高中数学难题集锦

注意无穷递缩等比数列的极限 解答： 解 ：∵令 n=3，
得，令 n=4， 得， ∴，…，， 于是 x n=x 1+（ x2﹣ x1）+…+（ x n﹣ x n﹣1） =
） 并
∴， x 1=3．故选 B 点评： 求 出前几项后，从什么角度求通项呢，一般是看差和商，采用叠加或累乘法．
4．（2012?上海）设 an=sin ， Sn=a1+a2+…+an，在 S1，S2，…Ｓ100 中，正数的个数是（
和 P1R0 中的一条，记其端点为 Q1、 R1，使之满足（ |OQ1| ﹣ 2）（ |OR1| ﹣ 2）＜ 0，记 Q1R1 的中
点为 P2，取 Q1P2 和 P2R1 中的一条，记其端点为 Q2、R2，使之满足（ |OQ2| ﹣ 2）（|OR2| ﹣ 2）＜
0．依次下去，得到 P1， P2，…， Pn，…，则 =
项和为 Sn，则 =（ ）
A． 3 B． C ． 2 D．
2．（2010?安徽）设 {a n} 是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X，
Y， Z，则下列等式中恒成立的是（
）
A． X+Z=2Y B． Y（Y﹣ X） =Z（ Z﹣ X） C． Y2=XZD． Y（Y﹣ X） =X（ Z﹣ X）
．
23．（ 2007?海南）已知 {a n} 是等差数列， a4+a6=6，其前 5 项和 S5=10，则其公差 d=
．
24．（2006?广东）在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球
堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第
1 堆只有一层，就一个球，第 2、3、 4、…堆最
4 7 10
3n+10
6．（2006?北京）设 f （ n） =2+2 +2 +2 +…+2 （n∈N），则 f （ n）等于（
）
A． B ． C． D ．
7．（2005?江西）将 1， 2，…， 9 这 9 个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数
列的概率为（
）
A． B ． C． D ．
8．（2005?黑龙江）如果 a1， a2，…， a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，则（
a1，公
比，推出 an，然后求出 Sn，即可求出极限． 解答： 解 ：因为 f （ x）=3f （x+2），所以 f （ x+2）=f （x），就是函数向右平移 2 个单位，最
大值变为原来的， a1=f （ 1） =1，q=，
所以 an=， Sn=， ==
故选 D
点评： 本 题是中档题， 考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目， 注意函数的图象的平移，
．
20．（ 2009?北京） {a n} 满足： a4n﹣3=1， a4n﹣1=0， a2n=an，n∈Ｎ* 则 a2009=
；
a2014=
．
2
21．（ 2009?宁夏）等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，已知 2am﹣ am =0，s 2m﹣1=38，则 m=
．
22．（2008?四川）设数列 {a n} 中， a1=2，an+1=an+n+1，则通项 an=
．
17．（2008?四川）设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，若 S4≥10， S5≤15，则 a4 的最大值
为
．
18．（ 2011?福建） 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，
及根据商品的最低销
售限价 a，最高销售限价 b（ b＞a）以及常数 x（0＜ x＜ 1）确定实际销售价格 c=a+x（ b﹣ a），
改变的是函数的最大值， 就是数列的公比， 考查计算能力， 发现问题解决问题的能力．
2．（2010?安徽）设 {a n} 是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X，
Y， Z，则下列等式中恒成立的是（
）
A． X+Z=2Y B． Y（Y﹣ X） =Z（ Z﹣ X） C． Y2=XZD． Y（Y﹣ X） =X（ Z﹣ X）
排除．
3．（2005?广东）已知数列 {x n} 满足 x 2=，x n=（ x n﹣1+xn﹣2），n=3，4，…．若 =2，则 x 1=（ A． B ． 3 C． 4 D． 5 考点 ：数 列的求和；数列的函数特性． 专题 ：压 轴题． 分析： 要 求极限， 先求通项， 而条件只是一个递推关系且复杂， 故宜采用归纳法猜测通项．
3．（2005?广东）已知数列 {x n} 满足 x 2=，x n=（ x n﹣1+xn﹣2），n=3，4，…．若 =2，则 x 1=（
）
A． B ． 3 C． 4 D． 5
4．（2012?上海）设 an=sin ， Sn=a1+a2+…+an，在 S1，S2，…Ｓ100 中，正数的个数是（
）
A． 25 B． 50 C． 75 D． 100
条直线不过同一点，若用 f （ n）表示这 n 条直线交点个数，则 f （4） =
，当 n
＞4 时 f （ n） =
（用 n 表示）
26．（2004?上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设
{a n} 是公比
为 q 的无穷等比数列，下列 {a n} 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组．（写出所有符合要求的组号）
14．（2005?上海）用 n 个不同的实数 a1，a2，…， an可得到 n! 个不同的排列，每个排列为一
n
行写成一个 n! 行的数阵，对第 i 行 ai1 ，ai2 ，…， ain ，记 bi =﹣ ai1 +2ai2 ﹣ 3ai3 ++（﹣ 1） nain ，
i=1 ， 2， 3，…， n! ，例如：用 1， 2，3 可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是
12，所以， b1+b2+…+b 6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣ 24，那么，在用 1，2， 3， 4， 5 形成的数阵
中， b1+b2+…+b120 等于（
）
A．﹣ 3600 B． 1800 C ．﹣ 1080 D．﹣ 720
15．（2001?北京） 根据市场调查结果， 预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求 量 Sn（万件）近似地满足关系式 Sn=（ 21n﹣ n2﹣ 5）（ n=1， 2，…， 12），按此预测，在本年
