微积分在中学数学中的应用

微积分在中学数学中的应用


目录
摘 要 II
关键词 II
Abstract II
Key words II
0.引言 1
1.微积分在中学数学的应用 1
1.1预备知识 1
1.2 微分法在函数单调性的应用 2
1.3微分法在函数最值、极值问题的应用 3
1.4 微分法在函数图像中的应用 5
1.5 微分法在曲线方程求某一点处的切线方程的应用 7
1.6 定积分在求曲线图形面积中的应用 7
1.7 微分法在证明不等式中的应用 8
结束语 9
参考文献： 10

微积分在中学数学中的应用
吴春明
(数学科学学院 数学与应用数学专业 2013级( 1 )班)
摘 要: 微积分是数学中的一项重要的内容，其数学思想、方法和基本理论在解决数学问题和实际的问题中有着广泛的应用，在中学数学解题中渗透微积分的思想和方法。本文研究微积分在中学数学中对函数最值、极值、单调性，在曲线方程求的切线方程以及平面曲线图形围成的面积的计算和证明不等式等这类问题上的解题应用。
关键词:微分法；定积分；中学数学
The application of the calculus in middle school mathematics GAO
Wu Chun ming
(Class ( 1 ) Grade 2013，Mathematics and applied mathematics，
School of Mathematical Science)
Abstract: Calculus is an important content in mathematics, the mathematical thought and method and basic theory in solving math problems and has been widely used in the actual problem, infiltration in middle school mathematics problem-solving ideas and methods of calculus. In this paper, we study the function most value in the middle school mathematics calculus, extreme value, monotonicity, the curve equation of the tangent equation and plane curve graphics into the area of the calculation and prove inequality, etc. The problem solving and application of this kind of problem.
Key words: Differentiation; The definite integral; Middle school mathematics

0.引言
在人类发展的历史上，数学是很重要的工具，通过利用数学的知识可以了解的其他科学的知识。利用数学的知识人们可以很好的解决在实际生活中遇到的一些问题。微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。微积分的产生具有深远的历史意义.一方面，它极大地促进了数学科学的发展，丰富了数学科学的思想宝库，随着微积分的理论基础逐步完善

，以微积分为基础的数学分析科学得到空前发展，建立了多种数学分支，如微分方程、积分方程、复变函数、拓扑学、流形等.另一方面，微积分在力学、天文学以及物理和其它科学技术中的应用，极大地促进了以上科学的发展微积分是数学的一个基础学科。微积分中蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用。学习微积分可以进一步提高学生的运算能力和逻辑思维能力空、间想象能力，可以更好地培养学生分析问题和解决问题的实际能力，有利于学生学好基础知识和掌握基本内容，对数学知识的综合运用有一定的帮助。将微积分理论应用于初等数学中，不仅使其内在联系得以体现，而且可以指导初等数学的教学工作。微积分在中学数学中的地位和作用具体体现在以下几个方面：
（1）学习微积分的知识可以提高学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力.
(2）学习微积分能更好地培养学生分析问题和解决问题的能力,有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用，有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用.
(3)将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现，而且可以进而指导初等数学的教学工作.利用微积分来解决中学数学中的一些问题能取得意想不到的效果.
1.微积分在中学数学的应用
1.1预备知识
导数的概念：设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 。
函数的极值：函数 ，若 ;且 的左侧 ,右侧 ,则 是函数 的极小值；若 的左侧 , 右侧 ,则 是函数 的极大值。
设函数 在某个区间 上可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则 为减函数。
导数的几何意义：如果函数 的导数存在，则函数 在 处的导数即为该函数在点 处切线的斜率。
定积分的基本性质：
性质1 (k为常数)
性质2
性质3 若积分区间 被点c分割成两个小区间 、 ，则
性质4 (k为常数)
定积分的几何意义：如果在区间,上函数 连续且恒有 ，那么定积分表示直线 , , 和曲线 所围成的曲边图形的面积.
1.2 微分法在函数单调性的应用
函数的单调性是函数的最基本特性，是研究函数熟知并能运用的最基本的知识．用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，和一定的限制性，学生较难掌握好，而用导数知识来解决函数的单调性简便而

且快捷。
如果用函数单调性的定义来求函数的单调性区间有时候不能很容易的看出 与 的大小，有时还不能求出，有一定的局限性，虽然用定义的方法证明比较直观学生也容易理解。但对于一些复杂的函数就显得比较难以解决函数单调性的问题了。如果用导数这一工具就显得简单多了，还比较直观。
例1.判断 在 的单调性
解. 令 解得 ,
当 或 时，
当 时，
∴ 在区间 和 上单调递增，在 上单调递减
在中学数学要证明函数的单调性也可以用定义的判断，这种方法用到恒等变形的技巧学生很难把握好，而用导数的方法不仅能把问题简单化，学生也能很好的理解和把握。
导数求单调性的步骤：
（1） 对 求导
（2） 令 ，解出 的解
（3） 判断 的区间和 的区间
（4） 在 的区间内原函数为增函数，在 的区间原函数为减函数
注意：求出 在定义域内的所有实数根，把这些实数根按横坐标按从小到大的顺序排列起来然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内 的符号。注意在写单调区间时，不是连续的区间不能用并集符号“u”表示。
1.3微分法在函数最值、极值问题的应用
在求函数的最值、和极值的问题时，如果用一般的方法计算，运算量会比较大过程也比较繁琐，而用导数的方法运算量会减少很多，解题过程也清晰，直观。
一.函数极值
求函数 的极值的步骤是：
令 ,求出 的解 ,判断解 的左右两侧的符号。
（1）如果在 的左边 ，右边 ，则 是函数 的极大值点， 是极大值；
（2）如果在 的左边 ，右侧 ，则 是函数 的极小值点， 是极小值。
二．求函数最值
在区间 上可导 ，求 在 最值的步骤：
（1）求出 在 的极值
（2）求出 ， 的值
（3）将 的每个极值与区间的端点值 ， 比较，其中最大的值是最大值，最小的值是最小值。
例2.已知函数 ( )在 处取得极值，且 求 的函数解析式，并说明 是函数极大值点还是极小值点。
解（1）∵
是函数 的极值点
∴ ， 即得到 ，
又∵ 得到 解方程组得a=1 ,b=0 ,c=-1即函数解析式为：
(2）由（1）可知
当 或 时， ,当 时，
∴ 时函数取得极大值， 时函数取得极小值
求函数的极值与函数的单调性的过程是一致的，在解题过程中为了保持清晰的思路最好以表格的形式列出来，不仅表达直观，还能在解题中不出现混淆的思路。在求最值时注意：极值不一定是最值，拿每个极值和区间端点值进行比较最小的就是最小值，最大的就是最大值。
1.4 微分法在函数图像中的应用
函数图像在解决函数问题中起到了重要的作用.函数图像的直观性有着别的工具所不具的作用，在解决函数这一类