估计量的评价标准.

注 一般地，在 的 无偏估计量
Ci X i ( Ci 1)
i 1 i 1
n
n
中，X最有效.
5 2 9 1 解 D( ˆ1 ) D ( X 1 ) D ( X 2 ) , 16 16 8
5 2 1 2 ˆ3 ) , D( ˆ 2 ) , D( 9 2
ˆ )2 E (
Байду номын сангаас
ˆ) ) ( E (
越小越好.
定义6.3 设 ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 ,, X n )，ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 ,, X n )
均是 的无偏估计量，若
ˆ比 ˆ 有效. 则称 1 2
ˆ ) D( ˆ ), D( 1 2
1）无偏性；
2）有效性； 3） 相合性.
二、无偏性
若 X1 , X 2 ,, X n 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体X 的分布中的待估参数 ,
(是 的取值范围 ) ˆ ˆ ( X , X , , X )是参数的估计量， 定义6.2 设 1 2 n
ˆ) , 若 E ( ˆ 是 的无偏估计(量). 则称
估计量的评价标准
一、问题的提出
二、无偏性 三、有效性 四、相合性
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不
同的估计方法求出的估计量可能不同.然而, 原
则上都可以作为未知参数的估计量. 问题 (1) 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2) 评价估计量优劣的标准是什么?
下面介绍几个常用标准：
证
因为 X1 , X 2 ,, X n 与 X 同分布，
故有 E ( X ik ) E ( X k ) k , i 1,2,, n.
1 n 即 E ( Ak ) E ( X ik ) k . n i 1
故 k 阶样本矩 Ak 是 k 阶总体矩 k 的无偏估计.
特别地,
不论总体 X 服从什么分布,
只要它的数学期望存在,
X 总是总体 X 的数学期望 1 E ( X ) 的无偏 估计量.
n 1 2 2 2 显然 S n ( X i X ) 是 D( X ) n 1 i 1 的无偏估计量 .
例3 设总体X的方差D(X)存在，且 D(X) > 0, (X1, X2 , · · ·, Xn ) 为来自总体X的样本，试选择适 当的常数C，使得
D( X i 1 X i ) D( X i 1 ) D( X i ) 2 D( X ) E ( X i 1 X i ) E ( X i 1 ) E ( X i ) 0
E[C ( X i 1 X i ) ]
2
n 1 i 1
C { D( X i 1 X i ) [ E ( X i 1 X i )]2 } C 2 D( X ) C 2( n 1) D( X )
( X1 , X 2 )是 例4 设E ( X ) , D( X ) 2 0存在，
来自总体X的样本，问：下列三个对 的无偏估
计量哪一个最有效？
3 1 ˆ1 X 1 X 2 , 4 4 1 1 ˆ 2 X1 X 2 , 2 2 2 1 ˆ 3 X1 X 2 . 3 3
可用求条件 极值的拉格 朗日乘数法 证明
n 1 i 1
n 1 i 1
C { D( X i 1 X i ) [ E ( X i 1 X i )]2 }
i 1
n 1
而X1, X2 , · · ·, Xn 相互独立，且与X 同分布
E ( X i ) E ( X ), D( X i ) D( X ) ( i 1, 2, , n )
C ( X i 1 X i )
i 1
n 1
2
为D(X)的无偏估计. 分析 需选择C，使
n 1 i 1
E[C ( X i 1 X i )2 ] D( X )
2 2 C E ( X X ) E [ C ( X X ) ] 解 i 1 i i 1 i
ˆ 是 的一列估计量，且 lim E ( ˆ ) , 若 n n
n
ˆ 是 的渐近无偏估计(量). 则称 n
例1 设总体 X 的k 阶矩 k E ( X k ) ( k 1)存在,
又设 X 1 , X 2 , , X n 是 X 的一个样本，试证明不 论 1 n k 总体服从什么分布 , k 阶样本矩 Ak X i 是 n i 1 k 阶总体矩 k的无偏估计.
i 1 D( X i 1 )
注 一般地，一个参数 的无偏估计量不唯一. 如：设样本(X1, X2 , · · ·, Xn ) 来自总体X，E(X)=,
则 X 是的无偏估计. 此外，
n n
Ci X i
i 1
( C i 1)
i 1
也均是的无偏估计.
问题： 对于同一个参数的多个无偏估计量， 如何评价它们的优劣？
三、有效性
ˆ 和 ˆ , 如果 比较参数 的两个无偏估计量 1 2 ˆ 的观察值较 ˆ更 在样本容量 n相同的情况下, 1 2 ˆ 较 ˆ 理想. 密集在真值 的附近, 则认为 1 2
ˆ 关于 换句话说，对参数 的无偏估计量
的波动越小，即方差 ˆ ) E[ ˆ E ( ˆ )]2 D(
2 E [ C ( X X ) 依题意，要求： i 1 i ] D( X )
n 1
i 1 n 1 i 1
n 1
D( X i 1 X i ) D( X i ) 2 D( X ) 即 C 2( n 1) D( X ) D( X ) E ( X i 1 X i ) E ( X i 1 1 ) E( X i ) 0 . D( X ) 0 C 2( n 1) ( i 1, 2, , n )