空间直线与直线的位置关系精品PPT课件
合集下载
212空间中直线与直线之间的位置关系共31张PPT
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练
3．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB， E、F分别是BD1和AD中点，则异面直线CD1，EF所成的 角的大小为________．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解析：取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG， ∵E 是 BD1 的中点，∴EG∥BC，EG＝12BC.
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
做一做 3.若正方体ABCD－A1B1C1D1中∠BAE＝25°， 则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
答案：65°
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 直线位置关系的判定
例1 a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的几 种说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 其中正确的是________(只填序号)
E，F
分别是另外两条对边
AD，BC
上的点，且AE＝BF ED FC
＝12，EF＝ 5，求 AB 和 CD 所成的角的大小．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解：如图，过 E 作 EO∥AB，交 BD 于点 O，连接 OF， ∴AEED＝BOOD.又∵AEED＝BFFC，∴BOOD＝BFFC， ∴OF∥CD，∴∠EOF(或其补角)是 AB 和 CD 所成的角． 在△EOF 中，OE＝23AB＝2，OF＝13CD＝1. 又 EF＝ 5，∴EF2＝OE2＋OF2，∴∠EOF＝90°， 即异面直线 AB 和 CD 所成的角为 90°.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练
3．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB， E、F分别是BD1和AD中点，则异面直线CD1，EF所成的 角的大小为________．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解析：取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG， ∵E 是 BD1 的中点，∴EG∥BC，EG＝12BC.
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
做一做 3.若正方体ABCD－A1B1C1D1中∠BAE＝25°， 则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
答案：65°
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 直线位置关系的判定
例1 a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的几 种说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 其中正确的是________(只填序号)
E，F
分别是另外两条对边
AD，BC
上的点，且AE＝BF ED FC
＝12，EF＝ 5，求 AB 和 CD 所成的角的大小．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解：如图，过 E 作 EO∥AB，交 BD 于点 O，连接 OF， ∴AEED＝BOOD.又∵AEED＝BFFC，∴BOOD＝BFFC， ∴OF∥CD，∴∠EOF(或其补角)是 AB 和 CD 所成的角． 在△EOF 中，OE＝23AB＝2，OF＝13CD＝1. 又 EF＝ 5，∴EF2＝OE2＋OF2，∴∠EOF＝90°， 即异面直线 AB 和 CD 所成的角为 90°.
空间直线与直线的位置关系市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
2.1.2空间中直线与直线之间旳 位置关系
复习：平面内两条直线旳位置关系
a
o
b
相交直线 平行直线
a b
相交直线 （有一种公共点）
平行直线 （无公共点）
H E
D A
G
F
既不平行，又不相交
C B
1.异面直线旳定义:
不同在 任何 一种平面内旳两条直线叫 做异面直线
注1
两直线异面旳鉴别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面旳鉴别二 : 两条直线不同在任何一种平面内.
H
G
E
2 2 3D
A
23
F C
B
作业
如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成旳角旳余弦值
D1 A1
C1
B1 a
D
C
A
3a B a
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否依然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别相应平行,这两组角旳大小
关系怎样?
D1
C1
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 O
平行直线 无 公 共 点 异面直线
3.异面直线旳画法
阐明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面旳特点。常借 助一种或两个平面来烘托.
如图：
a
b
(2)
b
A
a
(1)
a
b
(3)
Hale Waihona Puke 思索：如图是一种正方体旳展开图,假如将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线旳有 对?
复习：平面内两条直线旳位置关系
a
o
b
相交直线 平行直线
a b
相交直线 （有一种公共点）
平行直线 （无公共点）
H E
D A
G
F
既不平行，又不相交
C B
1.异面直线旳定义:
不同在 任何 一种平面内旳两条直线叫 做异面直线
注1
两直线异面旳鉴别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面旳鉴别二 : 两条直线不同在任何一种平面内.
