大学高数第十章曲线积分与曲面积分课后参考答案及知识总结

解：设 围的区域为D
，
原式=
注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有 .
★★4.利用曲线积分，求星形线 所围成图形的面积。
解：由公式
★★5.求双纽线 所围区域的面积。
解：双纽线的极坐标方程为：
由图形的对称性知：
★★6.计算 ，其中 为圆周 的顺时针方向。
解： 参数方程为： 变化从 到
原式
原式
法二： 线积分与路径无关。
原式 =
★★15.利用曲线积分，求下列微分表达式的原函数：
(1) ;
(2) ;
(3) .
解：(1) ,
是某函数的全微分
.
(2)
是某函数的全微分
.
(3)
是某函数的全微分
★★16.设有一变力在坐标轴上的投影为 ， ，改变力确了一个力场.
证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.
(1)螺旋形弹簧关于 轴的转动惯量 ;
(2)螺旋形弹簧的重心.
解:
(1)
.
(2)
螺旋形弹簧关于 平面的静力矩分别为：
同法得：
.
,
.
提高题
★★★1.计算 ，其中 为正向圆周 ，直线 及 轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.
解： 与 在第一象限的交点为 .
如图：
;
; .
则原式
★★★★2.计算 ，其中 为圆柱面 与锥面 的交线.
解：摆线的参数方程为：
原式
★★5.计算曲线积分 ，其中 为螺旋线 上相应于 从 到 的一段弧。
解：
原式
★★6.计算曲线积分 ，其中 为折线 ,这里 , , , 依次为点 ， ， ， .
解：如图，原式=
：
： ，
： ，
原式= .
★★7.计算 ，其中 为对数螺线 在圆 的内部。
解：依题意： 得
.
★★★8.计算曲线积分 ，其中 为球面 与平面 的交线。
注：因 围的区域内含被积函数不连续的点 ，故此题不能用格林公式。
★★7.计算 ，其中 是在圆周 上由
到 的一段弧。
解：设 , , 连接 则 围区域D
,
，
原式
★★8.计算 ，其中 是位于第一象限中的直线 与位于第二象限中的圆弧 构成的曲线，方向是由 到 再到 .
解：连接 则 围区域 ,
★★9.计算 ，其中 从 沿摆线 到 .
解：依题意 ，
从A点到B点半圆周的方程：
从 变到
则功
提高题
★★★1.计算 ，其中 为上半椭圆周 （按逆
时针方向）.
解： 的参数方程为： , 从 变到
原式
注：此题可用直角坐标系求解，较用参数方程繁.
§10.3 格林公式及其应用
内容概要
名称
主要内容
格林公式
设 及它们的一阶偏导数在闭域 上连续，则
其中 是闭域 的边界曲线，且取正向.
例题分析
★★1.计算 ，其中 是 为顶点的正方形的正向边界.
知识点：第一类曲面积分.
思路:如图 由四段直线段组成，故要分段积分.
解：如图
则
变化从 到
变化从 到
变化从 到
变化从 到
.
★2．计算曲线积分 ，其中 为曲线 上对应
于 从 到 的一段弧.
知识点：第一类曲面积分.
思路: 空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.
2) 注意公式中 前是 号，如本题改写成 ，此时不能误认为 ，而应是 .
★★★★2.计算 ，其中 为圆周 的逆时针方向.
知识点：格林公式.
思路: ，应用格林公式方便,.但因 围的区域内含被积函数不连续的点 ，故
要把不连续的点 挖掉.
解：在 包围的区域内作顺时针方向的小圆周
变化从 到
在 与 包围的区域 上，
证明：
上述线积分之值，即功 之值与路径无关。证闭。
★★★17.试求指数 ，使曲线积分 在 区域内与路径无关，并求此积分.
解：
令 ,有
时上述曲线积分与路径无关.
提高题
★★★★1.计算 ，其中L是沿 由 到
的曲线段.见图.
解：
如图添加园弧段
变化从 到 ，
则
注：连接直线 ， 由 变到 ，则
，为什么？
原因是 围的区域内含被积函数不连续的点 ，不能说明积分与路径无关.但
解：设 连接 则 围区域
★★★10.计算 ，其中 为包围有界闭区域 得简单曲线， 的面积为 ，n为 的外法线方向.
解：设 沿逆时针方向的任意点的单位切向量
( 分别是 与 轴、 轴正向夹角).
则
.
★★★11.计算 ，其中 为单位圆周 的正向.
