等比数列经典例题

一、等比数列选择题
1．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(
)*
21n n n S a a n =+∈N
，且0n
S
>，记
数列{}
2n
n a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
2．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*n
a n N n
∈的最小值为（ ） A ．
16
25
B ．
49
C ．
12
D ．1
3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 B ．1
3n
S n = C ．1
3(1)
n a n n =-
-
D ．{}
3n S 是等比数列
4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0
D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞0
5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）
A ．有最大项，有最小项
B ．有最大项，无最小项
C ．无最大项，有最小项
D ．无最大项，无最小项
6．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45
B ．54
C ．99
D ．81
7．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，
1021031
01
a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）
A ．102
B ．203
C ．204
D ．205
8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4
B ．5
C ．4或5
D ．5或6
10．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()2
1234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）
A ．13a a <，24a a <
B ．13a a >，24a a <
C ．13a a <，24a a >
D ．13a a >，24a a >
11．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，
416a =，则6S ＝（ ）
A ．32
B ．63
C ．123
D ．126
12．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()
*
122n n a S n N ++=∈，则
满足
2100111
1000
10
n n
S S 的n 的最大值为（ ）. A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
14．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
15．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
16．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22
212n a a a ++
+=（ ）
A ．()2
21n -
B ．
()1213
n
- C ．41n -
D ．
()1413
n
- 17．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥
B ．若13a a =，则12a a =
C ．222
1322a a a +≥
D ．若31a a >，则42a a >
18．已知正项等比数列{}n a 满足11
2
a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．
312
或112
B ．
31
2 C ．15
D ．6
19．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3n
n S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列
B ．{}n a 是等差数列
C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列
D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列
20．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝1
4，且a n ＝1n n
b b +，则b 2020＝（ ）
A ．22017
B ．22018
C ．22019
D ．22020
二、多选题
21．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确
的有（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列
B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列
C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列
D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列 22．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列
D ．3a ，6a ，9a 成等比数列
23．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．1
1
3()2
n n a -=⋅-
B ．36n
n S a =+
C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a
3a =，则19p s +的最小值为83
D ．若1
n n t S m S ≤-
≤恒成立，则m t -的最小值为116
24．已知数列是{}n a
是正项等比数列，且37
23
a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2
B ．4
C ．85
D ．
83
25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ） A ．1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 B ．13n S n
=
C ．1
3(1)
n a n n =-
-
D ．{}
3n S 是等比数列
26．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正
确的是（ ）
A ．数列{}2n a 是等比数列
B ．数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是递增数列
C ．数列{}2log n a 是等差数列
D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比
数列
27．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}
n a 是等比数列 B ．数列{}1n n a a +是等比数列 C ．数列{
}
2
lg n a 是等比数列
D ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等比数列 28．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．1p =时，41516
S =
C ．当12
p =
时，()*
,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D ．3856a a a a +=+ 29．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）
A ．1
12n n n S S ++-=
B ．12n n
a
C ．21n
n S =- D ．1
21n n S -=-
30．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有
n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）
A ．等差数列不可能是收敛数列
B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-
C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
一定是收敛数
列
31．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1n
a n n
b a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）
A ．n
B ．nq
C ．
()
12
1n n n q nq nq q q ++---
D ．
()
211
2
1n n n q nq nq q q ++++---
32．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．2q
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
33．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，991001
01
a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的
D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于198
34．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m = C ．若
11
16
25n
i i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则
116m n
+的最小值为25
12
35．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1
n n
n
b a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；
C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；
D ．若112n
n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.
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一、等比数列选择题
1．B 【分析】
由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1
122n n T n +=-⋅+，即可得解.