H
G
E
2 2 3D
A
23
F C
B
作业
如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成旳角旳余弦值
D1 A1
C1
B1 a
D
C
A
3a B a
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否依然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别相应平行,这两组角旳大小
关系怎样?
D1
C1
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 O
平行直线 无 公 共 点 异面直线
3.异面直线旳画法
阐明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面旳特点。常借 助一种或两个平面来烘托.
如图：
a
b
(2)
b
A
a
(1)
a
b
(3)
Hale Waihona Puke 思索：如图是一种正方体旳展开图,假如将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线旳有 对?
《空间中直线与直线之间的位置关系》教学课件ppt
四边形。 证明：连接BD，
因为 EH是ΔABD 的中位线，
H E
D
G
所以EH//BD,且 EH 1 BD 2
同理FG//BD,且FG 1 BD 2
B F
C
记得步骤要规范哦！
所以 EH//FG，且EH=FG
所以，四边形EFGH是平行四边形。
解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
在同一平面内，如果两条直线都与第三条 直线平行，那么这两条直线相互平行．在空间 中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否 也有类似的规律？
观察
如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中, AB//A'B', D'C'// A'B',那么AB 与D'C'平行吗？
D
A
C B
D
A
平行
C
B
空间平行线的传递性
公理４：在空间中平行于同一条直线的两条直 线互相平行．
若a∥b，b∥c， 则 a∥c。a
c
a α
bc
公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
例2：如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是
பைடு நூலகம்
AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行 A
小结
异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线.
空间直线 不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内-------平行直线
公理４ 平行同一条直线的两条直线互相平行.
空间中直线与直线之间的位置关系PPT完美课件
追踪训练 空间中直线与直线之间的位置关系PPT完美课件
2、如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，求异面 直线A′B和AC所成的角。 600
D′ A′
D
A
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
C′ B′
C
B
提升训练 空间中直线与直线之间的位置关系PPT完美课件
3、已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为4 的正方形，高为2，点E、F分别是A1B1和BB1的中 点，求异面直线EF与AD1所成角的余弦值。15
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
精讲点拨
求异面直线夹角的一般步骤是： “作—证—算—答”
【例】如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中：
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
(3)直线A′B和CC′所成角是多少？
解：(1) 直线AB,BC,CD,DA, A′B′ ,B′C′,
• 推论2：经过＿两＿条＿相＿交直线，有且只有一个平面。 • 推论3：经过＿两＿条＿平＿行直线，有且只有一个平面。
• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们＿有＿且＿只＿有＿一＿条＿过＿该＿点＿的＿公＿共＿直＿线。
• 公理4：＿平＿行＿于＿同＿一＿直＿线＿的两条直线互相平行。
• 空间中直线与直线的位置关系：
位置关系 相交 平行 异面
公共点个数 只有一个
没有
没有
是否共面
共面 共面 不共面
学习目标
1、熟练空间两条直线的位置关系； 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂
直的概念，能求出一些较特殊的异面直线 所成的角； 3、掌握等角定理及其应用。
空间中直线与直线的位置关系优质课比赛课件_图文
对于（4）这类直线关系，给出下面的定义A：
C1 B1
C B
定义 不能同在一个平面内的两条直线叫做 异面直线。
因此，空间两条不重合的直线的位置关系有三种. 一、空间两直线的位置关系： ①有且只有一个公共点——两直线相交
两直线平行 ②没有公共点
两直线为异面直线
三、概念深化
2、如图，是一个正方体的展开 图，如果将它还原为正方体，那 么AB,CD,EF,GH这四条线段所在 直线是异面直线的有几对？
难点
异面直线所成角的计算.
