不等式选讲习题含答案
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不等式选讲习题含答案 Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-
不等式选讲习题
1.(2014全国新课标I 卷)若0,0,a b >>且11a b
+= (I )求33a b +的最小值;
(II )是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由.
2.(2014全国新课标II 卷)设函数1()(0).f x x x a a a
=+
+-> (I )证明:()2;f x ≥
(II )若(3)5,f <求a 的取值范围.
3.(2013全国新课标I 卷)已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+ (I )当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;
(II )设1,a >-且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围. 4.(2013全国新课标II 卷)设,,a b c 均为正数,且1,a b c ++=证明:
(I )1;3
ab bc ac ++≤ (II )222 1.a b c b c a ++≥. 5.(2012全国新课标卷)已知函数() 2.f x x a x =++-
(I )当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集;
(II )若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2,求a 的取值范围.
6.(2011全国新课标卷)设函数()3f x x a x =-+,其中0a >.
(I )当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集;
(II )若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-,求a 的值.
7.(2015第一次省统测)已知a 是常数,对任意实数x ,不等式
|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都成立.
(I )求a 的值; (II )设,0>>n m 求证:.22122
2a n n mn m m +≥+-+
8.设函数.142)(+-=x x f
(I )画出函数)(x f y =的图象; (II )若不等式ax x f ≤)(的解集非空,求a 的取值范
2ab ≥,当且仅当a b == 当且仅当a b ==时等号成立 所以33a b +的最小值为………5分
(II )由(I )知23a b +≥=≥
由于6>,从而不存在,,a b 使得23 6.a b +=………10分
2.(2014全国新课标II 卷)
解:(I )由0a >,有1111() 2.f x x x a x a x a a a a a a =+
+-≥++-=+=+≥= 所以,() 2.f x ≥………4分
(II )1(3)33.f a a =++- 当03a <≤时,1(3)6f a a =-+,由(3)5,f <得165a a
-+<,解得1 3.2a <≤ 当3a >时,1(3)f a a =+由(3)5,f <得15a a
+<,解得532a << 综上所述,a 的取值范围是15(22a ++<<………10分 3.(2013全国新课标I 卷)
解:(I )当2a =-时,()212 2.f x x x =-+-
由()()f x g x <,得212230x x x -+---< 设()21223,f x x x x =-+---则
其图象如图所示,由图象可知,当且仅当(0,2)x ∈时,()0.f x < 所以,不等式()()f x g x <的解集为(0,2).………5分
(II )当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
时,()1.f x a =+ 不等式()()f x g x ≤可化为1 3.a x +≤+ 所以,2x a ≥-对1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
都成立.故42,.23a a a -≥-≤即 所以,a 的取值范围是4(1,].3
-.………10分 4.(2013全国新课标II 卷).
证明:(I )222a b ab +≥2222,2,2b c bc a c ac +≥+≥
222222222a b b c a c ab bc ac ∴+++++≥++,即222a b c ab bc ac ++≥++
又()1a b c ++= ,即 2222221a b c ab bc ac +++++=
1222ab bc ac ab bc ac ∴---≥++,即3()1ab bc ac ++≤
13ab bc ac ∴++≤
………5分 (II )222
2,2,2a b c b a c b a c b c a
+≥+≥+≥ 222()2()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++,即222 1.a b c a b c b c a
++≥++= 222
1.a b c b c a
∴++≥………10分 5.(2012全国新课标卷)
解:(I )不等式()3f x ≥的解集为(,1][4,)-∞+∞ (II )()4f x x ≤- 24x a x x ∴++-≤-,即42x x x a ---≥+
当[]1,2x ∈时,由42x x x a ---≥+,得42x x x a -+-≥+,即2x a +≤ 解得22a x a --≤≤- 又因为()4f x x ≤-的解集包含[]1,2
所以,21a --≤且22a -≥,即30.a -≤≤
所以,a 的取值范围是[3,0].-
6.(2011全国新课标卷)
解:(Ⅰ)当1a =时,()32f x x ≥+可化为12x -≥,由此可得 13x x ≤-≥或
故不等式()32f x x ≥+的解集为{|13}x x x ≤-≥或. (Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤此不等式化为不等式组
30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩或30x a x a x >⎧⎨-+≤⎩即2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩或4x a a x >⎧⎪⎨≤⎪⎩ 又因为0a >,所以不等式30x a x -+≤的解集为|2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩
⎭ 由题意知12
a -=-,解得 2.a = 7.(2015第一次省统测)
(I )解:3|21||2||1|=-++≤--+x x x x
对任意实数x ,不等式a x x ≤--+|2||1|都成立.
对任意实数x ,不等式|2||1|x x a -++≤都成立.
(II )证明:由(I )知.3=a
又,0>>n m
8.设函数.142)(+-=x x f
(I )画出函数)(x f y =的图象; (II )若不等式ax x f ≤)(的解集非空,求a 的取值范围.