【详解】
由题意，()()*
21n n n S a a n N
=+∈，
当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，
所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，
因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，
所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，
()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，
所以()()2
3
4
1
11212222222
212212
n n
n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=
-⋅=-⋅--，
所以()1
12
2n n T n +=-⋅+，
所以876221538T =⨯+=，9
87223586T =⨯+=，
所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 2．D 【分析】
首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较
()*n
a n N n
∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】
在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，
所以21344a a a =+，即2
44q q =+，解得2q
，
所以1
2
n n
a ，所以1
2n n a n n
-=
， 1
2111n n a n n a n n
++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*
n a n N n
∈取得最小值1，
故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 3．C 【分析】
由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，可判断A ，求
出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】
2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以
1
113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，A 正确； 1113S a ==，1
13S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 11
3
a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；
1313n n S +=，数列113n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，D 正确．
故选：C ． 【点睛】
易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，
在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 4．A 【分析】
根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】
等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，
202112021(1)01a q S q
-=>-，
因为2021
1q
-与1q -同号，
所以10a >，
所以2
131(1)0a a a q +=+>，
当1q =时，
2021120210S a =>，
所以10a >，
所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】
易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 5．B 【分析】
首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比41
4141328a q a -=
==，所以12
q =， 则其通项公式为：1
16113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪
⎝⎭
，
所以()
()
561154
2
2
12
622
2
22
n
n +n n n n n T a a
a ---==⨯==，
令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 6．C 【分析】
利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】
设数列{}n a 的公比为q ，因为3
41a a q =，所以3q =，所以24
352299a a q q +=+=.
故选C
7．C 【分析】
由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】
由10210310a a ->，即1021031a a >，则有2
1021a q ⨯>，即0q >。

所以等比数列{}n a 各项为正数， 由
1021031
01
a a -<-，即102103(1)(1)0a a --<， 可得：1021031,1a a ><， 所以10220412203204102103()1T a a a a a a =⋅⋅
⋅=⋅>，
103205122032042051031T a a a a a a =⋅⋅
⋅⋅=<，
故使得1n T >成立的最大自然数n 的值为204，
故选：C 【点睛】
关键10220412203204102103()1T a a a a a a =⋅⋅
⋅=⋅>点点睛：在分析出1021031a a >，
1021031,1a a ><的前提下，由等比数列的性质可得102204102103()1T a a ==⋅>，
1032051031T a =<，即可求解，属于难题.
8．C 【分析】
根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】
设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，
因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42
340q q --=，
解得24q =或2
1q =-（舍），所以2q
，
又等比数列{}n a 的前4项和为30，
所以23
111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2
318a a q ==．
故选：C . 9．C 【分析】
由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差1
2
d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，
134,,a a a 成等比数列，2
314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12
d =-，
()()2
111198122
4
4216
n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+
=-
=--+ ⎪⎝⎭，
所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 10．B 【分析】
由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】
设等比数列的公比为q ， 则(
)()()23
2
123411
1+++1+1+0a a a a a q q q
a q q +++==≥，可得1q ≥-，
当1q =-时，12340a a a a +++=，()2
1230a a a ++≠，1q ∴>-，
()2
1234123a a a a a a a +++=++，即()2
23211+++1++q q q a q q =，
()
23
12
21+++11++q q q a q q ∴=
>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，
()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，
()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，
()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.
故选：B. 【点睛】
关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小. 11．D 【分析】
根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=.
∴2
260q q --=，∴2q 或3
2
q =-（舍去），
∵416a =，∴4
13
2a a q =
=， ∴6616(1)2(12)
126112
a q S q --=
==--， 故选：D. 12．C 【分析】
根据(
)*
122n n a S n N ++=∈可求出n
a
的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合
不等式可求n 的最大值. 【详解】
1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，21
2
a =
；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n
⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210
n
⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C 13．C 【分析】
根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】
因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()2
42264S S S S S -=-，即()()62
153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 14．B 【分析】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得
515(12)
512a S -==-，解得1531
a =
，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，
由题意得515(12)
512a S -==-，解得1531a =
， 5
(12)
3120
12
n n S -∴=-，解得2125n ．
因为6264=，72128=
∴该女子所需的天数至少为7天．
故选：B 15．C 【分析】
根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】
因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得3
78a =，
所以72a =，因此2
31174a a a ==.
故选：C. 16．D 【分析】
由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}
2
n a 也为等比数列，确定该数列的
首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.
【详解】
已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；
当2n ≥时，(
)(
)1
1122
2n
n n n n n a S S a a ---=-=---=.
