高三数学一轮复习 29 函数模型及其应用知能训练 文 (广东专用)
2020年高考一轮复习数学(文)函数模型及其应用
••＞必过教材美i .几类函数模型 函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)= ax + b(a , b 为常数，a * 0) 反比例函数模型 f(x)= k + b(k , b 为常数且 k * 0) 二次函数模型f(x)= ax 2 + bx + c(a , b , c 为常数，a * 0)指数函数模型xf(x) = ba + c(a , b , c 为常数，b *0, a >0 且 a * 1)对数函数模型 f(x) = blog a x + c(a , b , c 为常数，b *0, a >0 且 a * 1) 幕函数模型f(x) = ax n + b(a , b 为常数，a * 0)2.解函数应用问题的 4步骤(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建 立相应的函数模型；(3) 解模：求解函数模型，得出数学结论； (4) 还原：将数学结论还原为实际意义的问题.以上过程用框图表示如下：［小题体验］1. (2019徐州诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不 超过10立方米的，按每立方米 3元收费；用水超过 10立方米的，超过的部分按每立方米 5元收费•某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为 ___________ 立方米.解析：设该职工某月的实际用水为 x 立方米时，水费为y 元,易知该职工这个月的实际用水量超过 10立方米，所以5x — 20 = 55,解得x = 15.第九节函数模型及其应用由题意得3x , 0< x W 10,30 + 5 x — 10 , x > 10,3x , 0W x < 10, 即y —5x — 20, x > 10.答案：152 •用18 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙•若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是 ________ m2.解析:设隔墙长为x m，则面积S= x 18 2 4X=- 2X2+ 9x =- 2\x—4；+ 琴所以当X = 9时，能围成的面积最大，为81 m2.4 8■•卜必过易措美i •函数模型应用不当，是常见的解题错误•所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.2 •要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3 •注意问题反馈•在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.［小题纠偏］1 .据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车量为X辆次，存车费总收入为y元，则y关于X的函数关系式是____________ •答案：y=—0.1x+ 1 200(0< x w 4 000)2 •某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产•已知1该生产线连续生产n年的累计产量为f(n) = 2n(n + 1)(2n + 1)吨，但如果年产量超过150吨, 将会给环境造成危害•为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________ 年.— 1 1 2 * 解析：各年产量为a n = f(n)- f(n- 1) = ^n(n + 1)(2n+ 1)-?n(n- 1)(2n- 1) = 3n2(n € N ),令3n2w 150,得1w n w 5，,2.又n€ N*,所以1w n W 7,故生产期限最长为7年.答案：7考点一二次函数模型重点保分型考点一一师生共研［典例引领］某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段.已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m .为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm(h > 1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系.(1) 当h = 1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；6(2) 若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围.解：由题意，最高点为(2 + h,4), h > 1.设抛物线方程为y= a[x - (2 + h)]2+ 4.(1) 当h = 1时，最高点为(3,4),方程为y= a(x- 3)2+ 4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a=- 1.即所求抛物线的方程为y= —x2+ 6x- 5.(2) 将点A(2,3)代入y= a[x - (2 + h)] + 4，得ah =- 1.由题意，方程a[x- (2 + h)]2+ 4= 0在区间[5,6]内有一解.令f(x)= a[x- (2 + h)]2+ 4 =-丰仪一(2 + h)]2+ 4,1 2f(5尸-h^(3- h)+ 4》°，4贝U 解得K h w 4.1 2 3[f (6 = - h^(4 —h ) + 4w °.故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是1, 4 I.[由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1) 构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；(2) 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；⑶解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题.[即时应用](2019启东中学高三检测)某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每个下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的4设该企业裁员x人后纯收益为y万元.(1) 写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2) 当140v a w 280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)解：(1)由题意，y=(a-x)(1 + 0.01x)-0.4x=- 100x2+ 訖一7 x+ a,因为a - x ＞攀，所以x w£4 4*故x 的取值范围为O w x ＜且x € N .4 ⑵由⑴知 y — 盘x - g - 70)[2+ 蕊-70)+ a ,当 140v a w 280 时，O v a — 70 w 弓,2 4 当a 为偶数时，x = 2 — 70, y 取最大值；当a 为奇数时，x = a ^— 70或x = a -—-^— 70, y 取最大值, 因尽可能少裁员，所以 x = 号一70,考点二 函数y = x +巴模型的应用重点保分型考点 一一师生共研 ［典例引领］为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层•某幢 建筑物要建造可使用 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6万元.该建筑物每年k的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)=(0w x w 10),3x + 5若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元，设f(x)为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费 用之和.(1) 求k 的值及f(x)的表达式；(2) 隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值. 解：⑴由已知条件得 C(0) = 8，贝U k = 40,当且仅当6x +10=器，即x =5时等号成立.所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用f(x)达到最小值，最小值为 70万元.［由题悟法］应用函数y = x +:模型的关键点因此 f(x) = 6x + 20C(x)= 6x + 800环3x + 5(0 w x w 10).(2)f(x) = 6x + 10 +800 3x + 5—10＞ 2 6x + 10 8003x + 5—10= 70(万元), 所以当a 为偶数时，应裁员(1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)= ax 与反比例函数f(x)= -叠加而成的.