材料力学第2章

第二章
轴向拉伸和压缩
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§2.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用于杆上的外力合力的作用线与直杆的轴线 重合时，杆的主要变形是纵向伸长或缩短，这类 构件称为拉杆或压杆。 如图 所示三 角架中的AC 杆为拉杆， BC杆为压杆 。
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右图所示的桁架 中的杆也是主要 承受拉伸或压缩 变形的。
轴向拉力和轴向压力的 概念可由右图给出，上 图为轴向拉力；下图为 轴向压力。
若设BC段内立柱的单位长度自重为q2、横截面面 积为A2，则:
q2 γ A2 19kN/m 0.37m 0.37m 2.6kN/m
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例题 2.2
(b)图：这是在集中荷载单 独作用下，柱的轴力图。图 中的负号表示轴力为压力。
(c)图：这是在自重荷载单 独作用下，柱的轴力图。即 在B处的轴力为:
①画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基 线； ②将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点； ③用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力； 画轴力图时，截面轴力一般先假设为正的，这样 ，计算结果是正的，则就表示为拉力，计算结果 是负的，就表示为压力。 ④按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基 线两侧，并在图上表示出数值和正负号。
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例题 2.1
图a所示等直杆，求各段内截面上的轴力并作出 轴力图的轴力图。
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例题 2.1
解: (1) 求约束反力
由平衡方程求出约束力 FR=10 kN。 (2)求各杆段截面轴力 杆件中AB段、BC段、CD段、DE段的轴力是不 同的。分别用四个横截面：1-1、2-2、3-3、4-4 ，截杆并取四个部分为研究对象。
25kN
(e)
20kNFxFra bibliotek 0 : FN 3 F3 F4 0
FN 3 F3 F4 25 20 5kN
同理，FN4=20 kN (拉力)
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例题 2.1
(3)作轴力图 以横坐标表示横截面位臵，纵坐标表示轴力的 大小，由以上结果作轴力图如图所示。
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通过本例可看出，轴力图的画法步骤如下：
一阶梯形直杆受力如图(a)所示，已知横 截面面积为A1=400mm2， A2=300mm2 ， A3=200mm2 ，试求指定横截面上的 正应力。
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例题 2.3
解: (1)计算轴力，画轴力图
利用截面法可求得阶梯杆各段的轴力为:
FN1 50kN,FN 2 30kN, FN 3 10kN, FN 4 20kN
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2.3.2 拉压杆横截面上的应力 受轴向拉伸的杆件，变形 后横截面仍保持为平面， 两平面相对地平移了一段 距离，这个假设称为平面 假设。 可由静力平衡条件确定的大小，由于 dFN dA, 所以积分得: FN d A A
A
FN 即 A
(2.2)
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例题 2.3
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截面法的基本步骤如下：
1）截开： 2）代替： 3）平衡：
F
x
0 : FN F 0, FN F
轴力的正负号规定： a.拉杆的变形是沿纵向伸长， 其轴力规定为正，称为拉力； b.压杆的变形是沿纵向缩短，其轴力规定为负，称 为压力。
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为了表示轴力随横截面位臵而变化的情况，可选 取一定的比例，用平行于杆轴线的坐标表示横截面 的位臵，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力 的数值，从而绘出表示轴力与截面位臵关系的图线 ，称为轴力图。习惯上将正值的轴力画在坐标轴的 上侧，负值的轴力画在下侧。轴力图上可以确定最 大轴力的数值及其所在横截面的位臵。
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§2.2 拉压杆的内力与计算 2.2.1 内力的概念
a.苹果在枝上保持平衡，是由于苹果的把或枝 上“产生了内力”。 b.剪刀剪断苹果把，苹果当然会下落。
c.手指捏住苹果把，这时手指会有受力的感觉。 d.另一只手托住苹果，则手指感受到的力消失。
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由上可知苹果把中的内力和外力（重力）是有关 系的，它随外力作用而产生，是由于外力的作用而 引起的“附加内力”，有别于物体中微观粒子间的 作用力，这就是材料力学中的内力。 2.2.2 轴力、截面法、轴力图 当直杆轴向拉伸或压缩时，所产生的内力是沿杆 件轴线的，故称为轴力。由于内力是受力物体内相邻 部分的相互作用力，可用截面法来分析内力 。
轴力图如图（b）所示:
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例题 2.3
(2)计算各段的正应力
1-1截面，即AB段:
AB
FN 1 50 103 N 125MPa 6 2 A1 400 10 m (拉应力)
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例题 2.1
在AB段用1-1截面将杆截开，以左端杆为分离体 (c)图，由SFx=0 得FN1=10 kN(拉力)
10kN
在BC段内，用横截面2-2截杆取左段为研究对象如 (d)图，由SFx=0 得FN2=50 kN(拉力)
40kN
10kN
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例题 2.1
在CD段内，用横截面3-3截杆取右段为研究对象( 左段与右段相比外力较多)如(e)图
2.3.1 应力的概念 为了度量内力在截面上分布的密集程度，引入应 力的概念，它表示内力在截面上一点处的集度（密 集程度的简称）。
ΔF pm ΔA
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令微小面积DA无限缩小而趋于零，则其极限值：
ΔF dF p lim ΔA0 ΔA dA (2.1)
即为M点处的内力集度，称为截 面m-m上M点处的总应力。 总应力p是一个矢量，可分解为垂直于截面的应 力（正应力 ） 。和平行于截面的应力称为（切 应力 ）。
q1l1 1.1kN/m 3m 3.3kN
在C处的轴力为:
q1l1 q2l2 3.3kN+2.6kN/m 4m=13.7kN
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(d)图：这是这是把(b)和(c)两图叠加而成的轴力 图。由此可见，砖柱的FNmax=163.7kN，发生在C处的 横截面上并为压力。
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§2.3 拉压杆截面上的应力
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例题 2.2
试绘制图a所示正方 形砖柱的轴力图。已知F = 50 kN，已知立柱的容 3 19kN/m 重 。
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例题 2.2
解: 轴力由集中荷载和自重共同产生，轴力图也应 由这两部分叠加。
若设AB段内立柱的单位长度自重为q1、横截面面 积为A1，则:
3 q1 γ A1 19kN/m 0.24m 0.24m 1.1kN/m