∴ tan x
r
r
3 ……………………………………………4 分 3 2 tan x 3 ∴ tan x ……………………………………………6 分 1 tan 2 x r r r （2） f ( x ) ( a b) b 3 sin x cos x cos 2 x ………………………………………8 分
3 1 1 1 sin 2 x cos 2 x sin(2 x ) 2 2 2 6 2 2 ∴函数 f ( x) 的最小正周期为 T 2
…………………………………10 分 …………………………………12 分
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当 x [0, ∴当 2 x
21. 对于给定数列 {an } ，若数列 {bn } 满足：对任意 n N* ，都有 ( an bn )( an 1 bn 1 ) 0 ，则称数 列 {bn } 是数列 {an } 的“相伴数列”. （1）若 bn an cn ，且数列 {bn } 是 {an } 的“相伴数列”，试写出 {cn } 的一个通项公式，并说明理 由； （2）设 an 2n 1 ，证明：不存在等差数列 {bn } ，使得数列 {bn } 是 {an } 的“相伴数列”； （3）设 an 2n 1 ， bn b q n 1 （其中 q 0 ），若 {bn } 是 {an } 的“相伴数列”，试分析实数 b 、 q 的取值应满足的条件.
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参考答案
一. 填空题 1. (1,3) 5. 1 9. 4 2. 1 6. 1 10.
1 2
3. 2 7.
4. 12 8.
3 3 2
6
11. ①③
12. [2 100 , 2100 ]
12．令 t 1 x ，则有 f (t ) f (2 t ) 4 ，即 f (2 t )
7 ] 时， 2 x 6 6 6 2
∴当且仅当 a 1 时， f ( x) 为奇函数 又 f (1) a
2 2x 1 2 x 1 1 2 x ， f ( x ) f ( x) 2x 1 2x 1 2 x 1 2 x 1
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上海市松江区 2018 届高三期末质量监控（一模） 数学试卷 2018.12
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
x 0} ，则 A B x3 2. 若复数 z 满足 (3 4i) z 4 3i ，则 | z |
∴当 x [2, 4] 时， f ( x) 的值域为 [4,16] ， x [4, 6] 时， f ( x) 的值域为 [16, 2 ] ， 依此类推可知，当 x [2k , 2k 2] 时， f ( x) 的值域为 [2 , 2 ∴当 x [0,100] 时， f ( x) 的值域为 [1, 2 又， f ( x )
x1 x2 y1 y2 , )； 2 2
② A、 B 两点间的距离为 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ； ③ 向量 OA 平行于向量 OB 的充要条件是 x1 y2 x2 y1 ； ④ 向量 OA 垂直于向量 OB 的充要条件是 x1 x2 y1 y2 0 . 其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号）
） D. 36 3 3
C. 36
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 已知向量 a ( 3 sin x,1) ， b (cos x, 1) . （1）若 a ∥ b ，求 tan 2 x 的值； （2）若 f ( x ) (a b) b ，求函数 f ( x ) 的最小正周期及当 x [0, ] 时的最大值.
则 an 40 ( )
5. 若增广矩阵为 8. 在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，若 c 2 (a b )2 6 ， C 则△ ABC 的面积
， 3
| lg( x 1) | x 0 ，则 y f ( x ) 图像上关于原点 O 对称的点共有 对 x 0 sin x 10. 已知 A 、 B 、 C 是单位圆上三个互不相同的点，若 | AB | = | AC | ，则 AB AC 的最小值
得 t [5,9] ，
2 2 ) (2 x 1) x 3 恒成立， ……8 分 2 1 2 1
x
………………………10 分 ………………………12 分 ………………………13 分 ………………………14 分
2 3 在 t [5,9] 上单调递增， t 12 所以 g (t ) 的最小值是 g (5) ， 5 12 12 所以 m ，即 m 的最大值是 5 5
4 f (t ) 4 [2, 4] 当 t [0,1] 时， 2 t [1, 2] ，又 f (t ) [1, 2] ，∴ f (t ) 即当 x [1, 2] 时， f ( x) 的值域为 [2, 4] ∴当 x [0, 2] 时， f ( x) 的值域为 [1, 4] 1 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 1 ∵ f (2 x) 4 f ( x) 4 f (1 x) f (1 x) 4 f ( x) f (2 x)
20. 已知曲线 上的任意一点到两定点 F1 ( 1,0) 、F2 (1,0) 的距离之和为 2 2 ， 直线 l 交曲线 于 A 、
B 两点， O 为坐标原点.
（1）求曲线 的方程； （2）若 l 不过点 O 且不平行于坐标轴，记线段 AB 的中点为 M ，求证：直线 OM 的斜率与 l 的斜率 的乘积为定值； （3）若 OA OB ，求△ AOB 面积的取值范围.
m 1 m 1 的线性方程组无解，则实数 m 的值为 1 m 2m x2 6. 已知双曲线标准方程为 y 2 1 ，则其焦点到渐近线的距离为 3 7. 若向量 a ， b 满足 ( a b) b 7 ，且 | a | 3 ， | b | 2 ，则向量 a 与 b 夹角为
9. 若 f ( x ) 是 11. 已知向量 e1 ， e2 是平面 内的一组基向量， O 为 内的定点，对于 内任意一点 P ， 当 OP xe1 ye2 时，则称有序实数对 ( x, y ) 为点 P 的广义坐标，若点 A 、 B 的广义坐标分 别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，对于下列命题： ① 线段 A 、 B 的中点的广义坐标为 (
12. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ，且 f ( x ) f ( x ) 1 和 f (1 x ) f (1 x ) 4 对任意的 x R 都成 立，若当 x [0,1] 时， f ( x ) 的值域为 [1, 2] ，则当 x [100,100] 时，函数 f ( x ) 的值域为
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二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 过点 (0,1) 且与直线 x 2 y 1 0 垂直的直线方程是（ A. 2 x y 1 0 B. 2 x y 1 0 ） D. x 2 y 1 0
C. x 2 y 2 0 ）条件
14. 若 a 0 ， b 0 ，则 A. 充分非必要
x y a b x a 是 的（ x y a b y b
C. 充要
B. 必要非充分
D. 既非充分又非必要
15. 将函数 f ( x ) 2sin(3x
) 的图像向下平移 1 个单位，得到 g ( x ) 的图像，若 4 x ） g ( x1 ) g ( x2 ) 9 ，其中 x1 , x2 [0, 4 ] ，则 1 的最大值为（ x2 37 A. 9 B. C. 3 D. 1 5