大学高数第十章曲线积分与曲面积分课后参考答案及知识总结

2)这题并非闭路，不能直接用格林公式，为此增加辅助曲线构成可应用格林公式的闭曲线，随后再减去补上的这些曲线段上的线积分.补上的这些曲线段上的线积分本身应易于计算.今补上 （如图）.
解：1)
2)如图
其中 （见本题1）
由 变到 ，
.
注：应用格林公式 时，除 连续条件外，还要求：
1) 和 是正向关系，本题1)的方向是反向的，故先改成正向，随后再用格林公式.
同理也可投影到 平面来计算.显然法二比法一稍简单些，它避免了曲面的分块.
法三： 是球面 一部分，而被积函数定义在 上，故总有
（应用 曲面 的面积）
最后
.
注：利用被积函数 定义在 上，故总有 ，代入简化积分运算。这是常用的一种简化运算的方法.
课后习题全解
习题11-4
★★★1.在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中，有因子 ，试说明这个因子的几何意义.
计算
(空间曲线)
, ，其中 具有一阶连续的导数，则
常用的结论
例题分析
★★1.计算 ，其中 为连接 ， ， 的闭折线。
知识点：第一类曲线积分.
思路: 由三段直线段组成，故要分段积分.
解：如图
则
， ，
， ，
注：利用被积函数定义在 上，故总有
，
.
注：1) ，
对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大.
内容概要
名称
主要内容
第一类曲面积分
计算
1.
2.
3.
常用的结论
曲面 的面积
例题分析
★★★1.计算 ，其中 是 ，及坐标平面 所围成的闭曲面.
知识点：第一类曲面积分.
思路: 块曲面组成的闭曲面,故应分块进行计算,本题共有
曲面五块,且是三个积分的组合,故应共计算15个积分..
解：如图 ,则
， 在 面上的投影为
注：因 围的区域内含被积函数不连续的点 ，故此题不能用格林公式。
★★7.计算 ，其中 是在圆周 上由
到 的一段弧。
解：设 , , 连接 则 围区域D
,
，
原式
★★8.计算 ，其中 是位于第一象限中的直线 与位于第二象限中的圆弧 构成的曲线，方向是由 到 再到 .
解：连接 则 围区域 ,
★★9.计算 ，其中 从 沿摆线 到 .
例题分析
★★1.计算 ，其中 是 为顶点的正方形的正向边界.
知识点：第一类曲面积分.
思路:如图 由四段直线段组成，故要分段积分.
解：如图
则
变化从 到
变化从 到
变化从 到
变化从 到
.
★2．计算曲线积分 ，其中 为曲线 上对应
于 从 到 的一段弧.
知识点：第一类曲面积分.
思路: 空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.
解：依题意 ，
从A点到B点半圆周的方程：
从 变到
则功
提高题
★★★1.计算 ，其中 为上半椭圆周 （按逆
时针方向）.
解： 的参数方程为： , 从 变到
原式
注：此题可用直角坐标系求解，较用参数方程繁.
§10.3 格林公式及其应用
内容概要
名称
主要内容
格林公式
设 及它们的一阶偏导数在闭域 上连续，则
其中 是闭域 的边界曲线，且取正向.
解：设 围的区域为D
，
原式=
注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有 .
★★4.利用曲线积分，求星形线 所围成图形的面积。
解：由公式
★★5.求双纽线 所围区域的面积。
解：双纽线的极坐标方程为：
由图形的对称性知：
★★6.计算 ，其中 为圆周 的顺时针方向。
解： 参数方程为： 变化从 到
原式
解： 即
法一： 的参数方程为：
原式=
法二：原式=
★9. .求半径为 、中心角为 的均匀圆弧（线密度 的质心.
解：取扇形的角平分线为 轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则
圆弧的方程为：
由图形的对称性和 知 ，而
故质心在（ ）.
★10.求螺旋线 ，对 轴的转动惯量，设曲线的密度为常数 .
解：
.
★11.设螺旋形弹簧一圈的方程为 ，其中 ，它的线密度 .求：
★★★12.计算 ，其中 为曲线 的正向。
解：在 包围的区域内作顺时针方向的小圆周
变化从 到
在 与 包围的区域 上，
及格林公式，有
★13.计算 .
解： , 线积分与路径无关。
原式 .
★★14.证明曲线积分 在整个 面内与路径无关，并计算积分值。
解：法一：
被积式是函数 的全微分，从而题设积分与路径无关。且
(1)螺旋形弹簧关于 轴的转动惯量 ;
(2)螺旋形弹簧的重心.
解:
(1)
.
(2)
螺旋形弹簧关于 平面的静力矩分别为：
同法得：
.
,
.