解：在 包围的区域内作顺时针方向的小椭圆周
变化从 到
在 与 包围的区域 上， 及格林公式，有
解： 的参数方程： 从 变到 ,
注：利用
★13.设 轴与重力的方向一致，求质量为 的质点从位置 沿直线移到 时重力所作的功。
解：F={0,0,mg},g为重力加速度;记dr= , ,
则功
★★★14.质点 沿以 为直径的半圆周，从点 运动至点 的过程中，受到变力 的作用， 的大小等于点 与原点 之间的距离，其方向垂直于线段 ，且与 轴正向的夹角小于 ，求变力 对质点所作的功。
解：（1）直线 方程： ,
即 从 变到 ,
原式
(2)抛物线 : 从 变到
原式
(3) , 从 变到
从 变到
原式=
★★★11.设 为曲线 上相应于 从 变到 的一段曲线弧,把对坐标的曲线积分 化为对弧长的曲线积分。
解：
,
,
,
★★★12.计算沿空间曲线对坐标的曲线积分 ，其中 是 与 相交的圆，其方向沿曲线依次经过1，2，7，8挂限。
时针方向绕行）.
解：圆的极坐标方程为： ， 从 变到
原式=
.
★★★5.计算 ，设 ，式中
方向依参数增加的方向.
解：原式
.
★★★6.计算 ，其中 为 上对应
于 从 到 的一段弧.
解：原式
.
★★★7.计算 ，其中 是从点 到点 的直线 .
解： 直线的方向向量 为 ，
故其参数方程为： 从 变到
原式
.
★★★8.计算 ，其中 为圆柱面 与
的交线 ，从 轴正向看 为逆时针方向.
解： 的参数方程为： , 从 变到
原式
★★★9.在过点 和 的曲线族 中，求一条曲线 ，该
曲线从O到A的积分 的值最小。
解： ： 从 变到 ,
令 得 （负号舍去）
为所求曲线。
★★★10.计算 ，其中 分别为路线：
(1) 直线 ; (2)抛物线 : ;(3)三角形
2) 为平面 上的一个圆，圆心 ，半径为 .
课后习题全解
习题10-1
★1.设在 面内有一分布着质量的曲线弧L，在点 处它的线密度为 ，用对弧长的曲线积分分别表达：
1)该曲线弧对 轴、 轴的转动惯量 和 ；
2)该曲线弧的质心坐标 和 .
知识点：第一类曲线积分的概念及物理意义.
思路: 面内的一段曲线 ，其线密度为 ，则
2)这题并非闭路，不能直接用格林公式，为此增加辅助曲线构成可应用格林公式的闭曲线，随后再减去补上的这些曲线段上的线积分.补上的这些曲线段上的线积分本身应易于计算.今补上 （如图）.
解：1)
2)如图
其中 （见本题1）
由 变到 ，
.
注：应用格林公式 时，除 连续条件外，还要求：
1) 和 是正向关系，本题1)的方向是反向的，故先改成正向，随后再用格林公式.
★★★12.计算 ，其中 为曲线 的正向。
解：在 包围的区域内作顺时针方向的小圆周
变化从 到
在 与 包围的区域 上，
及格林公式，有
★13.计算 .
解： , 线积分与路径无关。
原式 .
★★14.证明曲线积分 在整个 面内与路径无关，并计算积分值。
解：法一：
被积式是函数 的全微分，从而题设积分与路径无关。且
1)线段 的质量为：
2)线段 关于 轴和 轴的静力矩为：
3)线段 对 轴和 轴的转动惯量： ，
解：由第一类曲线积分的概念及物理意义得
(1) ,
(2)
★2.计算 ，其中 。
解：法一：
原式=
法二：原式= .(利用性质2)
★3.计算 ，其中 为连接 ， 两点的直线。
解：直线方程为：
原式=
★★4．计算 ，其中L为内摆线 的弧。
第一十章曲线积分与曲面积分
§10.1 第一类曲线积分
内容概要
名称
主要内容
第一类曲线积分
1.平面曲线：
2.空间曲线：
常用的性质
1.若 ,则
2. 的弧长
计算
(平面曲线)
1. ， ，其中 具有一阶连续的导数，则
，
2. ， ，其中 具有一阶连续的导数，则
，
3. ， ，其中 具有一阶连续的导数，则
，
4． ， ，则
及格林公式，有
注：因 围的区域内含被积函数不连续的点 ，故此题不能直接用格林公式。
课后习题全解
习题10-3
★★1.利用格林公式计算积分
其中 为正向圆周曲线 .
解：
原式=
★★2.利用格林公式计算积分 ，其中 顶点为 和 的正方形区域的正向边界。
解：设 围的区域为D:
,
原式=
.
★★3.计算 ，其中 是沿逆时真方向的椭圆 。
内容概要
名称
主要内容
第一类曲面积分
计算
1.
2.
3.
