华电自动控制原理15真题解析

一：关于液位控制的，有浮子，阀门，电动机，减速器，让画出结构图，再分析是什么类型的系统。

貌似经常见得题目。

知识点：系统建模，自动控制系统的概念及其基本要求，负反馈原理，系统分类
1. 对自控系统的要求
对自控系统的要求用语言叙述就是两句话： 要求输出等于给定输入所要求的期望输出值； 要求输出尽量不受扰动的影响。

恒量一个系统是否完成上述任务，把要求转化成三大性能指标来评价： 稳定——系统的工作基础；
快速、平稳——动态过程时间要短，振荡要轻。

准确——稳定精度要高，误差要小。

2、自动控制系统的概念及其基本要求
自动控制 在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象的被控量自动地按预先给定的规律去运行。

自动控制系统 指被控对象和控制装置的总体。

这里控制装置是一个广义的名词，主要是指以控制器为核心的一系列附加装置的总和。

共同构成控制系统，对被控对象的状态实行自动控制，有时又泛称为控制器或调节器。

自动控制系统⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧校正元件执行元件放大元件比较元件测量元件给定元件控制装置（控制器）被控对象 3、负反馈原理 把被控量反送到系统的输入端与给定量进行比较，利用偏差引起控制器产生控制量，以减小或消除偏差。

实现自动控制的基本途径有二：开环和闭环。

实现自动控制的主要原则有三：
主反馈原则——按被控量偏差实行控制。

补偿原则——按给定或扰动实行硬调或补偿控制。

复合控制原则——闭环为主开环为辅的组合控制。

4、重点掌握线性与非线性系统的分类，特别对线性系统的定义、性质、
判别方法要准确理解。

线性系统−−→−描述
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧−−→−⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧−−→−⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧状态空间法时域法状态方程变系数微分方程时变状态方程频率法根轨迹法时域法状态方程频率特性传递函数常系数微分方程定常分析法分析法
非线性系统⎪
⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧−−→−−−→−−−→−⎩⎨⎧−−→−状态空间法相平面法
描述函数法本质线性化法
非本质状态方程非线性微分方程分析法
分析法分类描述
仿真题：图为液位控制系统的示意图，试说明其工作原理并绘制系统的方框图。

说明 液位控制系统是一典型的过程 控制系统。

控制的任务是：在各种扰动的 作用下尽可能保持液面高度在期望的位置 上。

故它属于恒值调节系统。

现以水位控 制系统为例分析如下。

解 分析图可以看到：被控量为水位 高度h （而不是水流量Q 2或进水流量Q 1）； 受控对象为水箱；使水位发生变化的主要
图1-3 液位控制系统示意图
原因是用水流量Q2，故它为系统的负载扰动；而进水流量Q1是用以补偿用水流量的改变，使水箱的水位保持在期望的位置上的控制作用；控制进水流量的使由电动机驱动的阀门V1，故电动机-减速器-阀门V1一起构成系统的执行机构；而电动机的供电电压u d取决于电位器动触点与接零点之间的电位差，若记接零点与电位参考点之间的电压为
u g，则它便是系统的给定信号，记动触点与电位参考点之间的电压为u f，而u d=u g-u f，故u f为负反馈信号。

于是可绘制系统方框图，如图所示。

Q
Q
图1-4 液位控制系统方块图
系统的调节过程如下：调整系统和进水阀V1的开度使系统处于平衡状态，这时进水流量Q1和额定的用水流量Q2保持动态平衡，液面的高度恰好在期望的位置上，而与浮子杠杆相联接的电位器动触头正好在电位器中点（即接零点）上，从而u d＝0电动机停止不动；当用水流量发生变化时，比如用水流量增大使得液面下降，于是浮子也跟着下降，通过杠杆作用带动电位器的动触点往上移，从而给电动机电枢提供一定的电压，设其极性为正的(即u d>0),于是电动机正转，通过减速器驱动阀门V1增大其开度。