提高题
★★★1.计算 ，其中 为正向圆周 ，直线 及 轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.
解： 与 在第一象限的交点为 .
如图：
;
; .
则原式
★★★★2.计算 ，其中 为圆柱面 与锥面 的交线.
2) 注意公式中 前是 号，如本题改写成 ，此时不能误认为 ，而应是 .
★★★★2.计算 ，其中 为圆周 的逆时针方向.
知识点：格林公式.
思路: ，应用格林公式方便,.但因 围的区域内含被积函数不连续的点 ，故
要把不连续的点 挖掉.
解：在 包围的区域内作顺时针方向的小圆周
变化从 到
在 与 包围的区域 上，
解： ，参数方程为
又
故 .(此题请核查)
§10.2 第二类曲线积分
内容概要
名称
主要内容
第二类曲线积分
1.平面曲线：
2.空间曲线：
常用的性质
1． 其中 表曲线的某一方向(正向), 表曲面的另一方向(负向)
2.若 ,则
计算
(平面曲线)
，起点 ，终点 ，其中 具有一阶连续的导数，则
计算
(空间曲线)
,起点 ，终点 ，其中 具有一阶连续的导数，则
第一十章曲线积分与曲面积分
§10.1 第一类曲线积分
内容概要
名称
主要内容
第一类曲线积分
1.平面曲线：
2.空间曲线：
常用的性质
1.若 ,则
2. 的弧长
计算
(平面曲线)
1. ， ，其中 具有一阶连续的导数，则
，
2. ， ，其中 具有一阶连续的导数，则
，
3. ， ，其中 具有一阶连续的导数，则
，
4． ， ，则
的交线 ，从 轴正向看 为逆时针方向.
解： 的参数方程为： , 从 变到
原式
★★★9.在过点 和 的曲线族 中，求一条曲线 ，该
曲线从O到A的积分 的值最小。
解： ： 从 变到 ,
令 得 （负号舍去）
为所求曲线。
★★★10.计算 ，其中 分别为路线：
(1) 直线 ; (2)抛物线 : ;(3)三角形
解：摆线的参数方程为：
原式
★★5.计算曲线积分 ，其中 为螺旋线 上相应于 从 到 的一段弧。
解：
原式
★★6.计算曲线积分 ，其中 为折线 ,这里 , , , 依次为点 ， ， ， .
解：如图，原式=
：
： ，
： ，
原式= .
★★7.计算 ，其中 为对数螺线 在圆 的内部。
Biblioteka Baidu解：依题意： 得
.
★★★8.计算曲线积分 ，其中 为球面 与平面 的交线。
时针方向绕行）.
解：圆的极坐标方程为： ， 从 变到
原式=
.
★★★5.计算 ，设 ，式中
方向依参数增加的方向.
解：原式
.
★★★6.计算 ，其中 为 上对应
于 从 到 的一段弧.
解：原式
.
★★★7.计算 ，其中 是从点 到点 的直线 .
解： 直线的方向向量 为 ，
故其参数方程为： 从 变到
原式
.
★★★8.计算 ，其中 为圆柱面 与
解：（1）直线 方程： ,
即 从 变到 ,
原式
(2)抛物线 : 从 变到
原式
(3) , 从 变到
从 变到
原式=
★★★11.设 为曲线 上相应于 从 变到 的一段曲线弧,把对坐标的曲线积分 化为对弧长的曲线积分。
解：
,
,
,
★★★12.计算沿空间曲线对坐标的曲线积分 ，其中 是 与 相交的圆，其方向沿曲线依次经过1，2，7，8挂限。
2)对 段的积分可化为对 的定积分，也可化为对 的定积分，但 段， 段则只能化为对 （或对 ）的定积分.
★★2.计算 ，其中 为圆周 .
知识点：第一类曲线积分.
思路: 为圆周用极坐标表示较简单.
解： 的极坐标方程：
.
★3.计算曲线积分 ，其中 为曲线 ,
应于 从 到 的一段弧.
知识点：第一类曲线积分.
2) 为平面 上的一个圆，圆心 ，半径为 .
课后习题全解
习题10-1
★1.设在 面内有一分布着质量的曲线弧L，在点 处它的线密度为 ，用对弧长的曲线积分分别表达：
1)该曲线弧对 轴、 轴的转动惯量 和 ；
2)该曲线弧的质心坐标 和 .
知识点：第一类曲线积分的概念及物理意义.
思路: 面内的一段曲线 ，其线密度为 ，则
，故不包含原点的任何闭曲线积分为 .为使域内不出现原点，一般可将平面域沿负 轴剪开，（即联 的任意曲线均不准通过负 轴），在沿负 轴剪开的域中，积分与路径无关.