常用的结论
曲面 的面积
例题分析
★★★1.计算 ，其中 是 ，及坐标平面 所围成的闭曲面.
知识点：第一类曲面积分.
思路: 块曲面组成的闭曲面,故应分块进行计算,本题共有
曲面五块,且是三个积分的组合,故应共计算15个积分..
解：如图 ,则
， 在 面上的投影为
解： 即
法一： 的参数方程为：
原式=
法二：原式=
★9. .求半径为 、中心角为 的均匀圆弧（线密度 的质.
解：取扇形的角平分线为 轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则
圆弧的方程为：
由图形的对称性和 知 ，而
故质心在（ ）.
★10.求螺旋线 ，对 轴的转动惯量，设曲线的密度为常数 .
解：
.
★11.设螺旋形弹簧一圈的方程为 ，其中 ，它的线密度 .求：
，故不包含原点的任何闭曲线积分为 .为使域内不出现原点，一般可将平面域沿负 轴剪开，（即联 的任意曲线均不准通过负 轴），在沿负 轴剪开的域中，积分与路径无关.
★★★2.设 在 有连续导函数，求 其中L是从点 到 的直线段.
解：
在沿负 轴剪开的域中，积分与路径无关.
取路径如图，
§10.4 第一类曲面积分
面积
曲线积分与路径无关的等价条件
1.域 内 处处成立.
2.沿域 内的任一闭路积分为零，即
3.在域 内存在函数 ，使
曲线积分的牛顿莱布尼茨公式
若域 内 ，则 内任意两点
例题分析
1.计算
★★★1) ;
★★★★2) .
其中 , , , 是折线， 是由 到 的直线段，如图.
知识点：格林公式.
思路:1) ，应用格林公式方便.
解： ，参数方程为
又
故 .(此题请核查)
§10.2 第二类曲线积分
内容概要
名称
主要内容
第二类曲线积分
1.平面曲线：
2.空间曲线：
常用的性质
1． 其中 表曲线的某一方向(正向), 表曲面的另一方向(负向)
2.若 ,则
计算
(平面曲线)
，起点 ，终点 ，其中 具有一阶连续的导数，则
计算
(空间曲线)
,起点 ，终点 ，其中 具有一阶连续的导数，则
解：原式
.
课后习题全解
习题10-2
★1.计算 ，其中 为 与 轴所围成的闭曲
线，依顺时针方向.
解：如图
其中 变化从 到 ，
变化从 到 ,
原式
★2.计算 ，其中 为圆周 上对应于 从
到 的一段弧.
解：原式
★★3.计算曲线积分 ，其中 为从 经 到点
的那一段.
解： 变化从 到
原式
.
★★4.计算曲线积分 ，其中 为圆周 （按逆
同理也可投影到 平面来计算.显然法二比法一稍简单些，它避免了曲面的分块.
法三： 是球面 一部分，而被积函数定义在 上，故总有
（应用 曲面 的面积）
最后
.
注：利用被积函数 定义在 上，故总有 ，代入简化积分运算。这是常用的一种简化运算的方法.
课后习题全解
习题11-4
★★★1.在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中，有因子 ，试说明这个因子的几何意义.
计算
(空间曲线)
, ，其中 具有一阶连续的导数，则
常用的结论
例题分析
★★1.计算 ，其中 为连接 ， ， 的闭折线。
知识点：第一类曲线积分.
思路: 由三段直线段组成，故要分段积分.
解：如图
则
， ，
， ，
注：利用被积函数定义在 上，故总有
，
.
注：1) ，
对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大.
用极坐标表示，则为：
同理：
， 是球面一部分，方程为 ，在化为二重积分运算时，可向不同的坐标面投影，故可有不同的计算途径：
法一： 向 面上的投影，则曲面 ： 是双值函数，为是曲面表达成单值函数，将曲面分成两块，
它们在 面上的投影为
，
，
法二： 向 面上的投影，则曲面 ： 是单值函数，
在 面上的投影为
用极坐标表示，则为：
2)对 段的积分可化为对 的定积分，也可化为对 的定积分，但 段， 段则只能化为对 （或对 ）的定积分.
★★2.计算 ，其中 为圆周 .
知识点：第一类曲线积分.
思路: 为圆周用极坐标表示较简单.
解： 的极坐标方程：
.
★3.计算曲线积分 ，其中 为曲线 ,
应于 从 到 的一段弧.
知识点：第一类曲线积分.
思路: 空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.
解：
原式= .
★★★1.计算曲线积分 ，其中 为球面 与平面
的交线。
知识点：第一类曲线积分.
思路: 的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式，但 满足 ，故总有 .
解： 即
原式=
注：1)利用被积函数 定义在 上，故总有 ，是常用的一种简化运算的方法.