二、给定一个传递函数，大概是G （s ）=N （s ）/(s+p1)(s+p2).......(s+pn).求在r(t)=Rmsin(wt)时的稳态输出。

知识点：频域响应的定义，频率特性与传递函数的关系，幅频特性和相频特性。

1 频率特性的定义
对于一个稳定的线性定常系统，当输入信号为()t X t x ωsin =时，其输出的稳态分量
()t y ss 是同频率的正弦信号，()()ϕω+=t Y t y ss sin ，与输入信号相比，仅是幅值和相位的
变化。

定义：
ϕ
ϕj j j e X
Y Xe Ye =0为系统的频率特性。

2 频率特性与传递函数的关系
设系统的传递函数为G(s)，则其频率特性为：
()()ωωj s s G j G ==
)(ωj G 是个复变函数，它的模表示
输入
输出
的模。

它的角表示输出与输入的相位差 3 幅频特性和相频特性
系统频率特性)(ωj G 是一个复数，通常记为：
()()()ωϕωωj e A j G =
其中，()()ωωj G A =——幅频特性，表示输出稳态分量与输入正弦信号的振幅比。

()()ωωϕj G ∠=——相频特性，表示输出稳态分量与输入正弦信号的相位差。

出系统的许多特性。

根据图像我们可以分析表示出来。

的函数，都可以用图像
它们都是称为相频特性称为幅频特性ωωω⎭
⎬⎫
)(arg )(j G j G
仿真题：控制系统的频率特性反映为：正弦信号作用下系统响应性能
已知一控制系统结构图如图5-61所示，当输入r (t ) = 2sin t 时，测得输出c (t )=4sin(t -45︒)，
试确定系统的参数ξ ，ωn 。

解 系统闭环传递函数为
2
2
22)(n
n n
s s s ωξωωφ++=
系统幅频特性为
22222224)()(ω
ωξωωωωφn n n
j +-=
相频特性为
2
2
2arctan
)(ωωω
ξωωϕ--=n n
由题设条件知
c (t ) = 4sin( t -45︒)
=2 A (1) sin(t + ϕ(1)) 即
1
2
222
22
2
4)()1(=+-=
ωω
ωξωωωn
n
n A
2
4)1(222
22=+-=
n
n
n
ω
ξωω
1
2
22arctan
)1(=--=ωωωω
ξωϕn n
︒-=--=451
2arctan
2
n
n
ωξω
整理得
]4)1[(422224n n n ωξωω+-=
122
-=n
n ωξω
解得
ωn = 1.244 ξ = 0.22
例1：伯德图的绘制，注意转折频率处修正值的概念，频率响应概念的应用
已知最小相位系统的开环对数幅频渐进特性曲线如图所示，
其中，虚线是转折频率附近的精确曲线。

（1）求开环传递函数()G s ，画出开环对数相频特性曲线；（2）利用对数频率稳定判据判断闭环系统的稳定性，并计算模稳定裕度；（3）当输入为()sin10r t t =时，求输出的稳态分量。

解：（1）由图可知，低频段渐近线斜率为20dB/dec -，说明系统中有一个积分环节。

由（1.0, 0）点可得： 20lg 01K K =⇒=
转折处加入了一个二阶振荡环节，则开环传递函数可设为：
2n 22
n n
1
()2G s s s s ωζωω=⋅++ 由转折点可知，n 10rad/s ω=。

振荡环节在n ωω=时的修正值为20lg 2ζ-。

由图知，修正值为10(20)10---=，即：
20lg 210210
ζζ-=⇒=
则传递函数为： 2n 22
2n n 1()2(10100)
G s s s s s s s ωζωω=⋅=++++ 开环对数相频曲线如图所示。

∑
∑≠==-∠--∠+︒=n x
i i i m j j x p s z s 1
1)
()(180始φ)
()(1801
1
∑∑
≠==-∠--∠+︒=m
y
j j j n i i
y
z s p
s 止φ（2）由图可知，在()0dB L ω＞的范围内，对应的相频曲线对π-线无穿越，即0N +=，
0N -=，则002
p
N N +--=-=，所以闭环系统稳定。

