对牛顿迭代法及改进的总结
牛顿法的理解
牛顿法的理解
以下是对牛顿法的理解：
牛顿法是一种常用的数值计算方法，用于求解非线性方程的根。
它的基本思想是通过不断逼近函数图像上的点来找到方程的根。
具体来说，牛顿法采用了一种迭代的方式，通过不断地对函数进行求导并计算新的函数值，逐渐逼近方程的根。
牛顿法的优点是收敛速度快，通常在几次迭代后就能得到相对准确的结果。
但是，它也有一些局限性，例如对于某些非线性方程或初值选择不当的情况，牛顿法可能无法收敛或收敛到非解的点。
为了更好地理解牛顿法，可以从以下几个方面进行探讨：
1.原理：了解牛顿法的数学原理，包括函数和导数的基本概念、泰勒级数展
开等，有助于理解其迭代过程和收敛性质。
2.实现方式：可以通过编程实现牛顿法，并观察其在不同问题中的应用。
这
有助于加深对其迭代过程和收敛性的理解。
3.改进方法：为了克服牛顿法的局限性，可以尝试一些改进方法，例如采用
不同的初值选择、添加阻尼项等。
这些方法可以提高牛顿法的收敛性和求解精度。
4.应用领域：了解牛顿法在各个领域的应用案例，例如物理学、工程学、经
济学等，可以进一步加深对其重要性和应用价值的认识。
最后总结：对牛顿法的理解是指掌握其基本原理、实现方式、改进方法和应用领域等方面的内容。
通过深入探讨这些方面，可以更好地应用牛顿法来解决实际问题。
牛顿迭代法实训总结
牛顿迭代法实训总结1。
掌握牛顿迭代法基本概念及其应用。
2。
对网上所选资料进行独立查询，并撰写报告。
3。
针对完成的实训题目和提交的实训报告，对实训过程中遇到的问题进行分析、探讨、研究。
2。
建立数据库，便于今后进一步的学习。
在建立数据库时我们发现了几个很严重的问题： 1。
虽然我们是以数学期望作为指标，但因为各个教授编写的参考书不同，因此数据库也不一样。
大多都只有模糊的印象，无法将具体的数值查找出来。
2。
由于网络的信息量太大，要想尽快找到自己需要的内容有点难度，尤其是有些文章太多，无法在网络中快速查找到相关文献。
3。
查询的结果既有英文版的，也有汉语版的，很容易造成人为差错。
由于前人留下来的资料没有经过仔细地整理，而且留下来的网址大部分都已经不存在了，因此在数据库建立之初很是困难。
这就要求我们在查询的时候尽量使用常用的搜索引擎，比如google， yahoo等等。
3。
利用网络平台，开展学术论坛。
今年4月份左右，我们在学院开展了第一次学术论坛，向老师们征集有关牛顿迭代法的网址，通过网络平台进行学术交流。
在交流中我们认识到：“建立数据库是十分必要的。
不仅可以保证查询的速度，还能节约大量的时间。
” 4。
加强网站建设，突出精品课程。
要想在科技飞速发展的信息社会拥有竞争力，高校必须加强网站建设。
而高校网站最重要的内容之一就是数据库，没有数据库，网站的价值也就体现不出来。
为此，在条件允许的情况下，应该尽可能多的开辟一些数据库，特别是精品课程。
如果某门课程的全部数据库收集齐全，那么每年的教材费就足够高校承担了，并且大量的外文数据库也将为学生的外语学习提供更好的帮助。
5。
将学术论坛与信息发布结合起来。
信息化的社会要求高校有更高的信息服务水平，我们应该充分利用好网络平台，积极主动的参与到信息服务中去。
如开辟博客、微博等形式，定期发布信息，为学生和教师提供更为优质的服务。
6。
规范教学内容，加强教学管理。
牛顿迭代法是比较新的方法，部分教师在教学时往往只介绍其基本原理，而忽略了其实际应用，而其实际应用又跟不上社会的发展速度。
迭代法和牛顿迭代法的优缺点及应用
迭代法和牛顿迭代法的优缺点及应用在数值计算和算法设计中，迭代法和牛顿迭代法是两种常见的数值优化方法。
它们可以很好地用于解决非线性方程组、最优化问题以及数学模型的求解等问题。
在实际应用中，它们的优缺点各有不同，可根据问题的特点选择适合的方法。
本文将对迭代法和牛顿迭代法的优缺点及应用进行分析。
一、迭代法1、迭代法的原理迭代法是一种通过不断逼近目标值的方法。
其思想是将一个原问题转化为一个递归求解的过程。
假设我们要求解一个方程f(x) = 0，可以利用如下公式进行迭代：$x_{n+1} = g(x_n)$其中，$g(x_n)$是一个递推公式，用来表示如何从$x_n$ 得到$x_{n+1}$。
通过不断迭代，可以逐渐逼近解。
当迭代次数足够多时，可以得到符合精度的解。
2、迭代法的优点（1）实现简单：迭代法的计算过程非常简单，只需要考虑递推公式即可。
（2）收敛速度较快：迭代法的收敛速度要比其他方法要快，尤其是在某些非线性问题中，迭代法表现出了其优异的收敛性。
（3）适用范围广：迭代法可以用于解决各种类型的数学问题，包括求解非线性方程组、求解最优化问题以及求解微积分方程等。
3、迭代法的缺点（1）收敛不稳定：由于迭代法只是通过不断逼近目标值的过程，收敛的速度和稳定性都受到了影响，可能存在发散的情况。
（2）初值选择的影响：迭代法在求解问题时，对于初值的选择需要非常慎重，因为不同的初值会得到不同的收敛结果。
（3）依赖递推公式：迭代法需要依赖于递推公式，当递推公式难以求解或者导数难以计算时，迭代法的效果可能会受到影响。
二、牛顿迭代法1、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法是一种利用函数的一阶导数和二阶导数来逼近根的方法。
对于一个非线性方程f(x)=0，设其在$x_0$处的导数不为0，则可以用如下公式进行迭代：$x_{n+1} = x_n −\frac {f(x_n)}{f′(x_n)}$其中$f'(x_n)$是$f(x_n)$的一阶导数。
关于改进牛顿迭代求根公式的探讨
关于改进牛顿迭代求根公式的探讨
近几年来，随着互联网技术的发展和快速成熟，牛顿迭代法在解决复杂非线性
问题方面受到了广泛应用，其理论基础也逐步深入人心。
牛顿迭代法是一种以求极值为基本目的，以函数在某一点的切线和切线上的斜率为基础的迭代搜索迭代方法。
牛顿迭代法的准确度取决于所选定的初始迭代点，因此在提高牛顿迭代法准确度方面有很多可值得探讨的地方。
为了提高牛顿迭代法的准确性，改善该迭代法的精确性，可以通过改进以下几
个方面来实现：
第一，改善初始迭代点的选择。
牛顿迭代法的正确性依赖于迭代前的初始猜的，所以正确的和操作的初始猜的在很大程度上决定了得到正确结果的准确性。
可以通过机器学习和统计学的方式，选择更合适的初始迭代点。
第二，改善迭代步长的选择。
牛顿迭代法迭代步长应当与解的特征有关，如果
迭代步长不恰当，会影响牛顿迭代法的准确性，所以应当根据解的特征来选择更合适的迭代步长。
第三，增强联立方程组求解方法的无误差性，联立方程组在牛顿迭代法中发挥
着重要作用，如果解联立方程组错误，就会影响牛顿迭代法的准确性，因此应当使用一个更准确的解联立方程组的方法，提升联立方程组求解的准确性。
以上就是关于改进牛顿迭代求根公式的探讨，从提升初始迭代点选择，改进迭
代步长选择，增强联立方程组求解方法的无误差性三个方面应该重点改进，以提升牛顿迭代求根公式的准确性。
鞭挞脚一方，可以让牛顿迭代法在解决非线性复杂问题上发挥更好的效果。
牛顿迭代法的基本原理知识点
牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。
它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。
本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。
2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^23. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。
二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。
1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。
当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。
因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。
2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。
在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。
三、牛顿迭代法的优点与局限性1. 优点：1) 收敛速度快：牛顿迭代法的二阶收敛特性决定了它在求解方程时的高效性和快速性。
2) 广泛适用：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、方程组和最优化问题等，具有广泛的应用领域。
牛顿迭代法的优化理论和方法
牛顿迭代法的优化理论和方法一、引言优化问题是现代科学和工程中一个重要的问题。
牛顿迭代法是一种常用的优化算法，用于解决非线性优化问题。
本文将介绍牛顿迭代法的原理、算法以及应用。
二、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法的原理是利用二阶导数信息来构造一个二次近似函数，通过求解这个近似函数的零点来逼近原函数的零点。
具体来说，假设我们要求解方程 $f(x) = 0$，考虑在 $x_0$ 处对$f(x)$ 进行泰勒展开：$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_0)^2 $$ 其中 $\xi$ 位于 $x$ 和 $x_0$ 之间。
假设 $x_0$ 是方程的一个近似解，那么我们可以忽略高阶项，得到一个二次近似函数：$$ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 $$ 令上式等于 0，解得：$$ x_1 = x_0 -\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)} $$ 这个解 $x_1$ 更接近方程的根，我们可以利用它来作为 $x_0$ 重复上述过程，得到一个更优的解。
三、牛顿迭代法的算法根据上面的原理，可以得到牛顿迭代法的算法：1. 选取初值 $x_0$。
2. 计算 $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$。
3. 如果收敛，停止迭代；否则返回第二步。
这里的 $f'(x_k)$ 是 $f(x)$ 在 $x_k$ 处的导数。
四、牛顿迭代法的应用牛顿迭代法的应用非常广泛，下面列举几个常见的例子。
1. 求解方程。
对于非线性方程 $f(x) = 0$，可以使用牛顿迭代法求解。
需要注意的是，如果初值选取不恰当，可能会出现迭代不收敛、收敛速度慢等情况。
牛顿迭代法的最优化方法和应用
牛顿迭代法的最优化方法和应用牛顿迭代法是一种优化算法，它基于牛顿法和迭代法的思想，广泛应用于最优化问题的求解中。
在计算机科学、数学和工程等领域，牛顿迭代法被广泛应用于解决各种实际问题，如机器学习、数值分析和物理模拟等。
一、基本原理牛顿迭代法的基本思想是在当前点的邻域内用二次函数近似目标函数，然后在近似函数的极小点处求解最小化问题。
具体而言，假设我们要最小化一个凸函数$f(x)$，我们可以在当前点$x_k$处利用泰勒级数将其近似为：$$f(x_k+p)\approx f(x_k)+\nabla f(x_k)^Tp+\frac12p^T\nabla^2f(x_k)p$$其中，$p$是一个向量，$\nabla f(x_k)$和$\nabla ^2f(x_k)$分别是$f(x_k)$的一阶和二阶导数，也称为梯度和黑塞矩阵。
我们可以令近似函数的一阶导数等于零，即$\nabla f(x_k)+\nabla^2f(x_k)p=0$，然后解出$p$，得到$p=-\nabla ^{-1}f(x_k)\nablaf(x_k)$。
于是我们可以将当前点更新为$x_{k+1}=x_k+p$。
我们可以重复这个过程，直到目标函数收敛到我们所需的精度。
二、应用实例1. 机器学习：牛顿迭代法可以用于训练神经网络和逻辑回归等机器学习模型。
在神经网络中，牛顿迭代法可以帮助我们优化网络的权重和偏置，以提高网络的准确性和鲁棒性。
在逻辑回归中，牛顿迭代法可以帮助我们学习双分类问题的参数和概率分布。
2. 数值分析：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程和方程组的根。
例如，我们可以使用牛顿迭代法来解决$sin(x)=0$和$x^2-2=0$这样的方程。
当然，为了保证迭代收敛，我们需要选择一个合适的初始点，并且要确保目标函数是连续和可微的。
3. 物理模拟：牛顿迭代法可以用于求解物理方程组的数值解。
它可以帮助我们模拟地球的运动轨迹、热力学系统的稳态和弹性材料的应力分布等。
对牛顿迭代法及改进的总结
厂 ’ （ ） ≠ ０， 即ｚ 是单 根的情况 ，
） 存在并 连续 ， 从 而有界 。则 只要
足 够 靠 近ｚ ， 从而ｆ 厂 （ ｚ ） ｆ 足 够 靠 近０ ， 就 有ｌ （ ） Ｌ ｆ ＜ １ ， 又 根 据 收 敛
性定理 ， 可 知， 牛顿迭代公式 收敛于 ， 并由ｆ （ ｘ ） ＝ Ｏ 导致 ） ＝Ｏ 又 根据 收敛阶判 定定理 ， 可知 牛顿迭代 公式在单 根附近 至少是 ２ 阶收 敛 如图１ 。 ｌ ｊ 。
｝
在讨论 牛顿法的收敛条件时 ， 都要假 定初 始值 ＿ ｚ 。 要充分 的靠近 ｚ 时才能保 证收敛并且牛顿 （ Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ ） 迭代对初值 的要 求很高 。为 了放 宽 初值的选取范 围 ， 我们采取 如下迭代格式 。
即取 ｏ ＜ （ ） ＜２与 ｃ 同号 ， 此时迭代法收敛。
２ ． 推 广 的 简 化 牛 顿 迭 代
般 地 有 ＋ ｌ ： ～
＿ ，【 ）
对 于（ ５ ） 来说 ， 如果将 厂 ’ （ 。 ） 用某个常数 ｃ 取代 ， 则一 次导数值都不
（ １ ）
需要计算 ， 其 迭代 格式为
