特殊的平行四边形复习讲义

沃根金榜一对一学科教师辅导讲义

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______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备 ]

课前检查：

作业完成情况：优（）良（）中（）差（）

复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容 ]

特殊的平行四边形讲义

考试考点综述：

特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形

是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标

掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，

使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。

重难点：

1.矩形、菱形性质及判定的应用

2. 相关知识的综合应用

教学过程

知识点归纳

对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形

矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：

一．矩形

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．

【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．

矩形的性质

性质1矩形的四个角都是直角；

性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。

矩形的判定

矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．

矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补

例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，

求证：•四边形EFGH是矩形．

二．菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交

AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．

例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交

例3、如图，在 ABCD 中，

于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、

BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。求证：AM=BE 。

例6、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE ≌△BCF ；

（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；

（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围

.

三．正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形． 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称 正方形的判定方法：

• (1)有一个角是直角的菱形是正方形； • (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．

A

B

C

D

E

F

O

1

2

B

M A

D

C

E

•注意：1、正方形概念的三个要点：

•（1）是平行四边形；

•（2）有一个角是直角；

•（3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB

上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF．

例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

例3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E 在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x, △PBE的面积为y.

①求出y关于x的关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.