由图可知，当n 10rad/s ωω==时，()πϕω=-，则模稳定裕度为：
n n 120lg
20lg (j )10dB (j )h G G ωω==-=-=
（3
）系统的闭环传递函数为：()G s
可得：
=10
(j 10)φ=
=
则(j 10)180φ∠=∠-，故输出稳态分量为：
ss ()180)C t t t =-=
三、画根轨迹的，G （s ）=k(s-2)/s(s+a).第一问是给定a=2,划相应的根轨迹。

然后求，
临界稳定和没超调时的阻尼系数。

第二问给定k=2，画关于a 的根轨迹。

并求阻尼系数为根号下二分之一时的a 值
知识点：根轨迹绘制规则，判断是零度还是-180度根轨迹，参数根轨迹的绘制，根轨迹和时域特性的关系
1. 绘制根轨迹的基本规则（红色为零度根轨迹）
规则一、根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n 。

规则二、根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于零点或无穷远点。

规则三、根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴 规则四、实轴上的根轨迹：右边开环极点零点之和为奇数的部分。

规则五、渐近线：根轨迹有n-m 条渐进线。

其相角为： 渐近线与实轴的交点为： 规则六、根轨迹的分离点：
分离点是方程式 的根。

规则七、根轨迹与虚轴的交点：
交点和相应的K 值利用劳斯判据求出。

规则八、根轨迹的起始角：
在开环复数极点px 处，根轨迹的起始角为： 在开环复数零点zy 处，根轨迹的终止角为： ,..
2,1,0180)12(0
=-⋅+=k m n k φm n z p n i m j j
i --=
α∑∑
==110=ds dk
2、注意：根轨迹一定要绘制成首一型！ 3.参数根轨迹
关键写出等效系统的开环传递函数
()e
GH 。

参数项写到分子上，其余部分写在分母上，参
变量移到K 的位置，按规则绘制参数根轨迹。

仿真题：设单位反馈系统的开环传递函数为()(
1)(1)
K
G s s s Ts τ=
++，其中，K =2，T =1，
0τ＞为变化参数。

（1）试绘制参数τ变化时，闭环系统的根轨迹图，给出系统为稳定时τ的取值范围；（2）求使3-成为一个闭环极点时τ的取值；（3）τ取（2）中给出的值时，求系统其余的两个闭环极点，并据此计算系统的调节时间（按5%误差计算）和超调量。

解：（1）由题意，有：32
12()2
s s G s s s τ+=++
起点：1,20.5 1.32p j =-±；终点：1,20z =，31z =-；分支：3条；
起始角：1p 20.7θ=，2p 20.7θ=-；与虚轴交点：1τ=，1ω=± 闭环系统的根轨迹图如图所示。

由根轨迹可知当1τ0＜＜时系统稳定。

（2）若3p =-是系统闭环极点，则(3)0D -=，解得：4
9
τ= （3）当4
9
τ=
时，则：2()(3)(6)0D s s s s =+++=2,30.5j2.4
p ⇒=-± 此处找主导极点 因为-0.5大于-3所以把系统看做是一个二阶的系统
则阻尼比0.146
ζ==；自然振荡频率n 6ω；
调节时间s n
3
28t ζω=
=；超调量2π1%e 100%73%ζζσ--=⨯=。

例4、（07东北大学）零度根轨迹的绘制 已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
()()()10.51k k K s W s s s -=
+
1. （1）、试绘制相应闭环系统的根轨迹（关键点要在图中标示出来）；
2. （2）、确定使该系统稳定的k K 的取值范围。

