《数列的函数特性》示范公开课教学设计【高中数学必修5(北师大版)】

《数列的函数特性》教学设计

【知识与能力目标】

1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；

2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；

3．理解数列的前n项和与的关系；

4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.

【过程与方法目标】

1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；

2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；

3．理解数列的前n项和与的关系；

4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.

【情感态度价值观目标】

了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；

【教学重点】

根据数列的递推公式写出数列的前几项

【教学难点】

理解递推公式与通项公式的关系

：一、复习引入：上节学习知识点如下

⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出

现.

◆教学目标

◆教学重难点

◆教学过程

⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….

⒊数列的一般形式：，或简记为，其中a n是数列的第n项

⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来

表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

5．数列的图像都是一群孤立的点.

6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.

7．有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.

8．无穷数列：项数无限的数列.

二、讲解新课：

2．若{an}的通项公式an＝3n－1，则an＋1＝3n＋2，an＋1－an＝3，an与an＋1的大小关系为an＋1＞an.

3．对于函数f(x)，若对于定义域内任意x1＜x2，总有f(x1)＜f(x2)成立，则称f(x)是单调递增函数．

4．数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就构成一个数列．

1．数列的表示方法

(1)数列可用图像来表示，在直角坐标系中，以序号为横标，相应的项为纵标描点画图，其图像是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．

(2)从函数的观点看，数列的表示方法有列表法、图像法、解析法．

2．数列的函数特性

一个数列{a n}，如果从第起，每一项都它前面的一项，即a n＋1＞a n，那么这个数列叫做。

如果从起，每一项都它前面的一项，即a n＋1＜a n，那么这个数列叫做如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做。

1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )

答案： C

2．数列{an}的通项公式an ＝3n2－28n ，则数列{an}各项中最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项

答案： B

3．已知an ＋1－an －3＝0，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”) 答案： 递增

答案： an ＋1＞an 题型一：数列的图像表示

把正奇数按从小到大的顺序构成的数列1,3,5,7，…用列表法表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，根据图像指出它的增减性．

先列表，描点得到图像，再观察图像得到数列的增减性．

解析：a n ＋1－a n ＝

c (n ＋1)b (n ＋1)＋1－cn bn ＋1＝c

(bn ＋b ＋1)(bn ＋1)

＞0，

∴a n ＋1＞a n .

由图像知，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，所以是递增数列． [题后感悟]

(1)数列的表示方法有列表法、图像法、解析法，这同函数的表示方法相一致． (2)利用图像可直观判断数列的增减性．

1．把数列{n2－9n}用列表法表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，并根据图像指出它的增减性． 解析： 列表

由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的，在{5,6,7,8，…}上是递增的．

题型二：却对模糊数列的单调性

(1)求数列{an}的通项公式．

已知函数f (x )＝x －1

x

.数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n ＞0.

(2)判断数列{an}的增减性．

先将条件看作：关于an 的方程，通过解方程求出an ，再用作差法或作商法判断增减性．

[解题过程](1)∵f (x )＝x －1

x ，f (a n )＝－2n .

∴a n －1

a n ＝－2n .即a n 2＋2na n －1＝0，

解得a n ＝－n ±n 2＋1，∵a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n .(2)方法一(作差法)：

∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)－(n 2＋1－n )＝(n ＋1)2＋1－n 2＋1－1

＝[(n ＋1)2＋1－n 2＋1][(n ＋1)2＋1＋n 2＋1](n ＋1)2＋1＋n 2＋1

－1

＝

(n ＋1)＋n

(n ＋1)2＋1＋n 2＋1

－1显然(n ＋1)2＋1＞n ＋1，n 2＋1＞n .∴

(n ＋1)＋n

(n ＋1)2＋1＋n 2＋1

＜1∴a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二：(作商法)∵a n ＞0，

∴a n ＋1

a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n

＝

[(n ＋1)2＋1－(n ＋1)](n 2＋1＋n )[(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)](n 2＋1－n )(n 2＋1＋n )[(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)]＝n 2＋1＋n

(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)

＜1

∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．