线代第3章作业答案

（B）当 n m 时必有非零解 （D）当 m n 时必有非零解
1 0 1
9．设
A
2
1
,
B 是秩等于 2
的三阶矩阵，若 R ( AB ) 1 ，则
1 2 1
__3__.
解 由题意知必有 A 0 [否则，A 可逆，有 R(AB)=R(B)=2，与已知条件 R(AB)=1 矛盾]。
1
1 0 1
A T
0
R(
A)
，则线性方程
组（D ）
可得 R ( A ) 2 .故 R ( A 2 2 A) R ( A( A E )) R ( A) 2 .
a 1 1 x1 1
7．设方程组
1
a
1
x2
1
有无穷多个解，则
a
-2
.
1
1
a
x3
2
8． A 是 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是
解 因为 A 2 E 8 0 ，所以 A 2 E 为可逆矩阵.又
1 0 1
A
A
2E
2E
0
1
0
1 0 1
(A) A x b 必有无穷多解； (C) A x 0 仅有零解；
(B) A x 0 必有非零解； (D) A x 0 一定无解.
11．设 n
阶矩阵
A
与n
维列向量
，若
R
第三章 矩阵的初等变换和线性方程组
一、选择题
1、若 n 阶矩阵 A 的第一行的 3 倍加到第二行后得矩阵 B , 则正确的是（A C D）（多选）
(A) A 与 B 等价； (B) A 与 B 不等价；（C） A B ； (D) R ( A) R ( B )
2．下列四个 3×4 阶矩阵中，（ B ）是行最简形矩阵。
1
4．设
A
4
3
2 2
t
3
，B
为 3 阶非零矩阵，且 A B
0
，则 t
1
1
-3 .
1 a a
a
1
a
5．设矩阵 A a a 1
a a a
a
a
a ，且 R ( A) n 1 ，则 a a
1
.
1 n
a
3 0 1
6．设 A
是
3 阶矩阵，已知
A
2E
0
1
0
，则
R(
A2
2
A)
=
2
1 0 3
A
0
1
1
1
1
，则 A 的秩 R ( A) ( D
).
2 3 a 2 3 a 6
4 0 4 a 7 a 11
(A) 必为 2
(B) 必为 3
(C) 可能为 2，也可能为 3
(D) 可能为 3，也可能为 4.
7．若矩阵 A, B , C 满足 A B C ，则（ C ）.
(A) R ( A ) R ( B )
b
b
a
（A） a b 或 a 2b 0
（B） a b 或 a 2b 0
2．设 (1,0,1,2)T ， (0,1,0,2)T ，矩阵 A ，则秩 r ( A) 1 。
1 0 2
3．设 A
是 4 3 矩阵，且 R ( A )
2
，而 B
0
20
1
0
3
，则
R
(
A
B
)
2.
6
1
4
5 1 3
0 1 0
1 1
2．设 X
AX
B
，求 X
，其中 A
1
1
1
,
B
2
0
.
1 0 1
(B) R ( A ) R (C )
二、填空题
(C) R ( A ) R ( B )
(D) R ( A ) m ax{R ( B ), R (C )}
1．设 A 为 5 阶方阵，且 R ( A ) 3 ，则 R ( A* ) = 0
.
a b b
8．设
A
b
a
b
，若
R
(
A*
)
1
，则必有（
C
）.
（C）当 A 0 时， B 0
（D）当 A 0 时， B 0
5、 n 阶方阵 A 中有一个 r 阶子式不等于零，且有一个 r + 1 阶子式等于零，
则有（ B ）。
（A）R ( A) r （B）R ( A) r （C）R ( A) r （D）R ( A) r 1
1 1 2
2
3
6．设
（C） a b 或 a 2b 0
（D） a b 或 a 2b 0
ax 1 x 2 a 2 x3 0
9．方程组
x1
ax 2
x3
0
的系数矩阵记为 A ，若存在 3 阶非零矩阵 B ，
x1
x2
ax 3
0
使 A B 0 ，则( C ).
(A) a 2 且 B 0
(B) a 2 且 B 0
（A） A x 必有无穷多解
（B） A x 必有唯一解
R(A) n .
（C）
A T
0
x y
0
仅有零解
（D）
A T
0
x y
0
必有非零解.
12．设 A 为 m n 矩阵，B 为 n m 矩阵，则线性方程组 ( A B ) x 0（D ）.
（A）当 n m 时仅有零解 （C）当 m n 时仅有零解
(C) a 1 且 B 0
(D) a 1 且 B 0
解 因为 A 1 a 2 ，又 A B 0 ，且 B 0
故 A 0 即 a 1 或 1 ，在四个备选答案中只能选择 C 和 D
再考虑到 a 1 时，显然 A 0 ，若 B 0 ，则 A B 0 ，所以 B 0 ，故 选 C. 10．若非齐次线性方程组 A x b 中方程个数少于未知数个数，那么( B ).
0 1 0 1
① A1 0
0
1
1
；
0 0 0 0
1 1 0 1
② A2 0
1
1
1
；
0 0 0 0
1 0 0 1
③
A3
0
1
0
1 ；
0 1 1 1
1 1 0 1
④ A4 0
0
1
1
。
0 0 0 0
（A）①②； （B）①④； （C）②③； （D）②④。
3．设 A 是三阶方阵，将 A 的第一列与第二列交换得到 B ，再把 B 的第二
列加到第三列得到 C ，则满足 A Q C 的可逆矩阵 Q 为（ D ）
0 1 0
0 1 0
0 1 0
0 1 1
（A）
1
0
0
（B）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
0
1
（C）
1
0
0
（D）
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
4．设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有（ D ）.
（A）当 A a (a 0) 时， B a （B）当 A a (a 0) 时， B a
因此， A 2 1 2 6 0 ，得 3 。
12 1
三、计算题
1 2 3
1.
设
A
2
1
2
，用初等变换法求
A-1。
1
3
4
1 2 3 1 0 0
1 0 0 2 1 1
解
(A
E)
2
1
2
0
1
0
r
0
1
0
6
1
4
1 3 4 0 0 1
0 0 1 5 1 3
2 1 1
故
A 1