⑵解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)= ax + b 的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)= ax + 9的形式.(3) 利用模型f(x) = ax + b 求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成 立的条件.［即时应用］某隧道长2 150 m ，通过隧道的车速不能超过 20 m /s. —列有55辆车身长都为10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为 40 m/ s),匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s,根据安全和车流的需要，当 0v x w 10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10v x < 20时，相邻两车之间保持 $2 3 +衣m 的距离.自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s).(1) 将y 表示为x 的函数；(2) 求车队通过隧道的时间 y 的最小值及此时车队的速度. (.3~ 1.73)解：⑴当0 V x w 10时， 2 150 + 10X 55 + 20 X 55- 1 3 780y = x，当 10V x W 20 时,2-700+ 9x + 18, 10V x w 20. L x '2 150 + 10X 55+ 7x 2 + y =上1 =逊 + 9x + 18,x3—8°, 0V x w 10, I x 所以y =因为 17.3 € (10,20］,所以当 x = 17.3(m/s)时，y min = 329.4(s), 因为 378 > 329.4,所以当车队的速度为 17.3 m/s 时，车队通过隧道的时间y 有最小值329.4 s.(2) 当 x € (0,10］时，在 x = 10 时, y min = 3 78010=378(s ). 当 x € (10,20］时，y = 2-700+ 9x + 18> 18 + 2 Xx,9x X 2［00= 18 + 180 3^ 329.4(s),当且仅当9x =2 700x，即x ~ 17.3(m/s)时取等号［典例引领］已知某物体的温度0单位：摄氏度）随时间t （单位：分钟1 t2 —（t >0,并且 m >0）.（1）如果m = 2,求经过多少时间，物体的温度为 5摄氏度; （2）若物体的温度总不低于 2摄氏度，求m 的取值范围. 解：（1）若 m = 2,贝U 0= 2 2t + 21-1= 2 2t + 当 0= 5 时，2t + ?= 5,‘ 1 5 c 令 2t= x （x > 1），则 x + -= 一，即卩 2x 2— 5x + 2= 0, x 2 解得x = 2或x = 2（舍去），此时t = 1. 所以经过1分钟，物体的温度为 5摄氏度. （2）物体的温度总不低于 2摄氏度，即0= m 2t + 2>2恒成立，亦即 m > 2扌—空恒成立. 1 2令孑=x ，贝U 0v x < 1,所以 m > — 2x + 2x , 因为一2x 2 + 2x = — 2 x — 1 2+ €1所以m > ,因此，当物体的温度总不低于 2摄氏度时，m 的取值范围是［由题悟法］指数函数与对数函数模型的应用技巧（1）与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择 模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快 （底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.（2）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式, 再借助函数的图象求解最值问题.［即时应用］候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的 一Q考点三 指数函数与对数函数模型 重点保分型考点 师生共研）的变化规律是： 0= m2t +5飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为：v = a+ blog3^^（其中a, b是实数）.据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1) 求出a , b 的值；(2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ,则其耗氧量至少要多少个单位？解：⑴由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s ，此时耗氧量为30个单位,30故有 a + blog 330= 0，即 a + b = 0.310 当耗氧量为90个单位时，速度为 1 m/s ，a +b = 0，a =— 1， 解方程组得a + 2b = 1，b = 1.Q Q⑵由(1)知，v = a + blog 3石=—1+1。
2023版高考数学一轮总复习：函数模型及其应用课件文
A.方案二比方案一更优惠
B.乘客甲打车行驶4千米,他应该选择方案二
C.乘客乙打车行驶12千米,他应该选择方案二
D.乘客丙打车行驶16千米,他应该选择方案二
考向3
解析
构造函数模型求解实际问题
设乘客打车行驶x千米,f(x)为按照方案一收费的费用,g(x)为按照方案二收费
判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%后出售,后因库存积压降价,若按九折出
售,则每件还能获利.( ✕ )
(2)幂函数增长比一次函数增长更快.( ✕ )
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题( √ )
(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增
刻甲、乙两企业的污水排放量相同,故在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污
水治理能力比乙企业强,故①正确;甲企业污水排放量与时间的关系图象
在t2时刻切线的斜率的绝对值大于乙企业,故②正确;在t3时刻,甲、乙两
企业的污水排放量都低于污水达标排放量,故都已达标,③正确;甲企业
在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t1,t2]的污水治理能力最强,
A.1.5
B.1.2
C.0.8
10
10≈1.259)( C )
D.0.6
1
−
解析 由已知,知4.9=5+lg V⇒lg V=-0.1⇒V=10 10 =
所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
2025高考数学一轮复习-2.9-函数模型及其应用【课件】
考点二 已知函数模型解决实际问题
【例 1】 (2022·湖北期末)2020 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出 现并很快地传染开来(已有证据表明 2019 年 10 月、11 月国外已经存在新冠肺炎病毒)，对 人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗 击、防控新冠肺炎，疫情早在 3 月底已经得到了非常好的控制(累计病亡人数 3869 人)．疫 情期间医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为 100 万元，每生 产 x 万件，需另投入流动成本为 W(x)万元，在年产量不足 19 万件时，W(x)＝23x2＋x万元； 在年产量大于或等于 19 万件时，W(x)＝26x＋40x0－320万元．每件产品售价为 25 元．通 过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』
1．几种常见的函数模型
Hale Waihona Puke 函数模型函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b 为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a、b、c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
【解析】 由题意可得 2x＋y＝20，∴y＝20－2x，由 y>0，得 x<10，又在三角形中， 两边之和大于第三边，得 2x>y，∴20＝2x＋y<4x，∴x>5，故 f(x)＝20－2x(5<x<10)．
易错点睛：(1)对三种函数增长速度的理解不深致误． (2)注意实际问题中函数的定义域．
课堂考点突破
3．某种产品的产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年增加 p%， 则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析式为( B )
高三数学一轮复习 第2章第9节 函数模型及其应用课件 文 (广东专用)
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：用数学问题解释并回答实际问题的意义．
