点估计的评价标准共40页

估计量
Ch7-49
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1,X2,,Xn) (n > 1) . 证明
(1)
Sn2
1 n
n i1
(Xi
X)2不是 D(
X
)的无偏估量;
(2) S2n11in1(Xi X)2是 D( X ) 的无偏估计量.
证 前已证 n 1i n1(Xi X)2n 1i n1Xi2X2 E ( X i ) E ( X ) ,D ( X i ) D ( X ) 2 E (X)E (X),D (X)2 n
则
Ak
1 n
n i1
Xik
是 k 的无偏估计量.
证 由于 E (Xik)k i1,2,,n因而
E(Ak)E(1 ni n1Xik)1 ni n1E(Xik)
1nnk k
Ch7-48
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i1
Xi2是总体
二阶原点矩 2 E(X2) 的无偏
i1
i1
n
n
Ch7-58
(2) D(ˆ1) ci2D(Xi)2 ci2
i1
i1
n
2n
而
1
ic
ic 2
2
ic jc
i1 i1
1i jn
n
n
ci2 (ci2c2 j)n ci2
i1
1ijn
i1
n
i 1
c
2 i
1 n
D(ˆ)1n2D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
Ch7-59
Ch7-57
例6 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2
(X1,X2,,Xn)为总体 X 的一个样本
(1)
设常数
ci
1 n
i1,2,,n.
n
ci 1.
i1
n
证明 ˆ1 ci Xi 是 的无偏估计量
i1
n
(2) 证明 ˆ X 比 ˆ1 ci Xi 更有效
i1
n
n
证 (1) E(ˆ1)ciE(Xi)ci
求 的极大似然估计量, 并判断它是否达到
方差下界的无偏估计量.
解ห้องสมุดไป่ตู้由似然函数
n
xi
L(
)
1
n
e
i 1
n
xi
lnL()nlni1
n
Ch7-62
ddlnL()n i1x2i
令
0
ˆ 1nin1xi x
的极大似然估计量为
ˆ
1n n i1 Xi
X
它是 的无偏估计量.
D(ˆ)D(1 n ni1
2
Xi) n
解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量 以及数学期望的线性性质, 只要将未知 参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样 本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未 知参数的估计量即为无偏估计量.
令 XE(X)np
m 1im 1Xi2E(X2)(n)2 pn(1 pp)
Ch7-52
故
(n2n)p2
1 m mi1
Xi2
X
因此, p 2 的无偏估计量为
p2n21nm 1im 1Xi2X
1 m
m i1
Xi(Xi
1)
n(n 1)
例4 设总体 X 的密度函数为
Ch7-53
f
(x;)
1
x
e
x 0,
0 为常数
0
x0
(X1,X2,,Xn) 为 X 的一个样本
证明 X 与 nmiXn 1,X {2,,Xn}都是 的无偏
Ch7-56
例5 设总体 X 的密度函数为
f
(x;)
1
x
e
0
x 0,
0 为常数
x0
由例4可知, X 与 nmiXn 1,X {2,,Xn}都
是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？
解
D(X)
2
n
，D ( n m X 1 ,i X 2 ,n ,X { n } ) 2
所以,X 比nmiX n 1,X { 2,,Xn}更有效.
例如 X ~ N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.
ˆ 1
2 3
X1
1 3
X
2
ˆ 2
1 4
X1
3 4
X
2
ˆ 3
1 2
X1
1 2
X
2
都是 的无偏估计量
由例6(2) 知 ˆ 3 最有效.
Ch7-60
罗—克拉美（Rao – Cramer）不等式
若ˆ 是参数 的无偏估计量, 则
D(ˆ)nEln1p(X,)2 D0()
其中 p ( x , ) 是 总体 X 的概率分布或密
度函数，称 D0( )为方差的下界.
当 D(ˆ)D0()时, 称 ˆ 为达到方差下界的
无偏估计量, 此时称 ˆ 为最有效的估计量, 简称有效估计量.
例7 设总体 X 的密度函数为
Ch7-61
f
(x;)
1
x
e
x 0, 0 为常数
0
x0
(x1,x2,,xn)为 X 的一个样本值.
因而
Ch7-50
E 1 ni n 1(X iX )2 1 ni n 1E (X i2) E (X 2)
(22)(22)
n
n1 2 2
n
故
En11in1(Xi
X)22
证毕.
Ch7-51
例3 设(X1,X2,,Xm)是总体 X 的一个样本 , X~B(n , p) n > 1 , 求 p 2 的无偏估计量.
而 lnf(x,)lnx
Ch7-63
lnf(x,)21x22
E ln f(X,) 2E 1X 2 2
1 2
1
nElnf
(X,)2
2
n
D(
X
)
故X 是达到方差下界的无偏估计量.
一致性
Ch7-64
定义 设ˆˆ(X1,X2,,Xn)是总体参数
的估计量. 若对于任意的 , 当n 时,
ˆ 依概率收敛于 , 即 0, lim P(ˆ))0
估计量
证
X~E1
E(X)
故 E(X)E(X)
X 是 的无偏估计量.
令
ZmX i1 ,n X 2 { , ,X n}
Ch7-54
F Z ( z ) 1 P ( X 1 z ,X 2 z , ,X n z )
1 P ( X 1 z ) P ( X 2 z ) P ( X n z )
无偏性
Ch7-46
定义 若 E(ˆ)
则称 ˆ是 的无偏估计量.
定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
Ch7-47
例1 设总体X 的 k 阶矩 k E(Xk)存在
(X1,X2,,Xn)是总体X 的样本,
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在),
n
1
i1
(1P(Xi
z))
0
nz
1e
z0 z0
fZ(z)ne0nz
即 Z~En
z0
z0
E(Z)
n
E(nZ )
故 n Z 是 的无偏估计量.
有效性
Ch7-55
定义 设 ˆ11(X1,X2,,Xn)
ˆ22(X 1,X2,,Xn)
都是总体参数 的无偏估计量, 且
D (ˆ1)D (ˆ2)
则称 ˆ1 比ˆ 2 更有效.
n
则称ˆ 是总体参数 的一致(或相合)估计量.