点 就 是
ｚ１ ： ｎ 一 ，（ ０ ） （ ２ ）
证明： 根 据局 部收敛 定理中的局部收敛条件可以得到 ：
｝ （ ）ｌ ≤， Ｊ ＜ｌ，Ｖｚ ∈ －８ ， Ⅱ ＋（
’ ，
～
、
当常数 ｃ 满足 Ｏ ＜
３ ． Ｎ ｏ ｗ ｔ ｏ ｎ 下 山 法
＜２时迭代格 式（ ７ ） 收敛。
科技信
对 牛 顿 迭 代 法 及 改 进 的 总 结
内蒙 古化 工职 业 学院 李 慧敏 王晓 燕
牛顿迭代法的求解精度和误差分析
牛顿迭代法的求解精度和误差分析牛顿迭代法是高等数学中一种常见的求解方程数值解法，它利用函数在某一点的切线来逼近方程的根，是一种非常有效的数值计算方法。
但是在使用牛顿迭代法时，其求解的精度和误差分析是非常重要的问题，本文将对此进行详细阐述。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法是通过对函数f(x)进行一次泰勒展开得到其在x0处的切线方程，然后通过切线与x轴的交点作为新的起始点，再进行迭代，不断逼近方程的根。
其具体过程如下：设f(x)在x0处可导，则有：f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)其中f'(x0)表示f(x)在x0处的导数，于是可以得到迭代公式：x1=x0-[f(x0)/f'(x0)]将x1带入上式，得到x2=x1-[f(x1)/f'(x1)]以此类推，直至x(k+1)与x(k)相差的绝对值小于所需的精度。
牛顿迭代法通常以图像的形式进行方程的求根过程，具体地，利用方程f(x)与x轴的交点来表示其根，然后以切线表示为黑色，再用红色表示下一次迭代的新起点，最终逼近方程的根。
二、精度分析牛顿迭代法的求根精度取决于初始点的选择和方程f(x)本身的性质，因此它并不一定总能取得最高的精度。
在选取初始点时，需要根据函数f(x)的性质进行选择，使得方程解在迭代过程中能够被准确的找到。
此外，还需要注意避免初始点与某些奇异点相距过近，导致迭代出现死循环等异常情况。
在迭代计算中，牛顿迭代法的精度主要由两个因素决定：一是x(k+1)与f(x(k+1))的值与方程的根的距离；二是两次迭代的差，即x(k+1)-x(k)，式中k表示当前迭代的次数。
因此，为了保证牛顿迭代法的求根精度，需要控制这两个因素的大小。
通常情况下，x(k+1)与f(x(k+1))的值越接近方程的根，其收敛速度就越快。
而x(k+1)-x(k)的值越接近0，则其收敛速度也越快。
因此，可以通过调整初始点以及改变迭代方向等方法来控制这两个因素的大小。
牛顿迭代法的定义和基本思想
牛顿迭代法的定义和基本思想牛顿迭代法是一种求解非线性方程的有效方法。
与一般的数值方法不同，牛顿迭代法是一种局部迭代法，其基本思想是通过对函数的一阶导数和二阶导数进行逐步逼近，求解方程的近似解。
在数学、物理、工程等领域中有着广泛应用。
本文将从牛顿迭代法的定义、基本思想和优缺点三方面进行介绍。
一、定义牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫逊迭代法，是一种通过逼近函数在某点的切线来求解方程近似解的迭代方法。
其迭代格式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$是原方程，$f'(x)$是$f(x)$的一阶导数，$x_n$是第$n$次迭代得到的近似解，$x_{n+1}$是下一次迭代得到的近似解。
二、基本思想牛顿迭代法的基本思想是通过函数在某点的切线来逼近函数的根。
具体地，利用当前点的切线与$x$轴的交点作为下一个点的近似解，逐步逼近函数的根。
在每一次迭代中，我们都需要计算函数在当前点的一阶导数和二阶导数，来得到切线方程和切线与$x$轴的交点。
牛顿迭代法的基本思想可以通过几何直观来理解。
假设我们要求一个函数$f(x)$在$x_0$的根，我们先假设一个近似解$x_1$，然后求出$f(x_1)$和$f'(x_1)$，接着我们计算出函数$f(x)$在$x_1$处的切线，将切线与$x$轴的交点作为下一个近似解$x_2$。
这样，我们就可以得到函数在$x_2$处的一阶近似，继续重复上述过程，逐步逼近函数的根。
三、优缺点牛顿迭代法作为一种高效的求解非线性方程的方法，有着其优缺点。
优点：首先，牛顿迭代法的收敛速度很快，在很少的迭代次数下就能得到精确的解。
其次，牛顿迭代法可以通过改变初值来得到不同的解，因此可以同时求解多个解。
最后，牛顿迭代法还可以求解函数的极值问题。
缺点：虽然牛顿迭代法收敛速度很快，但其收敛性不如其他数值方法稳定。
特别是当函数的导数在某些点发生剧烈变化时，容易出现迭代失败的情况。
三种牛顿迭代法
三种牛顿迭代法牛顿迭代法是求解方程的一种常用方法。
它是一种迭代法，基本思想是从一个初始点开始，通过函数的局部线性逼近，求得函数的零点。
然后利用新的零点作为下一次迭代的初始点，直到满足预设的精度要求为止。
三种常用的牛顿迭代法包括：常规牛顿迭代法、改进牛顿迭代法和高效牛顿迭代法。
常规牛顿迭代法是最基本的牛顿迭代法，它通过函数的一阶导数和二阶导数来逼近函数的零点。
具体而言，设$f(x)$是要求解的方程，$x_{k}$是当前的估计解，$f^{prime}(x_{k})$是$f(x)$在$x_{k}$处的一阶导数，$f^{prime prime}(x_{k})$是$f(x)$在$x_{k}$处的二阶导数，则常规牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-frac{f(x_{k})}{f^{prime}(x_{k})}$ 改进牛顿迭代法是针对常规牛顿迭代法的局限性而提出的。
常规牛顿迭代法在求解某些特定的方程时可能会失效，例如当$f^{prime}(x_{k})$接近于零时，迭代公式会出现除零的情况。
改进牛顿迭代法通过加入一个修正因子来避免这种情况的发生。
具体而言，在计算$x_{k+1}$时，改进牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-frac{f(x_{k})}{f^{prime}(x_{k})+frac{1}{2}f^ {prime prime}(x_{k})(x_{k+1}-x_{k})}$高效牛顿迭代法是一种优化的牛顿迭代法，它通过使用逆Hessian矩阵来加速迭代收敛。
逆Hessian矩阵是函数$f(x)$在$x_{k}$处的Hessian矩阵的逆矩阵，即$H^{-1}(x_{k})=[f^{prime prime}(x_{k})]^{-1}$，其中$[f^{prime prime}(x_{k})]^{-1}$表示$f(x)$在$x_{k}$处的二阶导数矩阵的逆矩阵。
高效牛顿迭代法的迭代公式为：$x_{k+1}=x_{k}-H^{-1}(x_{k})f(x_{k})$总之，牛顿迭代法是一种重要的求解方程的方法，常规牛顿迭代法、改进牛顿迭代法和高效牛顿迭代法是其中的三种常用方法，每种方法都有其适用范围和优缺点。
对牛顿迭代法的改进
（1）简化牛顿法