(1) ()()()
2,21g k g K K s W s K K s s -=
=-+
起点：两个开始极点： 10p -=，21p -=- 终点：一个开环零点：-z=2
轨迹的分离点，汇合点计算
()()()()''D s N s N s D s =
整理得：2420s s --=
1,22s =
所以分离点为：-0.45，会合点为4.45
（2）系统的特征方程根为：
()210.50K K s K s K +-+=
满足系统稳定的条件为：
()10.50K K ->
0K K >
即：02K K <<
例1：系统如图5
所示，其中2210
().()(1)
s s G s s p s -+=
+-
图 5:A control system
(i)
证明根轨迹1+KG(s)=0与负j ω轴相交，相交时0cr ω≠,并且
cr ω 满足等式2(1)810cr p p ω+=-。

(ii) 若p=3.求出分离点，当根轨迹与虚轴相交时的频率cr ω，画
出当K>0时的根轨迹。

根据根轨迹图求出使闭环系统稳定的K 的取值范围。

(iii) 求出开环极点–p 的取值范围，使得对于所有的K 值闭环系
统均稳定。

(i)设虚轴交点为r
c
j ω，则有2()21010()(1)
r r r r c c c c j j K j p j ωωωω-++
=+-
22(10)(2)0r r r r r c c c c c K p K j p K ωωωωω---++-+-=
22210020(1)810
r r r r r r c c c c c c K p K p K p p ωωωωωω⎧++-=⎪⇒⎨-+=⎪⎩⇒+=- （ii ）当p=3时有2210
()(3)(1)
s s G s s s -+=+-
①分离点d 满足：11113113131/2
d d d j d j d +=+
+----+⇒=-
②由（i ）知 2
(1)810r c p p ω+=-
，2
37/2r r c c p ωω=⇒=⇒=
③根轨迹为：
④把p=3,
7/2r
c ω=代入 22100r r c c K p K ωω++-= 可得K=1
把s=0代入 1()0KG s += 可得K=0.3
所以0.3<K<1 时，系统稳定。

（iii ）由劳斯稳定判据可得，p<5/4时，对所有的K,系统均不稳定。

5.(i)
与负实轴相交时，令虚部为零得
330.1.10.80T o w wT w ω++-=
即2
1
(1)
810T T w
+=-
与正虚轴相交时，令
20.10.21
(1)(1)w jw Kj Tjw jw --+=+- (K>0) 220.20.11Kj TKw j wj KTW Kw w +-=-+-
所以：
22
0.200.110
K TKw w KTw kw w +-=-+-=
得 32
801010
w w
K w -=>+ 即280w -> 所以存在使上式成立的20w >。

（ii ）13T =时，218107
12
T T ω-==+
四、：关于幅相特性曲线的。

具体传递函数忘了。

不过有个震荡环节的。

好像是 Ⅰ型的。

要补线的。

知识点：典型环节的频率特性，开环幅相频率特性（Nyquist 图）的绘制，稳定判据
（1）、1．比例 ,)(k s G = k j G =)(ω，
k =， 0=∠
2．积分 s
s G 1
)(=
， ωωj j G 1)(=，
ω
1
=
， 90-=∠
0.1
1
10
2
π
ω
s
k k
ω
-20db
dec
3．惰性 1
1
)(+=
Ts s G ，11)(+=ωωTj j G ,
2
2
11T
ω+=
,T tg ωarg -=∠
ω
T
1
-20db
dec
2
π
4．二阶振荡 1
21
)(2
2++=
Ts s T s G ς
2
222)2()1(1
ωςωT T +-=
2
212arg T
T
tg
ωςω--=∠
显然幅相特性都与ς有关，从0—2
π
-
—π-
ω
=T
1
ζ
减小1
Re
Im
ω
T
1
-40db
dec
可以证明：峰值频率2211ζω-=
T r 峰值2121
ζ
ζ-=
r M 5．微分（2. 3. 4的幅相反号） 6．延时环节，s
e
s G τ-=)(，ωτωτωωτsin cos )(j e j G j -==-
1=，ωτ-=∠
τ
ω
-57.3°
7．不稳定单元
11+-Ts ， 11-Ts ， 1
1
+-Ts
以上三者的模都是半圆
900 )900( 1arg →=-→-=--=∠T tg
ω
270180 )270180( 1
arg →=-→--=--=∠T
tg
ω
90180 270
-180 )900(-180 arg 180→=-→=→-=--=∠T tg ω
图像分别为：
（2）、开环幅相频率特性（Nyquist 图）的绘制（对于最小相位系统）
在考研试题中，通常只要求绘出Nyquist 草图。

