三年级奥数专题：乘法中的巧算

三年级奥数专题：乘法中的巧算

上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的方法.本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法.

1.乘11，101，1001的速算法

一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得

a×11=a×(10＋1)=10a＋a，

a×101=a×(101＋1)=100a＋a，

a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a.

例如，38×101=38×100＋38=3838.

2.乘9，99，999的速算法

一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得

a×9=a×(10-1)=10a-a，

a×99=a×(100-1)=100a- a，

a×999=a×(1000-1)=1000a-a.

例如，18×99=18×100-18=1782.

上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算.凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法.

例1计算：

(1) 356×1001

＝356×(1000＋1)

＝356×1000＋356

＝356000＋356

＝356356；

(2) 38×102

＝38×(100＋2)

＝38×100＋38×2

＝ 3800＋76

＝3876；

(3)526×99

＝526×(100-1)

＝ 526×100-526

＝ 52600-526

＝52074；

(4)1234×9998

＝ 1234×(10000-2)

＝1234×10000-1234×2

＝12340000-2468

＝12337532.

3.乘5，25，125的速算法

一个数乘以 5，25，125时，因为 5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到

例如，76×25＝7600÷4＝1900.

上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”.当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的. 例2计算：

(1) 186×5

=186×(5×2)÷2

=1860÷2

=930；

(2) 96×125

=96×(125×8)÷8

=96000÷8=12000.

有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了.

例3计算：

(1) 84×75

=(21×4)×(25×3)

=(21×3)×(4×25)

=63×100=6300；

(2)56×625

=(7×8)×(125×5)

=(7×5)×(8×125)

=35×1000=35000；

(3) 33×125

=32×125+1×125

=4000+125=4125；

(4) 39×75

=(32+1)×125 =(40-1)×75

=40×75-1×75

=3000-75=2925.

4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法

个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积.例如：

仿此同学们自己算算下面的乘积

35×35＝______ 55×55＝______

65×65＝______ 85×85＝______

95×95＝______

这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位数相乘的计算，例如，

练习21

用速算法计算下列各题：

1.(1) 68×101；(2) 74×201；

(3) 256×1002；(4) 154×601.

2.(1)45×9；(2)457×99；

(3)762×999；(4) 34×98.

3.(1)536×5；(2)437×5；

(3)638×15；(4)739×15.

4.(1)32×25；(2)17×25；

(3)130×25；(4)68×75；

(5)49×75；(6)87×75.

5.(1)56×125；(2)77×125；

(3)66×375；(4) 256×625；

(5)555×375；(6)888×875.

6.(1)295×295；(2)705×705.

答案与提示练习21

1.(1)6868；(2)14874；(3)256512；(4)92554.

2.(1)405；(2)45243；(3)761238；(4)3332.

3.(1)2680；(2)2185；(3)9570；(4)11085.

4.(1)800；(2)425；(3)3250；

(4)5100；(5)3675；(6)6525.

5.(1)7000；(2)9625；(3)24750；

(4)160000；(5)208125；(6)777000.

6.(1)87025；(2)497025.