牛顿法的缺点之一是每次迭代都得去计算 f ′(xk ) 。为回 避该问题，常用一个固定 f ′(xk ) 迭代若干步后再求 f ′(xk ) 。
这就是简化牛顿法的基本思想。
简化牛顿法的公式为：
xk+1 = xk − cf (xk )
（3-1-1）
迭代函数ϕ(x) = x − cf (x)
以确定 f n−1 (x) ,
设 f n−1 (x) = x n−1 − b1 x n−2 + " + (−1) n−1 bn−1 （3-2-10）
类似（1），求 xn−1 的近似解 xn−1 。
（3）由（2）继续递推求解，得 xn−2 , xn−3 ,", x3 最后可
得一元二次方程，求得 x2 , x1 ， 即满足所需精度的式（3-2-1）的全部根的近似解。
例 1 求方程 x3 − x − 1 = 0 的根。
（1）取 x0 = 1⋅ 5 ，用牛顿法公式：
xk +1
=
xk
−
x3 − 3xk2
xk −1 −1
计算得： x1 = 1⋅ 34783, x2 = 1⋅ 32520, x3 = 1⋅ 32472
改进的牛顿迭代法
改进的牛顿迭代法求解非线性方程摘要：牛顿法思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，但是其对初值、波动和可能出现的不收敛等缺点，而牛顿下山法克服了可能出现的发散的缺点。
关键词：牛顿法、牛顿下山法、非线性方程一、牛顿法的迭代公式设)(x f 在其零点*x 附近一阶连续可微，且0)(≠'x f ，当*0x x →时，由Taylor 公式有：))(()()(000x x x f x f x f -'+≈以方程0))(()(000=-'+x x x f x f近似方程0)(=x f ，其解)()(0001x f x f x x '-= 可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式),1,0(,)()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n 该方法称为牛顿迭代法。
二、牛顿法的改进由于牛顿法缺点对牛顿法进行改进，使其计算简单，无需每次迭代都去计算)(x f '，且能够更好的收敛。
2.1简化的牛顿法牛顿法的缺点之一是每次迭代都得去计算)(k x f '。
为回避该问题，常用一个固定 )(k x f '迭代若干步后再求)(k x f '。
这就是简化牛顿法的基本思想。
简化牛顿法的公式为：)(1k k k x cf x x -=+迭代函数 )()(x cf x x -=ϕ若 2)(0,1)(1)(<'<<'-='x f c x f c x 即ϕ，在根*x 附近成立，则迭代法局部收敛。
显然此法简化了计算量，却降低了收敛速度。
2.2牛顿下山法牛顿法的缺点二是其收敛依赖与初值0x 的选取，若0x 偏离所求根*x 较远，则牛顿法可能发散。
为防止迭代发散，我们对迭代过程再附加一项条件，即具有单调性：)()(1k k x f x f <+保证函数值稳定下降，然后结合牛顿法加快收敛速度，即可达目的。
线性方程组的迭代法应用及牛顿迭代法的改进
线性方程组的迭代法应用及牛顿迭代法的改进摘要: 迭代解法就是通过逐次迭代逼近来得到近似解的方法。
由于从不同的问题而导出的线性代数方程组的系数矩阵不同，因此对于大型稀疏矩阵所对应线性代数方程组，用迭代法求解。
本文论述了Jacobi 法，Gauss-Seidel 法，逐次超松弛法这三种迭代法，并在此基础上对牛顿型的方法进行了改进，从而使算法更为精确方便。
关键词:线性方程组，牛顿迭代法，Jacobi 法，Gauss-Seidel 法，逐次超松弛法1.线性方程组迭代法1.1线性方程组的迭代解法的基本思想迭代法求解基本思想:从某一初始向量X （0）=[x 1(0) ,x 2(0) ,……………x n (0) ]出发，按某种迭代规则，不断地对前一次近似值进行修改，形成近似解的向量{X (k)}。
当近似解X (k) =[x 1(k) ,x 2(k) ,……………x n (k) ]收敛于方程组的精确解向量X* =[x 1*,x 2*,……………x n *]时，满足给定精度要求的近似解向量X (k)可作为X*的数值解。
1.2 线性方程组的迭代法主要研究的三个问题(1) 如何构造迭代公式 (2) 向量数列{X (k)}的收敛条件 (3) 迭代的结束和误差估计解线性方程组的迭代解法主要有简单迭代法、 Gauss-Seidel 法和SOR 法。
简单迭代法又称同时代换法或Jacobi 法，是最简单的解线性方程组的迭代解法也是其他解法的基础。
1.3Jacobi 迭代法设方程组点系数矩阵n n j A ai R ⨯⎡⎤=∈⎣⎦满足条件0ii a ≠，i=0,1,2, …n 。
把A 分解为A=D+L+U1112,nn a a D a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121,100,0n n n a l a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1211,000n n n a a U a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦在迭代法一般形式中，取N=D, P=-(L+U)形成以下迭代公式(1)1()1(),k k x D l U x D b +--=-++ k=0，1，… （2-1）其中(0)n x R ∈任取。
牛顿迭代法实验报告总结
一、实验目的本次实验旨在通过牛顿迭代法求解非线性方程的根，并分析牛顿迭代法的原理、过程、优缺点以及在实际应用中的表现。
二、实验原理牛顿迭代法，又称牛顿-拉弗森方法，是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
其基本思想是利用函数的一阶导数来寻找函数的零点，即函数的根。
设函数f(x)在x0附近连续可导，且f(x0)≠0，那么牛顿迭代法的迭代公式为：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)其中，x_n表示第n次迭代得到的近似根，f(x_n)表示函数在x_n处的函数值，f'(x_n)表示函数在x_n处的导数值。
三、实验过程1. 选择初始值：根据题目要求，选择一个接近方程根的初始值x0。
2. 迭代计算：根据牛顿迭代法公式，计算x1，x2，...，直到满足误差要求。
3. 误差分析：计算每次迭代后近似根与实际根之间的误差，分析迭代过程是否收敛。
四、实验结果与分析1. 实验结果：以方程f(x) = x^3 - 3x + 2 = 0为例，选取初始值x0 = 1，经过6次迭代后，近似根x6 ≈ 1.324718，实际根为x ≈ 1.324717957244746。
2. 结果分析：（1）收敛性：从实验结果可以看出，牛顿迭代法在求解方程f(x) = x^3 - 3x + 2 = 0时具有较好的收敛性。
（2）误差分析：通过计算迭代过程中的误差，可以观察到误差随着迭代次数的增加逐渐减小，说明牛顿迭代法具有较好的精度。