绘制时只要把握住这几点即可：
➢ 起点： 低频段 ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧III II I 的无穷远点型系统：起始于正虚轴
的无穷远点型系统：起始于负实轴
的无穷远点型系统：起始于负虚轴
点的型系统：起始于正实轴
K 0
➢ 高频段：n>m 时以顺时针收敛于原点，（n-m ）的值的大小决定与哪个坐标轴
相切；n=m 时()常数→ωA （需具体计算）
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=-=-=-=-时，与正实轴相切时，与正虚轴相切时，与负实轴相切
时，与负虚轴相切
4321m n m n m n m n ➢ 与负实轴的交点
Nyquist 图与负实轴的交点时判定闭环系统稳定的重要因素。

交点的计算有两种方法：
1）令()0Im =ωj G ，解出ω，代入()ωj G Re ，可得交点坐标； 2）令()πωϕ=，解出ω，代入()ωA ，可得交点坐标。

（3）、稳定判据
Nyquist 判据有两种形式：
1 N P Z -= 其中：Z ——闭环特征多项式在右半平面的极点数；
P ——开环传递函数在右半平面的极点数；
N ——开环幅相曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数。

闭环系统稳定的充要条件是：当ω从+∞→∞-时，开环幅相曲线逆时针方向包围复平面上的（-1，j0）点P 圈。

曲线由三段构成：
➢ ω从+∞→+0，对应Nyquist 图；
➢ ω从-→∞-0，与Nyquist 图关于实轴对称，方向相反；
➢ ω从+-→00，半径无限大，顺时针转过︒•180υ的大圆弧（υ为积分环节个
数）。

2 考虑到曲线的对称性，通常可只画出ω从+∞→0段的曲线，相应的判据变为：
N P Z 2-=
闭环系统稳定的充要条件是：当ω从+∞→0时，开环幅相曲线逆时针方向包围复平面上的（-1，j0）点
2
P
圈。

曲线由两段构成：
➢ ω从+∞→+0，对应Nyquist 图；
➢ ω从+-→00，半径无限大，顺时针转过︒•90υ的大圆弧（υ为积分环节个数）。

补充：p =0时，判据简化为：
闭环系统稳定⇔开环幅相曲线不包围（-1，j0）点
仿真题：已知系统传递函数为
)
5.0)(2()52(10)(2-++-=s s s s s G
试绘制系统的概略幅相特性曲线。

解 (1) 传递函数按典型环节分解
)15
.0)(12()
1)5
(51251(50)(2+-++--=
s s s s s G (2) 计算起点和终点
50)(lim 0
-=→ωωj G
10)(lim =∞
→ωωj G
相角变化范围
不稳定比例环节-50：-180︒ ~ -180︒ 惯性环节1/(0.2s +1)：0︒~ -90︒ 不稳定惯性环节1/(-2s +1)：0︒~ +90︒ 不稳定二阶微分环节0.2s 2-0.4s +1：0︒~ -180︒ (3) 计算与实轴的交点
2
2222)5.1()1()
5.11)(25(10)(ωωωωωωω++-----=j j j G
2
222222)
5.1()1()]5.35.5(3)1)(5([10ωωωωωωω+++-+++--=j 令I m [G (j ω)] = 0，得
254.15.3/5.5==x ω
Re [G (j ωx )] = -4.037
(4) 确定变化趋势 根据G (j ω)的表达式，当ω <ωx 时，I m [G (j ω)] < 0；当ω >ωx 时，I m [G (j ω)] > 0。