直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？你作为老板， 希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长？
【提示】 直线上升，匀速增长；指数增长，先慢后快，其增长量
成倍增加，可用“指数爆炸”形容；对数增长：先快后慢，其增长
【解析】
B．18 万件 D．9 万件
1 利润 L(x)＝20x－C(x)＝－ (x－18)2＋142， 2
当 x＝18 时，L(x)有最大值．
【答案】 B
4． (2011· 湖北高考)放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成 其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位 素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间 t(单位年)满 t 足函数关系：M(t)＝M02－ ，其中 M0 为 t＝0 时铯 137 的含量，已知 30 t＝30 时， 铯 137 含量的变化率是－10 ln 2(太贝克/年)， 则 M(60)＝( A．5 太贝克 C．150ln 2 太贝克 B．75ln 2 太贝克 )
A．{1,2,3,4}
)
B．{1,1.5,2,2.5}
C．{1,1.5,2.5,3}
D．{1.5,2,2.5}
【解析】 当m∈[0.5,3.2]时，[m]所有可能值为0,1,2,3共四个， 故f(m)的值域为{1,1.5,2,2.5}． 【答案】 B
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月 1 2 生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝ x ＋2x＋20(万元)．一万 2 件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量 为( ) A．36 万件 C．22 万件
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.9函数模型及其应用学案文
2.9 函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )(3)当a>1时，不存在实数x0，使a x0<x a0<log a x0.( )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771，lg 109＝2.0374，lg 0.09＝－2.9543)( )A．2015年B．2011年C．2010年D．2008年答案 B解析设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝2lg 2lg 1.09≈16.故选B.(2)(必修A1P 107T 1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.156.126y1.5174.04187.51218.01A ．y ＝2x －2B ．y ＝2(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x答案 B解析 由题意得，表中数据y 随x 的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大越来越快．∵A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D 中函数是减函数，∴排除A ，C ，D ，∴B 中函数y ＝12(x 2－1)符合题意．故选B.3．小题热身(1) (2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2016年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 ________千克．答案1909解析 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.答案 ③ x 2－8x ＋17解析 (ⅰ)因为f (x )＝p ·q x ，f (x )＝log q x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－p2，f (x )出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f (x )＝x 2＋px ＋q .(ⅱ)∵f (1)＝10，f (3)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17，∴f (x )＝x 2－8x ＋17 故答案为③；x 2－8x ＋17.题型1 二次函数及分段函数模型典例 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5000，当x ＝200时，S 取得最小值－20000，故国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，x ∈[120，144)，12x ＋80000x －200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240， 所以当x ＝120时，yx取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80000x －200≥2 12x ×80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略1．在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．2．实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．见典例．3．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； (2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． 提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解． 冲关针对训练(2017·广州模拟)某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元． ②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2，所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题型2 指数函数模型典例 (2017·西安模拟)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝211－x2.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．本题用函数思想，采用换元法．解 (1)由图象知函数图象过(5,1)，(7,2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 8(5－b )2＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 8(7－b )2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝5.(2)当P ＝Q 时，2(1－6t )(x －5) 2＝211－x2 ，即(1－6t )(x －5)2＝11－x 2，化简得1－6t ＝11－x2(x －5)2＝12·22－x(x －5)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x －5)2－1x －5. 令m ＝1x －5(x ≥9)，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 设f (m )＝17m 2－m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，对称轴为m ＝134，所以f (m )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1316，所以，当m ＝14，即x ＝9时，1－6t 取得最大值为12×1316，即1－6t ≤12×1316，解得t ≥19192，即税率的最小值为19192.方法技巧构建指数函数模型的关注点1．指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y (单位：万人)与年份x (单位：年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． (1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .所以该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式是y ＝100×(1＋1.2%)x(x ∈N )．(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． 所以10年后该城市人口总数约为112.7万人．