（3）迭代次数：在本次实验中，经过6次迭代即可达到误差要求，说明牛顿迭代法具有较高的效率。
（4）适用范围：牛顿迭代法适用于连续可导且导数不为零的函数，对于不可导或导数为零的函数，牛顿迭代法可能无法得到有效的解。
五、实验结论1. 牛顿迭代法是一种有效的求解非线性方程根的方法，具有较好的收敛性和精度。
2. 牛顿迭代法在实际应用中具有较高的效率，适用于求解连续可导且导数不为零的函数。
牛顿迭代法及其改进方法的收敛性分析-毕业论文
【标题】牛顿迭代法及其改进方法的收敛性分析【作者】彭昌华【关键词】非线性方程牛顿迭代法高阶收敛性收敛阶【指导老师】周均【专业】数学与应用数学【正文】0 引言牛顿法又称牛顿——拉弗森（ Newton __ Raphson ）法或切线法，它是求解非线性方程的零点的一种迭代法，即牛顿迭代法.一般地，该实值函数在实零点的邻域内连续可导，并且 0,当是的近似值时,若在点( , )处作切线, = + ( ) (0-1) 近似代替 ,再以的零点 = - （ =1,2, ） (0-2) 作为的新的近似值,这即是牛顿法.牛顿法是教学科研以及工程技术中的常用数值方法.一般地,牛顿法具有局部二阶收敛性.1 预备知识为了研究牛顿迭代法及其改进方法的收敛性,则需给出与之相关的理论.[1]-[13] 定义1 局部收敛性设是 =0的根,若存在的一个邻域(x*- , x*+ ),当迭代初值 (x*- , x*+ )时,迭代法得到的序列收敛到 ,则称该迭代法关于根具有局部收敛性.定义2 收敛速度设为第次迭代值, 是方程 =0的根,令 = - 且假设迭代收敛,即 = , 若存在实数≥1，使得 .则称此方法于根具有阶收敛速度，c为渐近误差常数.特别地，当 =1时，称为线性收敛；当 >1时，称为超线性收敛. =2时，称为平方收敛.渐近误差常数c与有关，c≠0保证了的唯一性.一般情况下，越大收敛速度就越快.高阶收敛定理对于迭代过程 = ( ) ,若迭代函数在所求根的邻近有连续的阶导数,且满足条件:ⅰ: ;ⅱ: = = = = =0,且 0；则必存在的某个邻域 ,使得对任意初始值 ,迭代过程 = ( )为阶收敛.由此表明:迭代过程的收敛速度取决于迭代函数的选取,且当 0,该迭代过程只可能是线性收敛.牛顿迭代法的局部收敛性定理设是满足 =0，≠0,在的邻域上连续，则牛顿迭代式（0-2）在点具有局部收敛性，且至少平方收敛.牛顿迭代法收敛的充分条件定理1：设函数满足 =0，≠0,在的邻域内有二阶连续导数，则当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的，并有 =由此我们可知，当是单根的时候，牛顿法至少是局部二阶收敛的.但是，对其收敛条件在的邻域内有二阶连续导数是一个限制性很强的条件，我们能否在较弱的条件下仍能得出相同或相仿的结论？下面将给出牛顿迭代法在较弱的条件下的局部收敛性，并加以证明.2、弱条件下的牛顿迭代法的收敛性2.1 减弱条件一将在的邻域上连续减弱为存在，仍能保证其迭代法至少是局部二阶收敛性. 定理2 设函数满足 =0，≠0,存在，则当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的，并有 =证明：不妨考虑因为存在，则由Peano余项的Taylor公式展开得= + /2+0( )= + +0由迭代公式（0-2）得，=（）-即 =（）-== .==故结论得证.2.2减弱条件二将存在减弱为在的邻域内存在且满足中心李普希兹条件也即是：存在L>0,使得≤L ,仍能保证牛顿法至少是局部二阶收敛性.定理3 设函数满足 =0，≠0，在的邻域内存在，且有L>0,使得≤L ; 则当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的.证明: 当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得=（）-==[ ]-1[ - ]这里在与之间，所以≤又由题意：≤L所以≤L由此可得，当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的.2.3 实例分析利用牛顿迭代公式(0-2) 数值求解非线性方程 =0的根, ，并考虑牛顿法的局部二阶收敛性.例1: = ,[a, b]=[0,1.5],则 =1解: = , = ,由此可得, 0，在的邻域内连续,则满足定理1 的条件,即牛顿法具有局部二阶收敛性.例2: 设 = ，[a, b]=[-1,1], 则 =0解： = ,=这里， 0，存在，但在的邻域内不连续，故由定理2知，牛顿法是二阶收敛的. 例3: 设，[ a, b ]=[-1,1],则 =0解：这里 =2 0，不存在，不满足对的邻域内任意，，有<α ,但满足，存在L>0,使得≤L .故由定理3知牛顿迭代法是二阶收敛的.3、重根情形下牛顿法的收敛性由定理1 知，如果是 =0的单根，则牛顿迭代法有局部收敛性，如果是 =0的m 重根(m≥2)时，无论怎样选取迭代函数即使迭代收敛也至多是线性收敛.3.1 运用牛顿迭代法的收敛性一般地说，设是 =0的重根( ≥2)，又由重根的定义即 = ，≠0，有二阶导数，它的迭代函数 = - ,易得出 =1- .由此，0< <1,由（0-2）知，只有≠0，则牛顿迭代法是线性收敛的，于是我们可得到如下定理：定理4 如果是方程 =0的重根( ≥2)，在的某邻域内有阶连续导数，则牛顿法具有局部收敛性，且有线性收敛速度.证明：令 = - ，则 = ，对以及在处作Taylor展开，得 = + -= + - （0< , <1）当→0,→ ,则 ===1-即 <1故由局部收敛性的定义知,牛顿法是收敛的.下面证明它的收敛速度：设是方程 =0的重根( ≥2)，则可表示为 = ，≠0，于是， = += [ ]又由牛顿迭代格式（0-2）得，= -=( )[1- ]故 = =1-因为 m>1, 所以 0<1- =c<1故牛顿迭代对重根是线性收敛的.3.2 运用修正牛顿迭代法的收敛性如果是已知时，即：知道重根的重数，则可采用修正牛顿迭代公式 = - ,使该迭代达到二阶收敛速度.即我们有如下定理：定理5 如果是方程 =0的重根( ≥2)，在的某邻域内具有阶连续导数，则修正牛顿迭代公式 = - 具有局部收敛性且具有二阶收敛速度.证明：令 = - ,运用类似定理4的方法，即由条件，及在的Taylor展开，得 = + -= + - (0< , <1)= + -==又由 =0，所以 =0故牛顿迭代法具有局部收敛性.下面证明其二阶收敛速度由迭代公式（0-2）得， = +即（） =（） +令 =（） + ，则 =（） + -因为是方程的重根，故 =0 ( =1,2, , )所以 =（） + - =0 ( =0.1,2, , )=（） - -( )=-则 = 是与之间的某值又 = 是与之间的某值= =即 ==- ，故该牛顿迭代具有二阶收敛速度.当重数未知时,设是 =0的重根,则 = , ≠0，令 = ,则有 = ,即是的单根,则由定理1可得,迭代公式 = -= - ( )是二阶收敛的.3.3 数值实验例子以文献[3]中习题为例，方程有二重根 =1,取 =2，用牛顿迭代公式 (0-2) 和处理重根的修正牛顿迭代公式： = - ，（）为重根的重数，分别求解几步，比较结果.