非线性有限元及弹塑性力学讲解讲解
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V：δσij ,j =0 Sσ ：δσijnj=0 需证明的是：∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 4
[证明]：利用格林公式
∫V( [A][u])Tδ[σ]dV= ∫S([L]δ[σ])T [u ] dS-∫V([A]δ[σ])T [u ] dV 或张量形式格林公式
1.广义变分原理及其应用
1.1 虚力原理与余能原理 1.2 泛函的变换格式 1.3 含可选参数的广义变分原理 1.4 基于Reissner原理的混合元 1.5 放松约束的变分原理及杂交元
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 1
1.1 虚力原理与余能原理
1.1.1 虚位移原理和势能原理（复习）
简单来说，势能原理等价平衡，表达为
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
余能原理等价于协调，表达为 VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS = min 利用格林公式，立即可证明 Ve+ VC=0 1.2.1 一些预备知识 1) 变量的分类
(a )
设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应 力满足[A]δ[σ]=[0]。又因为[λ]完全任意，因此 可设
3 1 2 V : x y z x y z
在此条件下，式(a)由于虚应力的任意、独立性 可得 充分性证毕。
V: [D] -1[σ]-[A]T[λ ]=[0] Su： [λ]-[u ]0=[0]
1/2∫V(ui ,j+uj ,i) δσijdV=
∫SδσijnjuidS-∫V δσij ,juidV
考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得
∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
必要性证毕。 2000.3
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2) 充分性证明 已知条件 ：[ε]= [D]-1[σ] ∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS V：[A]δ[σ]=[0] Sσ：[L]δ[σ]=[0] 或张量表达形式 εij=D-1ijklσkl ∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS V：δσij ,j =0 Sσ ：δσijnj=0
需证明的是：应变εij是协调的。 [证明] ：因为V：[A]δ[σ]=[0]，所以 对任意 [λ] ∫V ([A]δ[σ])T [λ]dV=[0] 利用格林公式和已知条件可得 2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
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∫V( [D] -1[σ]-[A]T[λ ])Tδ[σ]dV +∫Su([L]δ[σ])T ( [λ]-[u ]0)dS=0
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV -∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS
中ui 是泛函变量，其他是增广变量。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 10
2) 泛函所满足的条件 泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为 泛函的强制条件。
在余能泛函中σij 所需满足的平衡条件（内部 和边界）即为强制条件。 VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS 在势能泛函中ui 所满足的协调条件即为强制 条件。
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV -∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 11
由返函的变分等于零所导出的条件，称为泛 函的自然条件。
在余能泛函中σij 所对应的应变应满足的协调 条件为自然条件。 在势能泛函中ui 所满足的平衡条件即为自然 条件。 在泛函中，泛函变量与增广变量间，或增广 变量之间所应满足的条件称为增广条件。 在势能泛函中几何方程和物理方程即为增广 条件。 3)2000.3 泛函间关系的分类 12 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 7
1.1.3 余能原理
和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力 原理 ∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS 可得 δ(1/2∫V[ε]T [σ]dV-∫Su([L] [σ])T [u ]0dS)=0 记VC如下所示，并称为变形体的总余能 VC=1/2∫V[ε]T [σ]dV-∫Su([L] [σ])T [u ]0dS 则由δVC=0可得 余能原理 在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态 为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取 驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。 2000.3 8 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
虚余变形功 2000.3
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虚反力功
表面给定位移 3
虚功方程——张量表达 ∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS 2) 必要性证明 已知条件 ：[ε]=[A]T[u]=[D]-1[σ] V：δ[σ]=[0]
Sσ：[L]δ[σ]=[0]
或张量表达形式已知条件： εij=1/2(ui ,j+uj ,i)=D-1ijklσkl
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1.2 泛函的变换格式（龙驭球提出）
哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 9
泛函中所显含的自变函数称为泛函的泛函变 量。 除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函 的增广变量。 在余能泛函 VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS 中σij 是泛函变量，其他是增广变量。 在势能泛函
2
2） 势能原理的数学表达
总势能
应变能 外力势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
1.1.2 虚力原理
1）虚力原理的表述 给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵） ∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
1） 虚位移原理的虚功方程——矩阵表达
体积力虚功
表面力虚功
δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+ ∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS
虚变形功
=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV δWe=∫VFbiδuidV+ ∫SσFsiδuidS =δWi=∫VσijδεijdV
虚功源自文库程——张量表达