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x ≥120，于是1.012x≥120100，所以x ≥log 1.012120100＝，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人． 题型3 对数函数模型典例 某企业根据分析和预测，能获得10万～1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y (万元)随投资收益x (万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y ＝f (x )模拟此方案．(1)写出模拟函数y ＝f (x )所满足的条件；(2)试分析函数模型y ＝4lg x －3是否符合此方案要求，并说明理由．用函数思想，采用导数法．解 (1)由题意，y ＝f (x )所满足的条件是： ①f (x )在[10,1000]上为增函数， ②f (x )≤9， ③f (x )≤15x .(2)对于y ＝4lg x －3，显然在[10,1000]上是增函数，满足条件①.当10≤x ≤1000时，4lg 10－3≤y ≤4lg 1000－3，即1≤y ≤9，满足条件②. 证明如下：f (x )≤15x ，即4lg x －3≤15x ，对于x ∈[10,1000]恒成立．令g (x )＝4lg x －3－15x ，x ∈[10,1000]，g ′(x )＝20 lg e －x 5x ，∵e<10，∴lg e<lg 10＝12，∴20lg e<10，又∵x ≥10，∴20lg e －x <0，∴g ′(x )<0对于x ∈[10,1000]恒成立，∴g (x )在[10,1000]上是减函数． ∴g (x )≤g (10)＝4lg 10－3－15×10＝－1<0，即4lg x －3－15x ≤0，即4lg x －3≤15x ，对x ∈[10,1000]恒成立，从而满足条件③.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法．冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．1．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间 加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235000在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升答案 B解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升．故选B.2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B ．(p ＋1)(q ＋1)－12C.pq D ．(p ＋1)(q ＋1)－1答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝(1＋p )(1＋q )－1.故选D.3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 依题意有192＝e b,48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b ，所以e 22k ＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．4．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6. (1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；(2)试确定产品A 的销售价格x 的值，其使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数)解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2＝21千件，此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A 所获得的利润f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.01.02.03.0 y.240.5112.023.98 8.02则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x答案 B解析 由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元 答案 B解析 设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x＝104·x (9－2x )≥9×104.∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3.故选B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 答案 A解析 设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a en t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 D解析 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元 答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280，依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二 答案 D解析 由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元 答案 B解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e －8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min.13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)． (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室． 三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增．∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1； 又f (2)＝1.∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益．16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式； (2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4， 所以f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8，解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润： 当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )； 当x ＝2,3,4时，有f (x )>g (x )； 当x ＝6,7,8,9,10时，有f (x )<g (x )．。
高考数学一轮复习-29-函数模型及其应用课件-新人教A必修1-
【训练1】 (2014·武汉高三检测)某汽车销售公司在A，B两
地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位: 万
元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位: 万元)为
y2＝2x，其中x为销售量(单位: 辆)，若该公司在两地共
销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是
()
A．10.5万元
B．11万元
C．43万元
D．43.025万元
解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售 该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16 －x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－221)2＋0.1×2412＋32.因为 x∈[0，16]且 x∈N，所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得最大 值 43 万元．
答案 C
考点二 指数函数、对数函数模型
【例2】 (2014·青岛模拟)世界人口在过去40年翻了一番，
则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，
100.007 5≈ 1.017)
()
A. 1.5%
B. 1.6%
解C.析1.7设% 每年人口D平. 均1.增8%长率为 x，则(1＋x)40＝2，两边取 以 10 为底的对数，则 40 lg(1＋x)＝lg 2，所以 lg(1＋x)＝l4g02 ≈0.007 5，所以 100.007 5＝1＋x，得 1＋x＝1.017，所以 x＝ 1.7%.