由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n n
a ，所以，022a -=，解得1a =，
()1
2
n n a n N -*
∴=∈，则()
2
21
1
24
n n n
a --==，21
21444
n n n n a a +-∴==，且211a =，
所以，数列{}
2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，2221
2
1441
143
n n n
a a a --+++==
-. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或1
1n n a a q -=进行
求解；
（2）前n 项和法：根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；
（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律
的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1
n
n a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且
1k ≠，0k ≠）.
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1
b
m k =
-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭
是以k 的等比数列，可求出n a ；
②取倒数法：这种方法适用于()1
12,n n n ka a n n N ma p
*--=
≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b
-=+的式子；
⑦1n
n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式
的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 17．C 【分析】
取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】
解：设等比数列的公比为q ，
对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；
对于B 选项，若13a a =，则2
11a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得222
1313222a a a a a +≥⋅=，故正确；
对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()
1422
1a a a q q -=-，其正负由q 的符
号确定，故D 不确定. 故选：C. 18．B 【分析】
首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】
正项等比数列{}n a 中，
2432a a a =+∴，
2332a a =+∴，
解得32a =或31a =-（舍去）
又112
a =
， 23
1
4a q a =
=， 解得2q ，
5
151
(132)
(1)312112
a q S q --∴===--，
故选：B 19．D 【分析】
根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】
由题意2n ≥时，1
1
1(3)(3
)23
n
n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，1
3n n
a a +=(2)n ≥， 113a S
b ==+，
若
212333a a b
⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，
11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要
求
34
23
a a a a ==，还必须满足
3
212
a a a a =． 20．A 【分析】
根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为
2020
1
b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1
n n n
b a b +=
，所以3201920202020
24
12320182019123
201820191
b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()
()123
201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
22
22019
201910101010
1010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==
所以
20192020
12b b =，又114
b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】
结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，
（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2
m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.
二、多选题
21．AD 【分析】
利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，
则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-， 则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦， 所以{}n A 是等差数列，故A 正确； 对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，
()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，
奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ， 当1q ≠-时， 则
11111n n n n n n n n n n
a q a A a a a q
q a A a a --+--+=+++==， 当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确； 故选：AD 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 22．AD 【分析】
根据等比数列的定义判断． 【详解】
设{}n a 的公比是q ，则1
1n n a a q -=，
A ．2
3513
a a q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确；
B ，32
a q a =，363a
q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误；
C ．
24
2a q a =，484
a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．3
6936
a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．
数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,
a a a 仍是等比数列，
实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,
n k k k k a a a a 仍是等比
数列． 23．ABD 【分析】
根据等差中项列式求出1
2
q =-，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；
3a =求出15p s =⎧⎨
=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或5
1
p s =⎧⎨=⎩，可知19p s +的最小值为
11
4，C 不正确；利用1n n
y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结
果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由13a =，21344a a a -=+得2
43343q q -⨯=+⨯，解得1
2
q =-
，所以11
3()2
n n a -=⋅-，
1
3(1())
1221()121()2
n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--；
1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛
⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝
⎭；所以A ，B 正确；
3a =，则23p s a a a ⋅=，1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==，
所以11
4p s q
q
q --=，所以6p s +=，
则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或5
1p s =⎧⎨=⎩
，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，
122,2121()2122,2n
n n n
n S n ⎧⎛⎫
+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛
⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩
为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3
[,2)2
n S ∈，
又1n n y S S =-
关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138
(,]23
n
n S S -∈，当n 为偶数时，153
[,)62n n S S -
∈，所以83
m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】
本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 24．ABD 【分析】
根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】
解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，
∴2
37375232326
2a a a a a +
=， 因为50a >，
所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 25．ABD 【分析】
由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，
从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ．
因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以
1
113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，A 正确；
公差为3，又
11113S a ==，所以133(1)3n n n S =+-=，13n S n =．B 正确； 2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得1
3(1)
n a n n =
-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；
由1
3n S n =
得1
311333n n n S +==⨯，∴{}
3n S 是等比数列，D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由
1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．
26．AC 【分析】 由已知得12n n
a 可得以2122n n a -=，可判断A ；又1
111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭
，可判断B ；由
122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.