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[证明]：利用格林公式
∫V( [A][u])Tδ[σ]dV= ∫S([L]δ[σ])T [u ] dS-∫V([A]δ[σ])T [u ] dV 或张量形式格林公式
1.广义变分原理及其应用
1.1 虚力原理与余能原理 1.2 泛函的变换格式 1.3 含可选参数的广义变分原理 1.4 基于Reissner原理的混合元 1.5 放松约束的变分原理及杂交元
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 1
1.1 虚力原理与余能原理
1.1.1 虚位移原理和势能原理（复习）
简单来说，势能原理等价平衡，表达为
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
余能原理等价于协调，表达为 VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS = min 利用格林公式，立即可证明 Ve+ VC=0 1.2.1 一些预备知识 1) 变量的分类
(a )
设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应 力满足[A]δ[σ]=[0]。又因为[λ]完全任意，因此 可设
3 1 2 V : x y z x y z
在此条件下，式(a)由于虚应力的任意、独立性 可得 充分性证毕。
V: [D] -1[σ]-[A]T[λ ]=[0] Su： [λ]-[u ]0=[0]
1/2∫V(ui ,j+uj ,i) δσijdV=
∫SδσijnjuidS-∫V δσij ,juidV
考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得
∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS
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2) 充分性证明 已知条件 ：[ε]= [D]-1[σ] ∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS V：[A]δ[σ]=[0] Sσ：[L]δ[σ]=[0] 或张量表达形式 εij=D-1ijklσkl ∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS V：δσij ,j =0 Sσ ：δσijnj=0
需证明的是：应变εij是协调的。 [证明] ：因为V：[A]δ[σ]=[0]，所以 对任意 [λ] ∫V ([A]δ[σ])T [λ]dV=[0] 利用格林公式和已知条件可得 2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
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∫V( [D] -1[σ]-[A]T[λ ])Tδ[σ]dV +∫Su([L]δ[σ])T ( [λ]-[u ]0)dS=0
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV -∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS
中ui 是泛函变量，其他是增广变量。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 10
2) 泛函所满足的条件 泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为 泛函的强制条件。
在余能泛函中σij 所需满足的平衡条件（内部 和边界）即为强制条件。 VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS 在势能泛函中ui 所满足的协调条件即为强制 条件。
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV -∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 11
由返函的变分等于零所导出的条件，称为泛 函的自然条件。
在余能泛函中σij 所对应的应变应满足的协调 条件为自然条件。 在势能泛函中ui 所满足的平衡条件即为自然 条件。 在泛函中，泛函变量与增广变量间，或增广 变量之间所应满足的条件称为增广条件。 在势能泛函中几何方程和物理方程即为增广 条件。 3)2000.3 泛函间关系的分类 12 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
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1.1.3 余能原理
和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力 原理 ∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS 可得 δ(1/2∫V[ε]T [σ]dV-∫Su([L] [σ])T [u ]0dS)=0 记VC如下所示，并称为变形体的总余能 VC=1/2∫V[ε]T [σ]dV-∫Su([L] [σ])T [u ]0dS 则由δVC=0可得 余能原理 在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态 为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取 驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。 2000.3 8 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
虚余变形功 2000.3
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虚反力功
表面给定位移 3
虚功方程——张量表达 ∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS 2) 必要性证明 已知条件 ：[ε]=[A]T[u]=[D]-1[σ] V：δ[σ]=[0]
Sσ：[L]δ[σ]=[0]
或张量表达形式已知条件： εij=1/2(ui ,j+uj ,i)=D-1ijklσkl
2000.3
1.2 泛函的变换格式（龙驭球提出）
哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 9
泛函中所显含的自变函数称为泛函的泛函变 量。 除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函 的增广变量。 在余能泛函 VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS 中σij 是泛函变量，其他是增广变量。 在势能泛函
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2） 势能原理的数学表达
总势能
应变能 外力势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
1.1.2 虚力原理
1）虚力原理的表述 给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵） ∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
1） 虚位移原理的虚功方程——矩阵表达
体积力虚功
表面力虚功
δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+ ∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS
虚变形功
=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV δWe=∫VFbiδuidV+ ∫SσFsiδuidS =δWi=∫VσijδεijdV
虚功源自文库程——张量表达
2000.3
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