请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利 润，定价应为________元．
2025届新高考数学一轮复习精讲精练：函数模型及其应用 (知识+真题+4类高频考点)
函数模型及其应用目录第一部分：基础知识 (1)第二部分：高考真题回顾 (2)第三部分：高频考点一遍过 (4)高频考点一：几类不同增长的函数模型 (4)高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）.10高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）.14高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题 (20)练透核心考点A C ．2y ax bx c =++【答案】C增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接受概念的能力（()f x 的值越大，表示接受能力越强），x 表示提出和讲授概念的时间（单位：min ），满足以下关系：()20.1 2.838,010,56,1020,296,2040.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(1)上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？(2)有一道数学难题，需要54的接受能力及15min 的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？【答案】(1)上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟(2)老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题【分析】（1）在(0,10]上利用二次函数求得最大值；(10,20]x ∈时，()56f x =，在(20,40]x ∈利用一次函数求得最大值即可；（2）当(0,10]x ∈，(10,20]x ∈，(20,40]x ∈时分别令()54f x ≥求解.【详解】（1）解：由题知2()0.1 2.838f x x x =++在(0,10]上单调递增，所以max ()(10)56f x f ==，又(10,20]x ∈时，()56f x =，()296f x x =-+在(20,40]x ∈上单调递减，()(16,56]f x ∈，所以上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟.（2）当(0,10]x ∈时，令()54f x ≥，即20.1 2.83854x x -++≥，化简得2281600x x -+≤，解得820x ≤≤，又(0,10]x ∈，所以810x ≤≤，此时有效时间为2分钟，当(10,20]x ∈时，()56f x =，有效时间为10分钟，当(20,40]x ∈时，令()54f x ≥，解得2021x <≤，有效时间为1分钟，由于讲授时间需15分钟，但有效时间210113++=分钟，1315<，所以老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题.练透核心考点观察图象知,这些点基本上都落在函数所以用模型②23xy =更适合模拟该企业的收入（2）当21003x>时,2300x >,因此2lg300log 300x >==2lg3+(1)求出函数()1c t的解析式；(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）【答案】(1)()11612c t⎛=⨯-⎝(2)最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔(1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由；(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；(3)已知学校要求每天的分数不少于【答案】(1)2log 15⎛=+ ⎝x y k即开幕式后的第30天的日销售利润最小.。
函数模型及其应用+课件-2025届高三数学一轮复习
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中， 时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
［思路点拨］（1）根据与 的关系图可得正确的选项.
（2） 水池有两个相同的进水口和一个出水口,其进水量和出水量随时间的变化如图a, 所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图c所示,给出以下3个说法:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.则说法一定正确的是( )
，，为常数，且，
对数函数模型
，，为常数，且，
幂函数模型
，， 为常数，，
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知函数，，，则随着 的增大，增长速度的大小关系是_______________.（填关于，， 的关系式）
[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得 .
2.［教材改编］ 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的矩形花园（阴影部分），则其中 的取值范围是_________.
［思路点拨］（2）蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析即可.
[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.
最新-2018年高三数学一轮专题复习 29 函数模型及其应用课件 精品
称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.
题型二 分段函数模型
据气象中心观察和预测：发生于M地 的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示， 过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线L， 梯形OABC在直线L左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所 经过的路程s（km）. （1）当t=4时，求s （2）将s随t （3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断 这 场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多
§ 2.9 函数模型及其应用
要点梳理 1. （1）一次函数型y=kx+b（k≠0 （2）反比例函数 y k（x≠0 （3）二次函数型y=axx 2+bx+c（a≠0 （4）指数函数型y=N（1+p）x（增长率问题）（x>0 （5）y x a （6）分段函x 数型. 2.函数模型的应用实例的基本题型: (1)给定函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题.