新课引入
1、仔细观察画面，你能从中找到空间中的直线 有哪几种位置关系吗？
2、在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系
（1）AB和C1D1； 平行 （2）A1C1和AC； 平行
D1 A1
（3）A1C和D1B： 相交 D
（4）AB和B1C1； 既不相交又不平行
空间中直线与直线的位置关系优质课比赛课件 _图文.ppt
教学目标
知识与技能
1、了解空间中两条直线的位置关系. 2、理解异面直线的概念、画法. 3、理解并掌握公理4、等角定理. 4、异面直线所成角的定义、范围及应用.
过程与方法
培养学生的画图能力和空间想象能力；增强学生应用数学 的意识，进一步培养学生将空间问题转化为平面问题的能力和 逻辑思维能力.
ABCD中（四顶点不
共面的四边形），E、
F、G、H分别是边AB ，BC，CD， DA 的
E
H
中点. 求证：四边形EFGH
DG
是平行四边形.
BF
C
如何证明一个四 边形是平行四边
形呢？
证明：如图，连结BD ∵EH是三角形ABD的中位线. ∴EH∥BD，EH= BD.
C1 B1
C B
定义 不能同在一个平面内的两条直线叫做 异面直线。
因此，空间两条不重合的直线的位置关系有三种. 一、空间两直线的位置关系： ①有且只有一个公共点——两直线相交
两直线平行 ②没有公共点
两直线为异面直线
三、概念深化
2、如图，是一个正方体的展开 图，如果将它还原为正方体，那 么AB,CD,EF,GH这四条线段所在 直线是异面直线的有几对？
难点
异面直线所成角的计算.
新课引入
1、仔细观察画面，你能从中找到空间中的直线 有哪几种位置关系吗？
2、在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系
（1）AB和C1D1； 平行 （2）A1C1和AC； 平行
D1 A1
（3）A1C和D1B： 相交 D
（4）AB和B1C1； 既不相交又不平行
空间中直线与直线的位置关系优质课比赛课件 _图文.ppt
教学目标
知识与技能
1、了解空间中两条直线的位置关系. 2、理解异面直线的概念、画法. 3、理解并掌握公理4、等角定理. 4、异面直线所成角的定义、范围及应用.
过程与方法
培养学生的画图能力和空间想象能力；增强学生应用数学 的意识，进一步培养学生将空间问题转化为平面问题的能力和 逻辑思维能力.
ABCD中（四顶点不
共面的四边形），E、
F、G、H分别是边AB ，BC，CD， DA 的
E
H
中点. 求证：四边形EFGH
DG
是平行四边形.
BF
C
如何证明一个四 边形是平行四边
形呢？
证明：如图，连结BD ∵EH是三角形ABD的中位线. ∴EH∥BD，EH= BD.
空间中直线与直线之间的位置关系PPT完美课件
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
6．选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是
（A）异面D （B）平行
（C）相交 （D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足a ,b ,∩=l, 则l与a,b的位置关系一定是（ ）
B
(A)l至多与a，b中的一条相交; (B)l至少与a，b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条平行.
证明： 连结BD
A
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = BD 1
同理，FG ∥BD且FG =
2 BD
1
2
∴EH ∥FG且EH =FG
E B
H
D G
F
C
∴EFGH是一个平行四边形
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH
A' D
A
B' C
B
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若
a∥b
a∥c
c∥b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也 有类似的规律?
练习反馈：
2．选择题
（1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且a不平行于b；② a
平面，b平面且a∩b=Φ ③ a 平面，b 平面 ④ 不存在 平面，能使a 且b 成立
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
6．选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是
（A）异面D （B）平行
（C）相交 （D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足a ,b ,∩=l, 则l与a,b的位置关系一定是（ ）
B
(A)l至多与a，b中的一条相交; (B)l至少与a，b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条平行.
证明： 连结BD
A
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = BD 1
同理，FG ∥BD且FG =
2 BD
1
2
∴EH ∥FG且EH =FG
E B
H
D G
F
C
∴EFGH是一个平行四边形
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH
A' D
A
B' C
B
空间中直线与直线之间的位置关系PPT 完美课 件
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若
a∥b
a∥c
c∥b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也 有类似的规律?