解：即是方程的二重根利用数值实验比较：牛顿法修正牛顿法0 2 21 1.6 1.22 1.347368421 1.0947368423 1.193516664 1.0396649064 1.104014285 1.0145119065 1.054346842 1.0046793996 1.027856159 1.0013654767 1.01411429 1.0003724218 1.007105916 1.0000975419 1.003565448 1.00002498110 1.001785885 1.00000632211 1.000893738 1.0000015912 1.000447068 1.00000039913 1.000223584 1.000000114 1.000111805 1.00000002515 1.000055905 1.00000000616 1.000027953 1.00000000217 1.000013977 118 1.000006989 119 1.000003494 120 1.000001747 1由上述实验知:修正牛顿迭代法的迭代次数比牛顿迭代法的迭代次数要少,也即是说修正牛顿迭代法的收敛速度比牛顿迭代法的收敛速度要稍快一些.4 牛顿迭代的改进方法的收敛性对于牛顿迭代公式（0-2），在计算过程中每一步都要计算导数，为了减少计算量，我们用和处差商代替导数， = =得到 = - （） (4-1) 此方法称为弦割法.与牛顿法不同的是，它需要两个较好的初值，，这两个初始值应尽量取在方程 =0的根的附近.弦割法也具有局部收敛性，且收敛速度介于二次收敛和线性收敛之间，即弦割法是超线性收敛的.以下将给出定理并证明.定理6 设，，在包含 =0的根的区间上连续且是其单根， 0，则如果初始值和，选得充分接近，由式（4-1）产生的序列收敛于，收敛的阶 = 且 = 证明：由公式（4-1）得，两边同时减去，利用均差的记号和性质，=（）-=（）-=( )= (4-2)又因为连续，则有包含在 = ， = ，其中在，之间，包含在，，的最小区间上.记： = ，则（4-2）式可以写成 == ,这里假设 = ， <1当时，有 =0又因为0 ，所以 0，即收敛到以下讨论的收敛阶由，令 = ，则，，（4-3）得，即，，由（4-3）式得， ,一般地，由归纳法得到，，，其中 = =1.有以下递推关系：= + ，，（4-4）这样的称为Fibonacci数列.式（4-4）是二阶线性齐次差分方程.可设 = ，则满足 = +1，解出 = ， = ，可以写成和的线性组合，利用 = =1得， = ，当大时，，，令 = ,当大时有 , ，，故有，，当时，有 = ，即因为 0，所以弦割法是收敛的.故结论得证.5 牛顿法的收敛阶牛顿法对于求非线性方程的单根和重根时的收敛速度可以根据前面已经讨论的方法来判断,那么接下来我们将从另一个角度来分析它的收敛速度.即通过实例从数值实验上来估计牛顿迭代收敛的大致数值.例:以例1为例 = ,[a, b]=[0,1.5] ,则由牛顿迭代公式可得 = - = ,显然 =1是它的不动点.现在假设不知道它的收敛阶,则可设计一个数值实验估计它的收敛阶数.解: 假设它的收敛阶为 ,则应当存在常数＞0使得 (5-1) 成立,当＞＞1时(5-1)可以,近似地写成 ,再两边取对数得到 (5-2). 则(5-2)指出与之间应当近似地有线性关系, 和之间直线的斜率正好是 .取初值 =0.5,用excel迭代k 0 1 2 3 4x* 1xk 0.5 0.833333333 0.976190476 0.99944629 0.999999694|x(k)-x*| 0.5 0.166666667 0.023809524 0.00055371 3.06425E-07|x(k+1)-x*| 0.166666667 0.023809524 0.00055371 3.06425E-07 9.39249E-14 Ln|(x(k)-x*)| -0.693147181 -1.791759469 -3.737669618 -7.498869734-14.99829302Ln|(x(k+1)-x*)| -1.791759469 -3.737669618 -7.498869734 -14.99829302-29.99628121下面用最小二乘法拟合来确定和即得到它的收敛阶. (令 = , = )k 1 2 3 4 5 对每行求和-0.69314718 -1.79175947 -3.737669618 -7.498869734 -1.50E+01 -28.719739 ( )^20.480453015 3.210401998 13.97017417 56.23304729 224.9487929 298.8428694-1.79175947 -3.737669618 -7.498869734 -1.50E+01 -3.00E+01 -58.02458003 ( )* ( |)1.241953025 6.697004934 28.02829757 1.12E+02 449.8930145 598.343316则得到的法方程组为 = ，通过最后计算得 = 1.979808375 =-0.233000048由于误差的原因，则 2，即该牛顿迭代的收敛阶为2，也即该牛顿迭代具有二阶收敛性.6:总结本文主要对牛顿迭代法的收敛性进行分析.即主要对其收敛条件、重根情形下牛顿迭代法的收敛性、改进牛顿法的收敛性以及从数值上去估计牛顿迭代的收敛阶等进行分析.将其收敛条件进行不同层次的减弱,通过理论证明仍能得到其牛顿迭代法的局部收敛性;对重根情形,当重数是已知时,运用牛顿迭代法和修正牛顿迭代法,以实际例题进行分析得出:修正牛顿法的收敛速度较牛顿迭代法快一些.当重数未知时,给出一个定理,并得出牛顿迭代具有二阶收敛速度; 还给出牛顿法的另一改进方法—弦割法的收敛定理,得出弦割法具有超线性收敛速度;在分析牛顿迭代法的收敛速度的基础上，从另一个角度即通过具体的数值实验上估计牛顿迭代法的收敛阶.。
牛顿迭代法的收敛性分析和优化
牛顿迭代法的收敛性分析和优化牛顿迭代法是求解非线性方程的一种经典方法，其在科学计算和工程实践中具有广泛应用。
本文主要探讨牛顿迭代法的收敛性分析和优化。
一、基本原理牛顿迭代法是利用函数的一阶导数和二阶导数信息来快速逼近非线性方程的根。
假设我们要求解方程$f(x)=0$，其中$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$是连续可导函数，$x_0$是某个初始估计值。
根据泰勒展开公式，可以得到局部线性近似为$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2$$由于$f(x)$在$x=x_0$处为零，因此仅保留一阶项，可得到下面的一次方程$$f'(x_0)(x-x_0)=-f(x_0)$$解得$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$$x_1$即为$f(x)=0$的第一个近似根。
