圆中三角函数综合例题及练习

圆中的三角函数

解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：

一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中

例1(成都市)如图1，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， 22AC =，BC =1，那么sin ∠ABD 的值是 ．

解析：在⊙O 中，∠ACD =∠ABD ；

又由于AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，则∠ACD =∠ABC . Rt △ABC 中，AB =

22BC AC +=221)22(+=3,

从而sin ∠ABD =AB

AC =32

2.

评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想

的巧妙运用。

二、用直径与所对圆周角构造直角三角形

例2(烟台市)已知ＡＢ是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB =α，那么CD

AB

等于

A ．sinα

B ．COSα

C ．tanα

D ．1

tan α

解析： 连结BD ,由于AB 为直径,则∠ADB =90°, 于是,在Rt △PBD 中,有COSα=

PB

PD

, 而点C 和点A 在圆周上，所以∠A =∠C ， 又∠APB =∠CPD ，则△APB ∽△CPD ， 从而

CD AB =PB PD ，所以CD

AB

=COSα，故选B 。 评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。

三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形

例3(武汉市)如图4，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。以BC 为直径作⊙O 交A B 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。 (1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠E 的值。

解析：（1）证明：如图5,连结OD 、CD ，

因为BC 是直径，所以CD ⊥AB ， 而AC =BC ，则D 是AB 的中点 又因为O 是CB 的中点，所以OD //AC

由于DF ⊥AC ，则OD ⊥EF ，于是EF 是⊙O 的切线.

（2）连结BG ，因为BC 是直径，所以∠BGC =90° 图 B D

E F G O

C B D

O

图1

E D

O

A

B

C

D

E O A

B C 在Rt △BCD 中，CD =

22AD AC -=22610-=8

而AB ·CD =2ABC S ∆= AC ·BG , 则有BG =

AC CD AB ⋅=10

812⨯=548

. 在Rt △BCG 中，CG =22BG BC -=22

)548(10-=5

14

; 又因为BG ⊥AC ， DF ⊥AC ，所以BG //EF ,

则∠E =∠CBG ,从而sin ∠E =sin ∠CBG =BC CG =10514

=25

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评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.

例4.如图，Rt △ABC 中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,

以AB 上的一点0为圆心作⊙O 分别与AC ．BC 相切于点D ，E 。 (1)求⊙O 的半径。

(2)求sin ∠BOC 的值。

证：(1)：连OE,OD ，证四边形OECD 为正方形，设半径为R ，

2

R =44R

-, R=34；

(2)

10

10

3，作CM ⊥AB 于M ，易求AB=25．AB · CM=BC ·AC ， ∴CM=

554,易求OC=R 2=324,∴sin ∠BOC=OC

CM =1010

3

例5.如图，等腰△ABC 中，AB=A C ，以AB 为直径作⊙O ， 交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E 。

(1)求证：DE 为⊙O 的切线：

(2)若BC=45，AE=1，求cos ∠AEO 的值。

图5

E

B

解：(1)连OD, ∠C=∠ABC=∠ODB. OD//AC,∴ ∠ODE=∠DEC =90° (2) ∠AEO=∠DOE, cos ∠AEO= cos ∠DOE=

OE

OD

，连DA.证CD=BD =25， 证△CDE∽△CDA,C D 2

=CE ·CA=CE · (CE+1) ∴CE =4, DE=22CE CD -=2, OD=

21AC=2

5

，OE=22OD DE +=241,

∴cos ∠AEO== cos ∠DOE=

OE

OD =4141

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●专练

1．如图，已知Rt△ABC 和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC 上的点D 为圆心， OA 为半径的⊙O 与EC 相切于点D ，AD∥BC.

(l)求证： ∠E=∠ACB:

(2)若AD=1, tan ∠DAC=2

2

，求BC 的长．

2．如图，已知点0是Rt △ABC 的直角边AC 上一动点，以D 为圆心，OA 为半径的⊙O 交AB 于D 点， DB 的垂直平分线交BC 于F,交BD 于E 。

(l)连结DF ，请你判断直线DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论 (2)当点D 运动到OA=2OC 时，恰好有点D 是AE 的中点，求tan ∠B 。