练习反馈：
2．选择题
（1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且a不平行于b；② a
平面，b平面且a∩b=Φ ③ a 平面，b 平面 ④ 不存在 平面，能使a 且b 成立
空间中直线与直线的位置关系学习课件PPT
2．1.2
空间中直线与直线的位置关系
• 1．会判断空间两直线的位置关系． • 2．理解两异面直线的定义，会求两异面直 线所成角． • 3．能用公理4解决一些简单的相关问题．
• 鲁迅先生说过：世间本无路，走的人多了 便成了路．一开始只有一条路，车多了， 速度快了，就修两条平行的路；为了解决 交叉路口的速度与安全问题，人们又修了 立交桥．如果将路想象成直线，那么这里 面有什么数学思想呢？本节，我们一起研 究一下——空间直线与直线之间的位置关系.
• 1．异面直线概念的理解 • (1) 异面直线具有既不相交也不平行的 特点．
• (2)“不同在任何一个平面内的两条直线” 与“分别在某两个平面内的两条直线”的 含义是截然不同的，前者是说不可能找到 一个同时包含这两条直线的平面，而后者 “分别在某两个平面内的两条直线”的图 形只是画在某两个平面内的直线，并不能 确定这两条直线异面．它们可以是平行直 线，如图甲所示，也可以是相交直线，如 图乙所示．
• 1．异面直线 • 我们把不同在 任何一个 平面内的两条直线 叫做异面直线． • 2．空间两条直线的位置关系
位置关 共面情 公共面直 线
共面
1
共面
0
不共面
0
• 3.异面直线的画法 • 为了表示异面直线 a 、 b 不共面的特点，作 图时，通常 用一个或两个平面衬托． • 4．公理4：平行公理 • 平行于同一条直线的两条直线 互相平行 ， 这个性质也叫做空间平行线的 传递性．
• 解：如图，取AB的中点M，连接EM，FM，
1 则 MF∥ AC， MF＝ AC＝ 1， ME∥ BD， 2 1 ME＝ BD＝ 1.又∵ AC 与 BD 所成的角为 60° . 2 ∴∠EMF＝ 60° 或∠ EMF＝120° . 当∠ EMF＝ 60° 时， EF＝ 1. 当∠ EMF＝ 120° 时，EF＝ 3.∴ EF 的长是 1 或 3.
空间中直线与直线的位置关系
• 1．会判断空间两直线的位置关系． • 2．理解两异面直线的定义，会求两异面直 线所成角． • 3．能用公理4解决一些简单的相关问题．
• 鲁迅先生说过：世间本无路，走的人多了 便成了路．一开始只有一条路，车多了， 速度快了，就修两条平行的路；为了解决 交叉路口的速度与安全问题，人们又修了 立交桥．如果将路想象成直线，那么这里 面有什么数学思想呢？本节，我们一起研 究一下——空间直线与直线之间的位置关系.
• 1．异面直线概念的理解 • (1) 异面直线具有既不相交也不平行的 特点．
• (2)“不同在任何一个平面内的两条直线” 与“分别在某两个平面内的两条直线”的 含义是截然不同的，前者是说不可能找到 一个同时包含这两条直线的平面，而后者 “分别在某两个平面内的两条直线”的图 形只是画在某两个平面内的直线，并不能 确定这两条直线异面．它们可以是平行直 线，如图甲所示，也可以是相交直线，如 图乙所示．
• 1．异面直线 • 我们把不同在 任何一个 平面内的两条直线 叫做异面直线． • 2．空间两条直线的位置关系
位置关 共面情 公共面直 线
共面
1
共面
0
不共面
0
• 3.异面直线的画法 • 为了表示异面直线 a 、 b 不共面的特点，作 图时，通常 用一个或两个平面衬托． • 4．公理4：平行公理 • 平行于同一条直线的两条直线 互相平行 ， 这个性质也叫做空间平行线的 传递性．
• 解：如图，取AB的中点M，连接EM，FM，
1 则 MF∥ AC， MF＝ AC＝ 1， ME∥ BD， 2 1 ME＝ BD＝ 1.又∵ AC 与 BD 所成的角为 60° . 2 ∴∠EMF＝ 60° 或∠ EMF＝120° . 当∠ EMF＝ 60° 时， EF＝ 1. 当∠ EMF＝ 120° 时，EF＝ 3.∴ EF 的长是 1 或 3.