类似地，我们可以继续迭代得到第$k$步的近似根$$x_k=x_{k-1}-\frac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}$$当$f'(x_k)\neq 0$时，该迭代公式是收敛的，并且收敛速度相当快，一般为二次收敛。
在实际应用中，牛顿法的迭代次数很少超过10次，速度比其他迭代法快得多。
二、收敛性分析然而，牛顿迭代法并不总是收敛的，尤其当$f'(x_k)=0$时，迭代公式会失效。
此时，我们可以通过对原函数进行曲率调整来解决这个问题。
具体来说，对于第$k$步，定义一个新的函数$g(x)=f(x)/f'(x_k)$，那么$g(x_k)=0$，并且$g'(x_k)\neq 0$。
因此，可以用牛顿迭代法求解$g(x)$的根，得到下面的迭代公式$$x_{k+1}=x_k-\frac{g(x_k)}{g'(x_k)}$$其中，$$g(x)=\frac{f(x)}{f'(x_k)},\hspace{1cm}g'(x)=\frac{f''(x_k)f(x)-[f'(x_k)]^2f'(x)}{[f'(x_k)]^2}$$这个方法称为改进的牛顿迭代法或牛顿-拉夫逊迭代法。
牛顿迭代法的优点和缺点
牛顿迭代法的优点和缺点在数学领域中，牛顿迭代法是一种用于求解方程组或者方程根的方法。
牛顿迭代法属于一种数值计算方法，具有一定的优点和缺点。
本文将从理论分析和实际应用两个方面，探讨牛顿迭代法的优点和缺点。
一、牛顿迭代法的优点1.快速求解复杂方程牛顿迭代法是一种可以快速求解复杂方程的方法。
因为它基于泰勒公式展开函数，在一定条件下可以保证收敛性，并且当迭代次数足够多时，可以达到非常高的精度。
因此，牛顿迭代法可以用于处理各种不确定的问题，如非线性方程、微积分方程等。
2.收敛速度快与其他数值计算方法相比，牛顿迭代法的收敛速度非常快。
因为牛顿迭代法的每一次迭代都会朝着方程根的方向进行逼近，而且逼近速度越来越快，因此可以快速地求解方程根或者方程组。
3.简单易用牛顿迭代法的求解过程非常简单易用，不需要太多的复杂计算和理论推导。
只需要根据泰勒公式展开函数，并进行一定的变量代换，就可以得到逐步逼近方程根的迭代公式。
因此，牛顿迭代法也是一种比较实用的数值计算方法。
二、牛顿迭代法的缺点1.初始点的选择问题牛顿迭代法的收敛性与初始点的选取有关。
如果初始点选择不当，可能会导致无法收敛或者收敛速度特别慢。
因此，需要根据实际问题的情况选择合理的初始点，并进行多组试验，以保证牛顿迭代法的收敛性和稳定性。
2.局限于单根问题牛顿迭代法只适用于求解单根问题，即方程只有一个解的情况。
如果方程有多个解，牛顿迭代法可能会收敛到错误的解或者无法收敛。
因此，需要根据实际问题的特点考虑采用其他数值计算方法，如割线法、二分法等。
3.迭代公式的推导牛顿迭代法的迭代公式需要推导，并且推导过程比较复杂。
需要进行泰勒公式展开、变量代换等计算，而且还需要保证公式的收敛性和稳定性。
因此，需要较强的数学功底和计算能力。
三、总结牛顿迭代法作为一种数值计算方法，具有收敛速度快、快速求解复杂方程、简单易用等优点，但也存在初始点选择问题、局限于单根问题、迭代公式的推导等缺点。
牛顿迭代法的优化算法和改进方法
牛顿迭代法的优化算法和改进方法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，在数值计算中被广泛使用。
它基于函数的一阶和二阶导数信息，通过不断逼近零点来求解方程。
然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛速度慢、收敛精度不稳定等等。
为了克服这些问题，人们提出了一系列的优化算法和改进方法，以提高牛顿迭代法的效率和精度。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法通过不断逼近函数的零点来求解方程，具体步骤如下：1.选取初始点$x_0$；2.根据函数$f(x)$在$x_k$处的一阶和二阶导数信息，计算出$x_k$处的切线和二次曲面，并求出它们与$x$轴（即解的数值）的交点$x_{k+1}$；3.将$x_{k+1}$作为新的初始点，重复步骤2，直至满足收敛条件。
其中，收敛条件通常为$|f(x_{k+1})|<\epsilon$，其中$\epsilon$为预设的误差限。
二、牛顿迭代法的优化算法虽然牛顿迭代法具有较高的精度和收敛性，但在实际应用中，它的收敛速度有时会很慢，甚至不能收敛。
为解决这些问题，人们提出了以下的优化算法。
1.牛顿-拉夫森方法牛顿-拉夫森方法是牛顿迭代法的一种变体，它在求解$x_{k+1}$时，采用了一种修正迭代式：$$x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)+O(f''(x_k)f(x_k)^2)$$该方法通过引入$f''(x_k)$来修正$x_{k+1}$的值，进一步减小迭代误差，加快收敛速度。
但该方法的计算量比牛顿迭代法大，需要对$f''(x_k)$进行严格求解。
2.海森矩阵的简化牛顿迭代法海森矩阵是牛顿迭代法中最重要的部分，它在计算二次曲面时起着关键作用。
然而，海森矩阵的计算量很大，而且在高维问题中可能变得非常不稳定。
为了减少计算复杂度和提高数值稳定性，人们提出了一种简化的牛顿迭代法，即使用$f'(x_k)$代替海森矩阵$f''(x_k)$，从而简化了计算过程并提高了数值稳定性。
牛顿迭代法实训总结
牛顿迭代法实训总结一、实验目的及原理通过上述牛顿迭代法实验，我们可以观察到水力坡度不仅与径向压强有关，而且还与径向剪应力和切向压强有关。
因此，当对水流进行控制时，我们必须将切向压强及径向剪应力综合考虑。
设想，将水流分为上下两层：上层为较小面积的稳定层；下层为较大面积的运动层。
如图1所示，在实际工程中，人们往往把稳定层作为输水管道的中间部分。
同时，也会在稳定层内增设一定厚度的保护层，这样可以使运动层承受一部分径向压强，而运动层内的流体又被稳定层阻挡，从而使其不能全部流出。
3))按步骤实验并记录数据，得出实验结论。
1)检查设备，了解仪器的名称、功能及用途。
2)将一支标准刻度的水压力表1支，装满标准容积的量筒2只，并注明它们的正确读数。
3)称取0。
5ln 水于两只量筒中，同时记录正确读数。
在该实验中，选择“ 0。
5— 0。
9”的一段量筒，利用它与固定管直径之比，即可调节管道的水力坡度。
4)将“ 0。
5— 0。
9”的那段量筒移至管内另一端，再次将量筒水位记录于“ 0。
5— 0。
9”处，使其“水头”恰等于管道上游最高水位加“上游水头”，此时，该段量筒就成为正确的“测量杯”。
4)设计方案，测定并记录水力坡度实验时，首先应确定被测定的水力坡度（ 0。
02～0。
04）。
其次，要选择合适的管道口径，以便选用合适的刻度水压表。
一般应根据所需水头，使测定的值为工程需要的最小坡度。
5)在安全的前提下，尽可能采用多个刻度水压表。