3.函数建模的基本程序
答 读题建模求解 馈. （1）读题：深刻理解题意，正确审 题，正确审题，弄清已知什么，求取 什么，需要什么. （2）建模“通过设元，将实际问题 转化为数学关系式或建立数学模型. （3）求解：通过数学运算将数学模 型中的未知量求出. （4）反馈：根据题意检验所求结果 是否符合实际情况并正确作答.
D.10
解析 依题意 (100 10x) • 70• x 112, 100
解得2≤x≤8,则x的最小值为2.
3.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失10%，要使
通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的 1 以下，则至
2020年高考数学(文)一轮复习专题2.9 函数模型及其应用(讲)
专题2.9函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同知识点二种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a 、b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.考点一利用函数模型解决实际问题【典例1】【2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【方法技巧】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【变式1】（2019·河北衡水中学调研）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.考点二构建一、二次函数模型解决实际问题【典例2】（2019·山西康杰中学模拟）某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．【方法突破】(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．【变式2】（2019·河北唐山一中模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.考点三构建指数函数、对数函数模型解决实际问题【典例3】（2019·长春外国语学校模拟）某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【方法技巧】(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．【变式3】（2019·江苏省丹阳高级中学模拟）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？考点四构建分段函数模型解决实际问题【典例4】（2019·西安市第一中学模拟）某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【方法突破】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.【变式4】（2019·昆明第三中学模拟）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系2＋x＋统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口（60－m），1≤m≤30，(单位：件)，已知完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)，m＞30传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？。
数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用学案理
2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型（1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)；(2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）；(3）反比例函数模型:f（x）=kk（k为常数，k≠0)；（4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）；（5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1);（6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）；(7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1,k2(k),k∈k2,k3(k),k∈k3;（8）对勾函数模型:y=x+kk（a为常数，a>0）。
2。
指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=a x(a>1）y=log a x（a〉1)y=xα（α〉0）在(0，+∞)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x<xα〈a x考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。
(1）幂函数增长比一次函数增长更快。
（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（）(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。
()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。
（）(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。
(）2。
(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
高考数学一轮复习学案：2.9 函数模型及其应用(含答案)
高考数学一轮复习学案：2.9 函数模型及其应用（含答案）2.9函数模型及其应用函数模型及其应用最新考纲考情考向分析1.了解指数函数.对数函数.幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升.指数增长.对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型如指数函数.对数函数.幂函数.分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象.单调性.最值及方程.不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型fxaxba，b为常数，a0反比例函数模型fxkxbk，b为常数且k0二次函数模型fxax2bxca，b，c为常数，a0指数函数模型fxbaxca，b，c为常数，b0，a0且a1对数函数模型fxblogaxca，b，c为常数，b0，a0且a1幂函数模型fxaxnba，b为常数，a02.三种函数模型的性质函数性质yaxa1ylogaxa1yxnn0在0，上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logax0时，xa时取最小值2a，当x0的增长速度5“指数爆炸”是指数型函数yabxca0，b0，b1增长速度越来越快的形象比喻题组二教材改编2P102例3某工厂一年中各月份的收入.支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是A收入最高值与收入最低值的比是31B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元答案D解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是31，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为802060万元，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为1640603030506045万元，故D错误3P104例5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为Cx12x22x20万元一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件答案18解析利润Lx20xCx12x182142，当x18时，Lx有最大值4P107A组T4用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________答案3解析设隔墙的长度为x02.3，x为整数，3x6，xZ.当x6时，y503x6x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x115400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________答案300解析由题意，总利润y400x12x2100x20000，0x400，60000100x，x400，当0x400时，y12x300225000，所以当x300时，ymax25000；当x400时，y60000100x20000，综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25000元函数应用问题典例12分已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为Rx万美元，且Rx4006x，040.1写出年利润W万美元关于年产量x万部的函数解析式；2当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大并求出最大利润思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论规范解答解1当040时，WxRx16x4040000x16x7360.所以W6x2384x40，040.4分2当040时，W40000x16x7360，由于40000x16x240000x16x1600，当且仅当40000x16x，即x5040，时，取等号，所以此时W的最大值为5760.10分综合知，当x32时，W取得最大值6104万美元12分解函数应用题的一般步骤第一步审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步解模求解数学模型，得到数学结论；第四步还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性。
广东数学一轮复习：第三章22《函数模型及其应用(2)》(通用版)
方米空气中的含药量 y(毫克 )与时间 t(小时 )成正比； 药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为 y
＝
1 16
t－ a(a 为常数 )，如图所示．
据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始， 每立方米空气中的含药量 y(毫克 )与时间 t(小时 )之间的函数关系式为
________；
y＝ f(x)，一种是平均价格曲线 y＝ g(x)( 如 f(2) ＝ 3 表示开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元；
g(2) ＝ 4 表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为
4 元 )．下面所给出的四个图象
中，实线表示 y＝ f(x)，虚线表示 y＝ g(x)，其中可能正确的是 ( )
不管资金如何投放， 经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于
5 万元， 则 a
的最小值应为 ________．
6．商店某种货物的进价下降了 8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的
r%增加到 (r＋ 10)%，那么 r 的值等于 ________．
7.