作系统概略幅相曲线如图5-63所示。

例：系统的开环传递函数为
)
1)(1()(21++=
s T s T s N
s G
试用奈氏判据判断系统的稳定性。

解 (1) 绘制系统的开环概略幅相曲线
① 组成系统的环节为一个积分环节、两个惯性环节和比例环节。

② 确定起点和终点
)
1)(1()
1()()(2
2222121221ωωωωωωT T T T jN T T N j G ++--+-=
)()]([lim 210
T T N j G R e +-=→ωω -∞=→)]([lim 0
ωωj G I m 0)(lim =∞
→ωωj G
︒-=∠∞
→270)(lim ωωj G
③ 求幅相曲线与负实轴的交点 令I m [G (j ω)] = 0，得
21/1T T x =ω
2
12
1)]([T T T NT j G R x e +-
=ω
④ 组成系统的环节都为最小相位环节，并且无零点，故ϕ(ω)单调地从-90︒递减至-270︒。

作系统的概略幅相特性曲线如图所示。

(2) 用奈氏判据判断系统的稳定性
由于组成系统的环节为最小相位环节，p = 0；且为1型系统，故从ω = 0处补作辅助线，如图5-64虚线所示。

当12121->+-
T T T NT 时，即2
12
1T T T T N +<，幅相特性曲线不包围(-1，j 0)点，所以闭环系统
是稳定的。

当12121-<+-
T T T NT 时，即2
121T T T
T N +>，幅相特性曲线顺时针包围（-1，j 0）点1圈，R =
-1，z = p -2R = 2 ≠ 0，所以系统是不稳定的。

五、离散系统的。

有个零阶保持器，还有个传递函数，求系统稳定性。

输出响应
知识点：开环传递函数的求取，离散稳定性判据，输出响应的求取；
1、采用系统的脉冲响应来求取。

定义：零初始条件下，离散系统输出脉冲序列Z 变换与输入脉冲序列Z 变换之比。

()
()()
C z G z R z =
注：①G(z)是离散信号到离散信号之间的传递关系；是线性系统（或环节）与采样开关组合体的脉冲传递函数。

②当系统输出是连续信号时，可虚设一个输出采样开关，沿用G(z)概念。

G(z)的求法： ①[()]()Z G s G z =查表
②()
()()
Z C z G z R z →=变换
系统差分方程
注意：1.没有采样开关隔离时两个线性环节串联,其脉冲传函为这两个环节的传函相乘之积的Z 变换。

有采样开关隔离时两个线性环节串联，其脉冲传函为两个环节分别求Z 变换后的乘积。

可推广到n 个环节。

2、稳定性判据
（1） 采样系统的稳态误差分析
1. 计算稳态误差的一般方法：
1::();(1):()lim ()
e z I II z z III e E z z
→⎧
⎪⎪
Φ⎨⎪-⎪∞=⎩判定稳定性；求误差传递函数 （2）. 静态误差系数法。

（适用于（1）“误差口有开关”；（2）r(t)作用下）
设系统稳定:且：0001
1()()
(1)lim ()r z G z G z z G z K →⎧
=⋅⎪-⎨⎪=⎩
型别v
1
lim[1()]p z K G z →=+ 1
lim(1)()v z K z G z →=-
2
1
lim(1)()a
z K z G z →=-
1[]A t ⋅
At
2
12
At 0
01K +
0 0
1A K +
∞ ∞
I
∞
0K
0 0
AT
K ∞
II
∞ ∞
0K
2
AT K
（3）[z]域极点与采样系统动态特性的关系：
（i ）、正实轴上：
00j z e e
αα<⎧=⋅⎨>⎩
时，单调收敛
时，单调发散
（ii ）、负实轴上：
18000j z e e
α
α<⎧=⋅⎨
>⎩时，振荡收敛时，振荡发散
（iii ）复平面上：
1)%12(;S p T x x T αασωπ
ωθ⎧↑→↓>→↑⎪
⎨↑==→↑→↓⎪⎩
包络线收敛速度(时，包络线发散不变)每周期采样点数 同一圆上，包络线收敛速度相同；
同一射线上，采样频率相同；
%σ的大小，取决于是否在等ξ线上。

