数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题

1.若0

()

lim

1sin x x x

φ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价

无穷小。

A.sin ||x

B.ln(1)x -

C.

1

1.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3

阶导数，且0()

lim

1tan sin x f x x x

→=-则'''f (0)=（ ）

A.5

B.3

C.1

D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得

300

02

()

'()

''()

lim

lim

lim

1

tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x

x x -→→→==-+-42200''()''()

lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 13

3-+为同阶无穷小的是（ ）

A.3

x

B.3

4

x C.3

2

x D.x

3.

【

答

案

】

A.

解析

.

1

2

2

33

31233

200311(1)1133lim lim (1)3313

x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim

1(2)n

n x x x π→∞=+的间断点有（ ）个

A.4

B.3

C.2

D.1 4.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故

20.5sin 12lim

1(2(0.5))2n x π

→--

=-+⨯-， 20.5sin

12lim 1(20.5)2n x π

→=

+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx x

f x a e

=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）

A.a>0，b>0

B.a ≤0，b>0

C.a ≤0，b<0

D.a>0，b<0

5.【答案】B 。解析：0

lim ()lim 0,0b

bx

bx x x a e b x f x a a e be ∞→∞→∞⎧-=∞>⎧⎪==⇒⎨⎨≤--=∞⎪⎩⎩

。 6.

关于曲线y x = ） A.只有水平渐近线，没有斜渐近线 B.既没有水平渐近线，也没有斜渐近线 C.只有斜渐近线，没有水平渐近线

D.既有水平渐近线，又有斜渐近线

6.【答案】C 。解析：由题意可知，无水平渐近线

；

()lim 2,lim[()]lim[2]

11

],222x x x x x x f x a b f x ax x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞====-====-=-。 7.若f(x)在x=a 处为二阶可导函数，则'2

0()()()

lim h f a h f a hf a h →+--=( )

A.f"(a)/2

B.f"(a)

C.2f"(a)

D.-f"(a)

7.【答案】A 。解析：'''''200()()()()()()

lim lim 22

h h f a h f a hf a f a h f a f a h h →→+--+-==。 8.设()232x

x

f x =+-，则当x 趋近于0时，有（ ） A.f （x ）是x 的等价无穷小

B.f （x ）与x 同阶但非等价无穷小

C.f （x ）是比x 高阶的无穷小

D.f （x ）是比x 高阶的无穷小

8.【答案】B 。解析：0232

()232,lim

ln 2ln 3x x x

x

x f x x

→+-=+-=+，所以()232x x f x =+-与x 是同阶但非等价的无穷小。

9.22223

n n n a n ++=-，则lim n n a →∞的值为（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

9.【答案】A 。解析：2222414

lim lim lim 2322

n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===-。 10.已知函数237

()23

x f x x x +=

--的间断点（ ）

A.X=7

B.X=-

73

C.X=-1或X=3

D.X=1或X=-3

10.【答案】C 。解析：2

37()23

x f x x x +=--，2

230,3,1x x x --==-，所以3，-1是函数的间断点。

11.设当x (0,)∈+∞时1

f ()sin x x x

=则在（0，+∞）内（ ） A.f ()x 与'

f ()x 都无界 B.f ()x 有界，'

f ()x 无界 C.f ()x 与'f ()x 都有界

D.f ()x 无界，'f ()x 有界

11.【答案】B.解析0

1lim ()lim sin

0x x f x x x →→==，01

lim ()lim sin 0x x f x x x

→∞→==故f(x)有界，

111'()sin cos f x x x x

=-，0

lim '()x f x →=∞，无界，选B. 12.在区间[0.1]上，函数n

f ()(1)x nx x =-的最大值记为M （n ）,则lim ()n M n →∞

的值为（ ） A.1e -

B.e

C.2e

D.3e

12.【答案】A.解析.2

1

1'()(1)(1)(1)(1)n

n n f x n x xn x n x x nx --=---=---所以f(x)的驻点

有两个,分别是x=1和11x n =

+,且11x n =+是极大值点又因为是闭区间[0,1],所以1

1

x n =+也是最大值点，所以(1)(1)

11()()()(1)111

n n n M n f n n n ++===-+++所以当n →∞时. (1)(1)11

lim ()lim()lim(1)11n n n n n n M n n n e

++→∞→∞→∞==-=++所以极限为1/e 。选A 。 13. ( )

A.

B.0

C.1

D.

2+1

lim [123...]x n n →∞++++=∞12