-1-
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立
-2-
参考答案
1．D 2.B 3.C 4.D 5. 5 6.15
y＝ 1
1
16 t－ 10 t＞ 0.1
(2)0.6
8．要使企业年利润最大，应安排 18 名员工待岗
3 9．当速度为 10 20千米 /小时时，从甲城开往乙城的总费用最省
-3-
8%，零存每月利息 2%，现把 2 万元存
入银行 3 年半，取出后本利和应为人民币 ( ) A ． 2(1＋ 8%)3.5 万元 B． 2(1＋ 8%)3(1＋ 2%)6 万元 C． 2(1＋ 8%)3＋ 2× 2%× 5 万元 D． 2(1＋ 8%)3＋ 2(1＋ 8)3(1＋ 2%)6 万元
高三数学一轮复习 29 函数模型及其应用知能训练 文 (广东专用)
课时知能训练一、选择题1．某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，2x ＋10，10＜x ≤100，1.5x ，x ＞100，其中x 代表拟录用人数，y 代表面试对象人数．若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．302．(2012·武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处3．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A 的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A 的数量是B 的数量的两倍，需要的时间为( )A ．5 hB ．10 hC ．15 hD ．30 h4．某市2012年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)( )A ．2014年B ．2015年C ．2016年D ．2017年5．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )，如f (2)＝3表示开始交易后2小时的即时价格为3元，g (2)＝4表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元，下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是( )二、填空题6．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数，即R (Q )＝4Q －1200Q 2，则总利润y 的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)．7．(2012·珠海模拟)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__________小时，才能开车．(精确到1小时)8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．三、解答题9．(2012·韶关模拟)在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R (x )元，成本为C (x )元，且R (x )＝3 000x －20x 2，C (x )＝500x ＋4 000(x ∈N *)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．(1)求利润函数P (x )以及它的边际利润函数MP (x )； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．10．有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x，x ≤6，x －4.4x －4，x ＞6，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(取e0.05≈1.051)11．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 20＜x ≤10，108x －1 0003x2x ＞10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)答案及解析1．【解析】 若x ∈[1,10]，则y ＝4x ≤40. 若x ∈(100，＋∞)，则y ＝1.5x ＞150. ∴60＝2x ＋10，∴x ＝25. 【答案】 C2．【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．【答案】 A3．【解析】 假设一开始两种细菌数量为m ，则依题意经过x 小时后，细菌A 的数量是f (x )＝m ·2x 2，细菌B 的数量是g (x )＝m ·4x 5，令m ·2x 2＝2·m ·4x5，解得x ＝10.【答案】 B4．【解析】 设第n 年新建住房面积为a n ＝100(1＋5%)n，经济适用房面积为b n ＝25＋10n .由2b n ＞a n 得：2(25＋10n )＞100(1＋5%)n， 利用已知条件解得n ＝4时，不等式成立， 所以在2016年时满足题意． 【答案】 C5．【解析】 f (0)与g (0)，应该相等，故排除A ，B 中开始交易平均价格高于即时价格，D 中恰好相反，故正确选项为C.【答案】 C6．【解析】 ∵y ＝4Q －1200Q 2－(200＋Q )＝－1200(Q －300)2＋250，故当Q ＝300时，y max ＝250(万元)． 【答案】 250 3007．【解析】 设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/ml ，则有0.3·(34)x≤0.09，即(34)x≤0.3， 估算或取对数计算得5小时后，可以开车． 【答案】 58．【解析】 七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份至十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意，有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.∴x 的最小值为20.【答案】 209．【解】 (1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *.P (x )＝R (x )－C (x )＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000]－(－20x 2＋2 500x －4000)＝2 480－40x .(2)P (x )＝－20(x －1252)2＋74 125，当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120； 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数， 所以当x ＝1时，MP (x )取得最大值2 440.故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680. 10．【解】 (1)证明 当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4x －3x －4.而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)·(x －4)＞0. 故f (x ＋1)－f (x )单调递减．∴当x ≥7，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降．(2)由题意可知0.1＋15 ln aa －6＝0.85.整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e0.05e 0.05－1·6≈20.50×6＝123.0，又123.0∈(121,127]． 由此可知，该学科是乙学科．11．【解】 (1)当0＜x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x ＞10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－100＜x ≤10，98－1 0003x－2.7x x ＞10.(2)①当0＜x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0得x ＝9，又当x ∈(0,9)时，W ′＞0；当x ∈(9,10)时，W ′＜0.∴当x ＝9时，W 取最大值，且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x ＞10时，W ＝98－(1 0003x ＋2.7x )≤98－2 1 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知当x ＝9时，W 取最大值38.6万元．故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．。