【详解】
等比数列{}n a 中，满足11a =，2q
，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列
{}2n a 是等比数列，故A 正确；
又1
111122n n n a --⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，所以数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递减数列，故B 不正确； 因为1
22log log 2
1n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；
数列{}n a 中，101010111222
S -==--，202021S =-，30
3021S =-，10S ，20S ，30S 不成
等比数列，故D 不正确； 故选：AC . 【点睛】
本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题. 27．ABD 【分析】
分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断.
根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1
n n
a q a +=， 对于A ，对于数列{}n a ，则有1
||n n
a q a ，{}n a 为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}1n n a a +，有
21
1n n n n
a a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}
2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}
2
lg n a 不是等比数
列，C 错误；
对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，有11
1
11n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】
本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 28．AC 【分析】
由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】
由122(2)n n S S p n --=≥，得22
p a =
. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，
又
2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，441
11521812
S -
==-，故B 错误； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为212
1122
m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；
38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫
+=+=⋅ ⎪⎝⎭
，
则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：AC. 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能
力，属于中档题． 29．BC 【分析】
先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】
由23464a a a =得33
34a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由
2410a a +=，得4
410q q
+=，即22520q q -+=，解得2q
或1
2q =
．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q
，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n n
a ，
()
1122112
n n
n S ⨯-=
=--，所以()1
12
1212n n n n n S S ++-=---=.
故选：BC 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.
30．BCD 【分析】
根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】
当0n S >时，取2111222
222n d d d
d d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=
+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r
+->1112222
d
a ra dr r
n N d dr -+
-+⇒>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错； 对于B ，1
1n n x x q
-=，若1q >，则对任意正数r ，
当11log 1q r n x ⎛⎫
+>+ ⎪ ⎪⎝⎭
时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，
若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()1
11n n x x -=-，
只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；
若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q r N x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
，
当n N >时，11110n n r x x q
x r x --=<=，故B 正确； 对于C ，()1sin cos sin 0222
n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合； 对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=
+- ⎪⎝⎭， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r
更大的正数，
当n N >=时，110n n r S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题.
31．BD
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项 ∴2428a a a =,即()()()2
11137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,
故1n a =或n a n =,所以n b q =或n n b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S , ①当n b q =时,n S nq =；
②当n n b n q =⋅时,
23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）,
2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,
（1）-（2）得：()()2311111n n n n n q q q S q q q q n q n q q ++--=+++-⨯=
-⨯-+⋅⋅, 所以1211
22(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---, 故选：BD
【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型.
32．ABC
【分析】
由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.
【详解】
∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，
∴31118a a q +=，21112a q a q +=， ∴12a =，2q 或12q =
（舍去）故A 正确， ()
12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；
∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；
而lg lg 2lg 2n n a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．
故选：ABC .
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 33．ABD
【分析】
由已知9910010a a ->，得0q >，再由99100101
a a -<-得到1q <说明A 正确；再由等比数列的性质结合1001a <说明B 正确；由10099100·
T T a =，而10001a <<，求得10099T T <，说明C 错误；分别求得1981T >，1991T <说明D 正确.
【详解】
对于A ，9910010a a ->，21971·1a q ∴>，()2
981··1a q q ∴>. 11a >，0q ∴>. 又99100101
a a -<-，991a ∴>，且1001a <. 01q ∴<<，故A 正确；
对于B ，299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩
，991010?1a a ∴<<，即99101·10a a -<，故B 正确； 对于C ，由于10099100·
T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故C 错误； 对于D ，()()()()19812198119821979910099100·
····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>， ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故D 正确.
∴不正确的是C .
故选：ABD .
【点睛】
本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 34．AB
【分析】
由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为
11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得11
1n i i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】
由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,
=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002
+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确; 因为
11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=45549413245
1n i i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以
()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45
n m =不成立,故选项D 错误.
故选:AB.
【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 35．ACD
【分析】
根据新定义进行判断．
【详解】
A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111
111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1
110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正
确；
B ．31n a n =-，则13131
n b n n =--
-，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131
n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确；
D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2
n n n b =-----， 首先函数1y x x
=-在(0,)+∞上是增函数， 当n 为偶数时，11()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n n b a a =-<， 当n 为奇数时，1
1()2n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n
b a a =-也是递减的， 即135b b b >>>
，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156
b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．
【点睛】
本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．。