★★★2.设 在 有连续导函数，求 其中L是从点 到 的直线段.
解：
在沿负 轴剪开的域中，积分与路径无关.
取路径如图，
§10.4 第一类曲面积分
解：设 连接 则 围区域
★★★10.计算 ，其中 为包围有界闭区域 得简单曲线， 的面积为 ，n为 的外法线方向.
解：设 沿逆时针方向的任意点的单位切向量
( 分别是 与 轴、 轴正向夹角).
则
.
★★★11.计算 ，其中 为单位圆周 的正向.
解：在 包围的区域内作顺时针方向的小椭圆周
变化从 到
在 与 包围的区域 上， 及格林公式，有
1)线段 的质量为：
2)线段 关于 轴和 轴的静力矩为：
3)线段 对 轴和 轴的转动惯量： ，
解：由第一类曲线积分的概念及物理意义得
(1) ,
(2)
★2.计算 ，其中 。
解：法一：
原式=
法二：原式= .(利用性质2)
★3.计算 ，其中 为连接 ， 两点的直线。
解：直线方程为：
原式=
★★4．计算 ，其中L为内摆线 的弧。
用极坐标表示，则为：
同理：
， 是球面一部分，方程为 ，在化为二重积分运算时，可向不同的坐标面投影，故可有不同的计算途径：
法一： 向 面上的投影，则曲面 ： 是双值函数，为是曲面表达成单值函数，将曲面分成两块，
它们在 面上的投影为
，
，
法二： 向 面上的投影，则曲面 ： 是单值函数，
在 面上的投影为
用极坐标表示，则为：
解：原式
.
课后习题全解
习题10-2
★1.计算 ，其中 为 与 轴所围成的闭曲
线，依顺时针方向.
解：如图
其中 变化从 到 ，
变化从 到 ,
原式
★2.计算 ，其中 为圆周 上对应于 从
到 的一段弧.
解：原式
★★3.计算曲线积分 ，其中 为从 经 到点
的那一段.
解： 变化从 到
原式
.
★★4.计算曲线积分 ，其中 为圆周 （按逆
原式
法二： 线积分与路径无关。
原式 =
★★15.利用曲线积分，求下列微分表达式的原函数：
(1) ;
(2) ;
(3) .
解：(1) ,
是某函数的全微分
.
(2)
是某函数的全微分
.
(3)
是某函数的全微分
★★16.设有一变力在坐标轴上的投影为 ， ，改变力确了一个力场.
证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.
面积
曲线积分与路径无关的等价条件
1.域 内 处处成立.
2.沿域 内的任一闭路积分为零，即
3.在域 内存在函数 ，使
曲线积分的牛顿莱布尼茨公式
若域 内 ，则 内任意两点
例题分析
1.计算
★★★1) ;
★★★★2) .
其中 , , , 是折线， 是由 到 的直线段，如图.
知识点：格林公式.
思路:1) ，应用格林公式方便.
及格林公式，有
注：因 围的区域内含被积函数不连续的点 ，故此题不能直接用格林公式。
课后习题全解
习题10-3
★★1.利用格林公式计算积分
其中 为正向圆周曲线 .
解：
原式=
★★2.利用格林公式计算积分 ，其中 顶点为 和 的正方形区域的正向边界。
解：设 围的区域为D:
,
原式=
.
★★3.计算 ，其中 是沿逆时真方向的椭圆 。
思路: 空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.
解：
原式= .
★★★1.计算曲线积分 ，其中 为球面 与平面
的交线。
知识点：第一类曲线积分.
思路: 的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式，但 满足 ，故总有 .
解： 即
原式=
注：1)利用被积函数 定义在 上，故总有 ，是常用的一种简化运算的方法.
证明：
上述线积分之值，即功 之值与路径无关。证闭。
★★★17.试求指数 ，使曲线积分 在 区域内与路径无关，并求此积分.
解：
令 ,有
时上述曲线积分与路径无关.
提高题
★★★★1.计算 ，其中L是沿 由 到
的曲线段.见图.
解：
如图添加园弧段
变化从 到 ，
则
注：连接直线 ， 由 变到 ，则
，为什么？
原因是 围的区域内含被积函数不连续的点 ，不能说明积分与路径无关.但
解： 的参数方程： 从 变到 ,
注：利用
★13.设 轴与重力的方向一致，求质量为 的质点从位置 沿直线移到 时重力所作的功。
解：F={0,0,mg},g为重力加速度;记dr= , ,
则功
★★★14.质点 沿以 为直径的半圆周，从点 运动至点 的过程中，受到变力 的作用， 的大小等于点 与原点 之间的距离，其方向垂直于线段 ，且与 轴正向的夹角小于 ，求变力 对质点所作的功。