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一、选择题1．某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，2x ＋10，10＜x ≤100，1.5x ，x ＞100，其中x 代表拟录用人数，y 代表面试对象人数．若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．302．(2012·武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处3．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A 的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A 的数量是B 的数量的两倍，需要的时间为( )A ．5 hB ．10 hC ．15 hD ．30 h4．某市2012年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)( )A ．2014年B ．2015年C ．2016年D ．2017年5．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )，如f (2)＝3表示开始交易后2小时的即时价格为3元，g (2)＝4表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元，下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是( )二、填空题6．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数，即R (Q )＝4Q －1200Q 2，则总利润y 的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)．7．(2012·珠海模拟)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__________小时，才能开车．(精确到1小时)8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．三、解答题9．(2012·韶关模拟)在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R (x )元，成本为C (x )元，且R (x )＝3 000x －20x 2，C (x )＝500x ＋4 000(x ∈N *)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．(1)求利润函数P (x )以及它的边际利润函数MP (x )； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．10．有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x，x ≤6，x －4.4x －4，x ＞6，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(取e0.05≈1.051)11．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x20＜x ≤10，108x －1 0003x2x ＞10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)答案及解析1．【解析】 若x ∈[1,10]，则y ＝4x ≤40. 若x ∈(100，＋∞)，则y ＝1.5x ＞150. ∴60＝2x ＋10，∴x ＝25. 【答案】 C2．【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．【答案】 A3．【解析】 假设一开始两种细菌数量为m ，则依题意经过x 小时后，细菌A 的数量是f (x )＝m ·2x 2，细菌B 的数量是g (x )＝m ·4x 5，令m ·2x 2＝2·m ·4x5，解得x ＝10.【答案】 B4．【解析】 设第n 年新建住房面积为a n ＝100(1＋5%)n，经济适用房面积为b n ＝25＋10n .由2b n ＞a n 得：2(25＋10n )＞100(1＋5%)n， 利用已知条件解得n ＝4时，不等式成立， 所以在2016年时满足题意． 【答案】 C5．【解析】 f (0)与g (0)，应该相等，故排除A ，B 中开始交易平均价格高于即时价格，D 中恰好相反，故正确选项为C.【答案】 C6．【解析】 ∵y ＝4Q －1200Q 2－(200＋Q )＝－1200(Q －300)2＋250，故当Q ＝300时，y max ＝250(万元)． 【答案】 250 3007．【解析】 设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/ml ，则有0.3·(34)x≤0.09，即(34)x≤0.3， 估算或取对数计算得5小时后，可以开车． 【答案】 58．【解析】 七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份至十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意，有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.∴x 的最小值为20.【答案】 209．【解】 (1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *.P (x )＝R (x )－C (x )＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000]－(－20x 2＋2 500x －4000)＝2 480－40x .(2)P (x )＝－20(x －1252)2＋74 125，当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120； 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数， 所以当x ＝1时，MP (x )取得最大值2 440.故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680. 10．【解】 (1)证明 当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4x －3x －4.而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)·(x －4)＞0. 故f (x ＋1)－f (x )单调递减．∴当x ≥7，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降． (2)由题意可知0.1＋15 lnaa －6＝0.85.整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e0.05e 0.05－1·6≈20.50×6＝123.0，又123.0∈(121,127]． 由此可知，该学科是乙学科．11．【解】 (1)当0＜x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x ＞10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－100＜x ≤10，98－1 0003x－2.7x x ＞10.(2)①当0＜x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0得x ＝9，又当x ∈(0,9)时，W ′＞0；当x ∈(9,10)时，W ′＜0.∴当x ＝9时，W 取最大值，且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x ＞10时，W ＝98－(1 0003x ＋2.7x )≤98－2 1 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知当x ＝9时，W 取最大值38.6万元．故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．。