初中数学-三角形的证明测试题有答案

初中数学-三角形的证明测试题

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（B）

A．1，2，1 B． 2，2，1 C． 1，3，1 D．2，2，5

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的个数是(D)

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是(D)

A．70°B．55°

C．50°D．40°

4．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（D）

A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形

B．有一个锐角是45°的直角三角形

C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形

5．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是(A)

A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA

C．∠C＝∠D D．BC＝AD

6．下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）

A．1个B．2个C． 3个D．4个A

7．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为(C)

A．8或10 B．8

C．10 D．6或12

8．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为(A)

A．48°B．36°C．30°D．24°

9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若

AC＝5，BC＝3，则BD的长为(D)

A．2.5 B．1.5

C．2 D．1

10．如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于E，交AC于F，则图中的等腰三角形有(D)

A．4个B．5个

C．6个D．7个

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是__________________________________________，这个逆命题是________命题．

12．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为________．

第12题图第13题图

13．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是________．14．如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB、CD分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长约为12米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h约为________米．

第14题图第15题图

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为________．16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D.若∠ADE

＝40°，则∠DBC＝________°.

第16题图第17题图

17．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：①AC⊥BD；②CB ＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是__________．

18．若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________．

三、解答题(共66分)

19．(8分)如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.

20.(8分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．

21．(8分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF.求证：AD 垂直平分EF.

22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

(1)求证：△BED≌△CFD；

(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．

23．(10分)如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：

(1)AD的长；

(2)△ABC的面积．

24．(10分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．

(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；

(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．

25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.

(1)求点B的坐标；

(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．

(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．

答案

11．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 12．100° 13.76 14.6 15.18 16.15 17.①②③

18．30°或150° 解析：当高在三角形内部时，顶角是30°；当高在三角形外部时，顶角是150°.所以等腰三角形顶角的度数为30°或150°.

19．证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B ＝∠C ＝90°.(1分)∵EF ⊥DF ，∴∠EFD ＝90°，∴∠EFB ＋∠CFD ＝90°.∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°，∴∠BEF ＝∠CFD .(4分)在△BEF 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，

∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA)，(7分)∴BF ＝CD .(8分)

20．解：∵AB ＝AC ，AE 平分∠BAC ，∴AE ⊥BC ，∴∠DEC ＝90°.(3分)∵∠ADC ＝125°，∴∠DCE ＝∠ADC －∠DEC ＝35°.(5分)∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝2∠DCE ＝70°.(6分)又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝70°，∴∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠ACB )＝40°.(8分)

21．证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∴点D 在线段EF 的垂直平分线上．(3

分)在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，

DE ＝DF ，

∴Rt △ADE ≌Rt △ADF (HL)，∴AE ＝AF ，(6分)∴点A 在线段

EF 的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD 垂直平分EF .(8分)

22．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .(4分)∴△BED ≌△CFD (AAS)．(5分)

(2)解：∵AB ＝AC ，∠A ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝CA ，∠B ＝60°.(7分)又∵DE ⊥AB ，∴∠EDB ＝30°，∴BD ＝2BE ＝2，∴BC ＝2BD ＝4，(9分)∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CD ＝3BC ＝12.(10分)

23．解：(1)∵∠C ＝45°，AD 是△ABC 的边BC 上的高，∴∠DAC ＝45°，∴AD ＝CD .(2分)∵AC 2＝AD 2

＋CD 2，∴62＝2AD 2，∴AD ＝3 2.(4分)

(2)在Rt △ADB 中，∵∠B ＝60°，∴∠BAD ＝30°，∴AB ＝2BD .(6分)∵AB 2＝BD 2＋AD 2，∴(2BD )2＝BD 2

＋AD 2，BD ＝ 6.(8分)∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12(BD ＋DC )·AD ＝1

2

×(6＋32)×32＝9＋3 3.(10分)

24．解：(1)△DEF 是等边三角形．(1分)证明如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ，AB ＝BC ＝CA .又∵AD ＝BE ＝CF ，∴DB ＝EC ＝F A .∴△ADF ≌△BED ≌△CFE ，(3分)∴DF ＝ED ＝FE .∴△DEF 是等边三角形．(5分)