空间中直线与直线之间的位置关系PPT
不平行性
相交直线不平行，即两条 相交的直线不可能位于同 一平面内且方向相同。
传递性
如果直线a与直线b相交， 且直线b与直线c相交，那 么直线a与直线c也相交。
交点计算
方法一
利用向量的方法，设两条直线的方向向量为$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，则它们的交点坐标可以通过解方程组得到。
空间中直线与直线之间的位 置关系
目录
• 平行直线 • 相交直线 • 重合直
在空间中，如果两条直线在同一 平面内，且不相交，则它们被称 为平行直线。
平行性判定
如果两条直线的方向向量共线， 则这两条直线平行。
性质
01
02
03
唯一性
过直线外一点，有且仅有 一条直线与已知直线平行。
如果两条直线的起点 相同且方向向量相同， 则它们是重合直线。
04
异面直线
定义
异面直线定义
两条直线分别位于不同的平面上，且两平面没有 公共点。
异面直线性质
异面直线既不平行也不相交。
异面直线判定条件
两条直线在不同的平面上，且两平面没有公共点。
性质
异面直线性质1
异面直线不会相交于一点。
异面直线性质2
感谢您的观看
THANKS
传递性
如果直线a平行于直线b， 直线b平行于直线c，那么 直线a也平行于直线c。
性质定理
平行于同一条直线的两条 直线互相平行。
判定条件
1 2
斜率相等
如果两条直线的斜率相等，则它们平行。
方向向量共线
如果两条直线的方向向量共线，则它们平行。
3
8.4.2.1空间中直线与直线之间的位置关系数学人教A版必修第二册课件
如何定义异面直线夹角？
新 知
三.异面直线所成的角
异面直线所成角：
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O
作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角
(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
思想方法 :
平移转化成相交直线所成的
角,即化空间图形问题为平面
图形问题.
b`
a`
a
也不在同一
个平面内
观 察
旗杆所在的直线与长安街所在直线是什么位置关系？
既不平行
又不相交
也不在同一
个平面内
观 察
立交桥中两条路所在的直线是什么位置关系？
既不平行
又不相交
也不在同一
个平面内
观 察
在下面长方体中，棱AB与CC’的位置关系是怎样的呢？
D
A
C
B
D
A
既不平行
又不相交
C
B
也不在同一
个平面内
普通高中课程标准实验教科书·人教A版202X·数学必修第二册
8.4.2空间中直线与直线
之间的位置关系
温 故
同一平面内的直线有哪些位置关系？
a
a
相交
o
b
b
平行
如何判断两直线相交？
两直线有公共点。
如何判断两直线平行？
两直线无公共点。
观 察
黑板一侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？
既不平行
又不相交
（提示：借助公理4和等角定理说明.）
新 知
异面直线所成角：
(2)异面直线所成的角的范围（0°,90°]
(3)如果两条异面直线 a , b 所成的角为90°，我们
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH
∥BD且EH
=
1 2
同理，FG ∥BD且FG
BD
1
=2
BD
∴EH ∥FG且EH =FG
∴EFGH是一个平行四边形
A
H E
D G
B FC
评析： 把所要解的空间几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
小结
作业
4. 如图,长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 3 , AD =2 3 , AE = 2
返回
（二）：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
观察 :如图所示,底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
∠1 =100o，∠1与∠2 , ∠1与∠3两边分别对应平行,
这两组角的大小关系如何? 答:从图中可看出, ∠2=∠1,
2.如图是一个正方体的展开图,如果 将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线
是异面直线的有 3 对? EF与HG、 AB与HG、 AB与CD H
H E
G F
D
C
A
B
CA
G DB
E F
4.异面直线所成的角
(1)复习回顾
O
平面内两条直线交成4个角,其中不大于900
bb ′
a′
O
（4）理论支持 （一）：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
abcde
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． ———平行线的传递性
的角(或夹角).
