Atiken加速 一般迭代和牛顿迭代法

第二次上机实验报告
实验一：①.用不动点迭代法求f x=x3−x−1=0的根
发散的迭代格式：x k+1=x k3−1,其中k=0，1，2……
3,其中k=0，1，2……
收敛的迭代格式：x k+1=x k+1
当使用第二种格式迭代，且精度为10^(-12)时，程序如下：
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <math.h>
using namespace std;
#define h 0.000000000001
double f(double x) {
double f1 = pow(x + 1, 1.0 / 3);
return f1;
}
int main() {
double x1, x2;
int n=0;
cout<< "input first data:" <<endl;
cin>> x1;
x2 = f(x1);
while (fabs(x2 - x1) > h) {
n++;
x1 = x2;
cout<<setprecision(14) << x2 <<endl;
x2 = f(x1);
}
cout<< "result:"
<<endl
<<setprecision(14) << x2
<<endl;
cout<< n
<<endl;
return 0;
}
输入初值为3的时候，结果如下：
②对迭代格式使用Aitken加速，观察其收敛散性质变化
对迭代格式一使用Aitken加速，收敛
对迭代格式二使用Aitken加速，收敛速度变快
程序如下：
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<math.h>
#define h 0.000000000001
usingnamespace std;
double f(double x) {
double f1 = pow(x,3)-1;
return f1;
}
int main() {
double x0,x1, x2;
int n = 0;
cout<<"please input the first number:"<<endl;
cin>> x0;
x1 = f(x0);
while (fabs(x0-f(x0))>h) {
n++;
x2 = f(x1);
x0 = x2 - (x2 - x1)*(x2 - x1) / (x2 - 2 * x1 + x0); x1 = x2;
cout<<setprecision(14) << x0 <<endl;
}
cout<<"result:"
<<endl
<<setprecision(14)
<<x0
<<endl;
cout<< n <<endl;
return 0;
}
3。

对迭代格式二作Aikten加速迭代时，只需将函数f(x)替换为x+1初值为3的运行结果如下：
迭代格式一：
迭代次数：34
收敛于1.3247179572448
迭代格式二：
迭代次数：3
收敛于：1.3247179572448
实验二：①.f x=3x2−e x=0,分析其有根区间；
②．x=φx=ln x2+ln3,取x0=3.5,1,-0.5进行计算
对比直接计算与Aitken加速的结果
③.设计更多的x=φx,采用更多的初值，重复②的操作。

1.因为f0f−1<0且f0f1<0，f3.7f3.8<0所以函数f x的有根区间为
−1，0，0，1和3.7，3.8
2.x0=
3.5，1，-0.5时的一般迭代运行结果分别如下：
三者迭代次数稍有差别，但是最后的收敛结果都收敛于同一个根。

x0=3.5，1，-0.5时的Aitken加速迭代运行结果分别如下：
显然Aitken加速比一般迭代法收敛更加迅速，且当初值选择恰当时，收敛的值也在初值附近。

3.φ1x=
x>0,e x
3
x<0,−e x
3
φ2x=
e x
取x0=4，3.5，1，0.5，-0.5，-1，-3
对于φ1x，x0=4，3.5，1，0.5，-0.5，-1，-3 一般迭代法：
x0=4：
x0=3.5
x0=0.5
x0=-1
x0=-3
Aitken加速法：
x0=3.5
x0=1
x0=0.5
x0=-0.5
x0=-3
结论：初值的选择对一般迭代法的最终结果影响较大，较大的初值有可能会导致一般迭代法发散。

对于φ2x：
一般迭代法：
x0=4
发散
x0=3.5
x0=1
x0=0.5
x0=-0.5
溢出
x0=-1
溢出
x0=-3
溢出
Aitken加速法：x0=4
x0=3.5
x0=1
x0=0.5
x0=-0.5
x0=-1
x0=-3
结论：同上，Aitken收敛速度更快，一般迭代法对初值敏感。

通过以上两个实验，你对Aitken加速有什么样的认识？
1.Aitken加速收敛速度远高于一般迭代法
2.Aitken加速对初值不敏感
3.Aitken加速可以使部分一般迭代法中发散的变得收敛。