2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练(五十六)专题探究课(五)

课时跟踪练(五十六)

A 组 基础巩固

1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，

M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .

(1)若直线MN 的斜率为3

4

，求C 的离心率；

(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .

解：(1)根据c ＝

a 2－

b 2及题设知M ⎝

⎛⎭⎪⎫c ，b 2

a ，

b 2a 2

c ＝34，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，c

a ＝－2(舍去)．

故C 的离心率为1

2

.

(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，

所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点， 故b 2

a

＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则

⎩⎨

⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，

y 1＝－1. 代入C 的方程，得9c 24a 2＋1

b 2＝1.②

将①及c ＝

a 2－

b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋1

4a

＝1.

解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.

2．(2019·郑州模拟)已知动圆E 经过点F (1，0)，且和直线l ：x ＝－1相切．

(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；

(2)已知点A (3，0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值．

解：(1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，所以动点E 的轨迹是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，

故轨迹G 的方程是y 2＝4x .

(2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3

联立得方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，

y 2＝4x ，

消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0，

Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )恒大于零． 设C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得

x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，所以|CB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝

2（x 1－x 2）2＝ 2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝42（1－m ）， 故A 到直线l ′的距离d ＝3＋m 2

， 所以S △ABC ＝12×4

2（1－m ）×3＋m 2

＝21－m ×(3＋m )，

令

1－m ＝t ，t ∈(1，2)，则m ＝1－t 2，

所以S △ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3， 令f (t )＝8t －2t 3，所以f ′(t )＝8－6t 2，

易知y ＝f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23上递增，在

⎝ ⎛⎭

⎪⎫23，2上递减． 所以y ＝f (t )在t ＝

23

，即m ＝－1

3时取得最大值．

所以△ABC 面积的最大值为323

9

.

3．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1

交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．

(1)证明：k <－1

2

.

(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →

＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|.

证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 214＋y 213＝1，x 22

4＋y 2

23

＝1. 两式相减，并由y 1－y 2

x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.

由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－3

4m .

由题设得0

2

.

(2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则

(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.

又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P (1，－3

2)，|FP →|＝32.

于是|FA →

|＝ （x 1－1）

2

＋y 21＝

（x 1－1）2

＋3（1－x 21

4

）＝2

－x 12

. 同理，|FB →|＝2－x 2

2

.

所以|FA →|＋|FB →|＝4－1

2(x 1＋x 2)＝3.

故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|.