如图2所示，将一支带有圆弧形的长柄直尺(或三角尺)装在水压力表上，将“水头”标在圆弧形水压力表下方，通过改变量尺长度的方法，使量尺圆弧半径依次变大，由此得到相应的水力坡度。
这种量尺叫做“百分表”。
如果水压力表是可调节式的，则可以通过改变量尺圆弧半径，来改变量尺水头高度，以改变水力坡度。
5)处理数据，绘出图象。
6)按步骤实验并记录数据，得出实验结论。
1)检查设备，了解仪器的名称、功能及用途。
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1.简化 Nowton 迭代法
因为 f ′(x) 的计算较为复杂,将 f ′(x) 用 f (x0) 来代替,则有
xk+1 = xk －
f
f ′(
(xk) xk + 1)
（k=0,1,2……）
改为
xk+1 = xk －
f (xk) f ′(x0)
（k=0,1,2……）
（5）
迭代函数为
ϕ(x) = xk －
个根 3 ，若要求其它根，则要另选初值。 通过试探性地改变初值，有
对牛顿迭代法及改进的总结
科技信息
内蒙古化工职业学院 李慧敏 王晓燕
［摘 要］本文总结了牛顿迭代法及它的收敛性质,对几个经典的牛顿迭代法的改进做出了总结，并通过例题将它们做了比较。 ［关键词］牛顿迭代法 收敛阶 改进 比较 收敛速度
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-
需要计算，其迭代格式为
xk+1 = xk -
f (xk) c
（7）
证明：根据局部收敛定理中的局部收敛条件可以得到：
| ϕ'(x) | ≤ L < 1 ，∀ x ∈[a - δ,a + δ]
当常数 c 满足 0 <
f
'(x) c
<
2
时迭代格式（7）收敛。
3.Nowton 下山法
在讨论牛顿法的收敛条件时，都要假定初始值 x0 要充分的靠近 x*
顿法做出了一些改进，在本文中如文献[1]。为此，本文总结了几类经典
的牛顿迭代法的改进，并且举例做了比较。数值结果是由 QB 程序得
到。
一、牛顿（Newton）法 牛顿（Newton）法是求非线性方程 f (x) = 0 的根的一种重要方法，其
基本思想是将非线性方程转化为线性方程来求解。
设 f (x) 连续可微，则将 f (x) 在 x0 处 Taylor 展开，
时才能保证收敛并且牛顿（Newton）迭代对初值的要求很高。为了放宽
初值的选取范围，我们采取如下迭代格式。
xk+1 = xk
- λk
f (xk) f ′(xk)
（8）
其中 0 ≤ λk ≤ 1 称为下山因子。可通过适当选取下山因子 λk ，使得
| f | (xk +1) < | f (xk) | 成立。上述迭代方法称为下山 Newton 法。通常,下山
（3）
从而有
ϕ'(x)
=1
-
[
f
'(x)2 - f (x)⋅f [ f '(x)]2
''(x)]
=
f (x)⋅ f ''(x) [ f '(x)]2
（4）
如 果 在 方 程 f (x) = 0 的 根 x* 的 某 个 邻 域 内 f '(x) ≠ 0 ，从 而
f '(x*) ≠ 0 ，即 x* 是单根的情况，f ''(x) 存在并连续，从而有界。则只要
Raphson method），它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复数域上
近似求解方程的方法。大多非线性数方程不存在求根公式，因此求精
确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 方法级数的前面使用函数 f (x) 的泰勒几项来寻找方程 f (x) =0 的根。 牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 f (x) =0
x 足够靠近 x* ，从而 | f (x)| 足够靠近 0，就有 | ϕ(x)| ≤ L < 1 ，又根据收敛
性定理，可知，牛顿迭代公式收敛于 x* ，并由 f (x*) = 0 导致 ϕ(x*) = 0 又
根据收敛阶判定定理，可知牛顿迭代公式在单根附近至少是 2 阶收敛
的。
三、牛顿 Nowton 迭代法的改进
因 子 可 用 试 选 法 确 定 。 比 如 ，依 次 取 λk = 1,12,212,⋯ ，直 到 满 足
| f | (xk +1) < | f (xk) |
例如：容易验算，x33 - x = 0 方程有三个根 - 3 ，0 ， 3 ，虽然初值 x0 = -0.99 在前两个根 - 3 ，0 之间，但下山 Newton 法最后收敛于第三
作 f (x) 的切线，其切线方程为 y- f (x) = f '(x0)（ x -x0），此切线与轴交
点就是
x1 = x0 -
f (x0) f ′(x0)
（2）
如图 1。
图 1 牛顿迭代法的几何意义
二、牛顿 Newton 迭代法的收敛性
牛顿迭代公式作为不动点迭代，其迭代函数为
ϕ(x) = x -
f (x) f '(x)
f (xk) f ′(x0)
（6）
并称其为简化牛顿 Nowton 迭）上的点（ xk ，f (xk)）且斜率为 f '(x0) 的
切线方程是
y－ f (xk) = f ′(x0) ( x - xk ),
有时也称这种方法为平行切线法。
简化牛顿迭代法收敛的证明过程如下
x
,
由迭代法的思想将上式左端 x 记为 x1 ，便得到
x1 = x0 -
f (x0) f ′(x0)
一般地有
xk+1 = xk -
f (xk) f ′(xk)
（1）
并称其为 Newton 迭代公式（自然假定 f '(xk) ≠0）
牛顿（Newton）迭代法的几何意义是：当取初始 x0 值后，过 (x0,f (x0))
证
设 c=
1 f ′(x0)
，此时迭代函数 Φ(x) = x - cf (x) ,
| | | Φ′(x) ＝ |1－cf '(x) ≤ L＜1。
即取 0＜ cf '(x) ＜2 与 c 同号，此时迭代法收敛。
2.推广的简化牛顿迭代
对于（5）来说，如果将 f '(x0) 用某个常数 c 取代，则一次导数值都不
的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
在求非线性方程式时，它除了具有简单的迭代法的优点外，还具有二阶
收敛速度（在单根邻近处）的特点。缺点是牛顿（Newton）法每迭代一步 都要计算 f (xk) 及 f '(xk) ，且初始值选取比较苛刻（必须充分靠近方程
的根），否则也可能不收敛。为了克服这些缺点很多数学工作者对牛
f (x) =
f (x0) +
f '(x0)（ x -x0）+
f
'' ( x 0) 2!
(x
-
x0)2
+
……
只要 f '(x0) ≠0，取其线性部分近似替代 f (x) ，便得 f (x) =0 的近似
方程：
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)（ x -x0）= 0
即 x = x0 -
f (x0) f ′(x0)