异面直线所成的角的范围 0o＜ ≤90 o
b
a″
b′
a′
O
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 ,
记为a ⊥ b
例 如图，正方体ABCD-EFGH。
（1）BE与CG所成的角？
（2）那些棱所在的直线与直线AE垂直？
（1）∵BF∥CG，
∴∠EBF为异面直线 BE与CG所成的角，
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度? H
解答：
(1)∵GF∥BC
E
∴∠EGF即为所求.
2 2 3D
A
23
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o
(2) ∵BF∥AE
G
F C
B
∴∠FBG即为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o
6.知识小结
相交直线 相交直线所成的角
2. 判断：
①两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线
互相平行.
×
②两条直线和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行.
× ③两条直线和第三条直线平行，则这两条直线互相平行.
√
小结
作业
3.已知空间四边形ABCD ，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点.求证EFGH是一个平 行四边形。
空间两直线的位置关系平行直Fra bibliotek 异面直线的定义
异面直线
异面直线的画法 异面直线所成的角
7.思想方法小结
Ⅰ、空间问题向平面问题的转化
平
等
行
角
公
定
理
理
Ⅱ、“正难则反”——逆向思 维
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
∠3+∠1=180 O
D1
∠2
A1 ∠3
D
∠1
A
C1 B1
C B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
平
定义
（5）解决问题
异面直线所成角的定义:
如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线
a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成
作业 小结
课堂练习 新课讲解 课题引入
课题引入：平面内两条直线的位置关系
1：同一平面内的两条直线有几种位置关系?
a
a
o
b
b
相交直线 （有一个公共点）
平行直线 （无公共点）
2： 平面内不平行的两直线必 _______
此结论在空间中否仍然成立呢？
D
A
B
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
异面直线
返回
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
练习1：在教室里找出几对异面直线的例子。 2.异面直线的画法
如图： 说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一
个或两个平面来衬托.
b
a
a
a A
(1)
b
b
(2)
(3)
3.空间两直线的位置关系
按是否共面分
同在一个平面内
相交直线 平行直线
按公共点个数分
不同在任何一个平面内: 异面直线
无 公 共 点:
平行直线 异面直线
有一个公共点： 相交直线
两直线异面的判别 : 两条直线 既不相交、又不平行.
合作探究
1.如图，在正方体ABCD-EFGH中，与
AE所在直线异面的棱共有 4 条； 与BE所在的直线异面的棱共 6 条。
∵ BEF中∠EBF =45° ， ∴BE与CG所成的角是45° 。 （2）直线AB,BC,DC,AD,EF,FG,
H E
HG,EH分别与直线AE垂直。
评析：求异面直线所成的角的步骤是: D
一找、二作、三求
A
G F
C B
5.课堂练习
1.已知a，b，c是三条直线，且a//b，a与c的夹角为θ，
那么b与c夹角为 __θ_________
17
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
的角称为它们的夹角，夹角刻画了一条直线
相对于另一条直线的倾斜的程度。
(2)问题提出
a
在空间,如图所示,直线a相对于直 线b的倾斜程度怎样来刻画呢?
b
返回
(3)问题猜想
思想方法 : 平移、转化成相交直线所成的角, 即化空间图形问题为平面图形问题
思考: 这个角的大小与O点的位置有关吗 ?
即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?