底层（第一层） 分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一
层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f （ n）表示第 n 堆的乒乓球总数，则 f （ 3）
=
； f （n） =
（答案用 n 表示）．
25．（2005?广东）设平面内有 n 条直线（ n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三
）
A． a1a8＞ a4a5 B． a1a8＜ a4a5 C． a1+a8＞ a4+a5 D． a1a8=a4a5
9．（2004?湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．
2003 年某地区农民人均收
入为 3150 元（其中工资性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元），预计该地区自 2004 年起
．
29．（2009?湖北）已知数列 {a n} 满足： a1=m（ m为正整数） ，an+1=若 a6=1，则 m所有可能的取
值为
．
30．（2004?北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同
一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列
{a n} 是等和
5．（2007?陕西）给出如下三个命题：
①设 a，b∈R，且 ab≠0，若＞ 1，则＜ 1；
②四个非零实数 a、b、 c、 d 依次成等比数列的充要条件是
③若 f （ x） =log i x ，则 f （ |x| ）是偶函数．
其中正确命题的序号是（
）
A．①② B ．②③ C．①③ D．①②③
ad=bc；
2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷
一．选择题（共 15 小题）
1．（2012?绵阳模拟） 已知定义在 [0 ，+∞）上的函数 f （ x）满足 f（ x）=3f（ x+2），当 x∈[0 ，
2
+
2）时， f （x ） =﹣ x +2x，设 f （ x ）在 [2n ﹣ 2， 2n）上的最大值为 an（n∈Ｎ ）且 {a n} 的前 n
390，则这个数列有（
）
A． 13 项 B． 12 项 C． 11 项 D． 10 项
11．（2000?北京）设已知等差数列 {a n} 满足 a1+a2+…+a 101=0，则有（
）
A． a1+a101＞ 0 B． a2+a102＜ 0 C． a3+a99=0 D． a51=51
n
12．（2013?上海）在数列（ an）中， an=2 ﹣ 1，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元
这里， x 被称为乐观系数．
经验表明，最佳乐观系数 x 恰好使得 （ c﹣a）是（ b﹣ c）和（ b﹣a）的等比中项， 据此可得，
最佳乐观系数 x 的值等于
．
19．（2011?江苏）设 1=a 1≤ａ2≤…≤ａ7，其中 a1， a3， a5， a7 成公比为 q 的等比数列， a2，
a4， a6成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是
的 5 年内，农民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长，其它收入每年增加 160 元．根
据以上数据， 2008 年该地区农民人均收入介于（
）
A． 4200 元～ 4400 元 B． 4400 元～ 4600 元
C． 4600 元～ 4800 元 D． 4800 元～ 5000 元
10．（2002?北京）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为
①Ｓ1 与 S2；②ａ2 与 S3；③ａ1 与 an；④ｑ与 an．（其中 n 为大于 1 的整数， Sn 为 {a n} 的前 n 项和．）
27．（2002?上海） 若数列 {a n} 中，a1=3，且 an+1=an2（n∈Ｎ* ），则数列的通项 an=
．
28．（2011?上海）已知点 O（ 0，0）、 Q0（ 0，1）和点 R0（ 3，1），记 Q0R0 的中点为 P1，取 Q0P1
数列，且 a1=2，公和为 5，那么 a18 的值为
，这个数列的前 n 项和 Sn的计算公式为 ．
2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 15 小题）
1．（2012?绵阳模拟） 已知定义在 [0 ，+∞）上的函数 f （ x）满足 f（ x）=3f（ x+2），当 x∈[0 ，
2
+
2）时， f （x ） =﹣ x +2x，设 f （ x ）在 [2n ﹣ 2， 2n）上的最大值为 an（n∈Ｎ ）且 {a n} 的前 n
项和为 Sn，则 =（ A． 3 B． C ． 2
） D．
考点 ：数 列的求和；数列的极限．
专题 ：计 算题；压轴题．
分析： 由 题意可知，函数 f （ x）按照 2 单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出
）
A． 25 B． 50 C． 75 D． 100
考点 ：数 列的求和；三角函数的周期性及其求法．
考点 ：等 比数列．
专题 ：压 轴题．
分析： 取 一个具体的等比数列验证即可．
解答： 解 ：取等比数列 1， 2， 4，令 n=1 得 X=1， Y=3， Z=7 代入验算，只有选项 D满足．
故选 D
点评： 对 于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除
3 个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续
度内，需求量超过万件的月份是（
）
A． 5、 6 月 B． 6、7 月 C． 7、 8 月 D． 8、9 月
二．填空题（共 15 小题）
16．（2009?江苏）设 {a n} 是公比为 q 的等比数列， |q| ＞ 1，令 bn=an+1（n=1，2，…），若数
列{b n} 有连续四项在集合 { ﹣ 53，﹣ 23， 19， 37， 82} 中，则 6q=
素 cij =ai ?aj +ai +aj （ i=1 ，2，…， 7； j=1 ，2，…， 12），则该矩阵元素能取到的不同数值的
个数Fra Baidu bibliotek（
）
A． 18 B． 28 C． 48 D． 63
13．（2013?上海）记椭圆围成的区域（含边界）为 Ω n（ n=1， 2，…），当点（ x， y）分别在 Ω1，Ω 2，…上时， x+y 的最大值分别是 M1， M2，…，则 Mn=（ ） A． 0 B． C ． 2 D． 2