3、长除法
仿真题：考虑图1所示的采样控制系统，其中()s e s G sT
--=10为零阶保持器，
()()
α+=
s s K
s G p ，输入信号()t r 为单位阶跃函数，α,,K T 正的常数。

（ⅰ）写出上述系统的闭环脉冲传递函数。

（ⅱ）设1,1,1===αK T 秒，计算采样输出()()()()3,2,1,0c c c c 。

已知：
⎭⎬⎫⎩⎨
⎧Z s 1=1-z z ， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+Z αs 1=T e z z α--， ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧Z 2
1s =()
21-z Tz 。

Figure1：采样控制系统
解：（ⅰ）系统开环脉冲传递函数
()(
)()()
()()
()()(
)
()()
T T T T T p e z z Te e z e T K e z z z z z Tz
z K
s s s z K s s K z s z G z z G αααααααααααααα-------------+-+=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+--
-•-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++
-Z -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Z -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Z -=111111111112
21
221221
1
闭环脉冲传递函数
()()
()
()[]
(
)
T
T T T T
T T
e Te e K z K e K KT z Te e z e
T K
z G z G z ααααααααα
αααααα
-------+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--+-+=
+=
Φ11111122222
（ⅱ）当1,1,1===αK T 秒时，()632
.0264
.0368.02
+-+=
Φz z z z ()()()
+++=-+-+=+-+•-=Φ=---32123
22399.1368.0632.0632.12264.0368.0632.0264.0368.01z z z z z z z
z z z z z z z z R z C
则采样输出分别为：
()()()()399
.1312368
.0100====c c c c
例1：求传递函数，输出响应（长除法应用），稳态误差计算问题
六、描述函数来判断系统的稳定性。

x>0时y=1,x<0时y=-1...第一问求描述函数，第二问是求系统的稳定性。

给定的传递函数好像是 G(S)=1/s(s+1)(s+2).具体记不太清楚了。

然后求自震频率，和振幅。

知识点：描述函数的求取，描述函数法的应用，自激振荡
（1）描述函数定义：对一非线性特性，若输入()sin r t X t ω=时，其输出()y t 中的基波分量为111()sin()y t Y t ωϕ=+则定义
非线性特性的描述函数：1111()Y B A N x j X X X ϕ=
∠=+ 210
1
()cos ()A y t td t π
ωωπ
=
⎰
，210
1()sin ()B y t td t π
ωωπ
=⎰，
()y t 为非线性特性在输入信号sin X t ω
即： 2211
1
11()A B
A N x tg
B -+=
::1:()()11X Y y t r t ϕ⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩正弦输入的幅值输入中基波分量对的相角差
描述函数――从线性系统频率特性的角度来描述非线性特性的一种函数。

（2）自激振荡
设非线性系统经过变换和归化，可表示为非线性部分与线性部分 相串联的典型反馈结构如图所示。

从图中可写出非线性系统经谐波线性化处理线性化系统的闭环频率响应为
由上式求得图中所示非线性系统特征方程为
，还可写成
其中
称为非线性特性的负倒描述函数。

若有
使上式成立，便有
或
，对应着一个正弦周期运动。

若系统扰动后，上述周期运
动经过一段时间，振幅仍能恢复为
，则具有这种性质的周期运动，称为自激振荡。

可
见自激振荡就是一种振幅能自动恢复的周期运动。

周期运动解 可由特征方程式求得，
亦可通过图解法获得。

由等式在复数平面上分别绘制
曲线和
曲线。

两曲线的
交点对应的参数
即为周期运动解。

有几个交点就有几个周期运动解。

至于该解是否
对应着自激振荡状态，取决于非线性系统稳定性分析。

（3）用描述函数法分析非线性系统自激振荡的一般步骤
仿真题：描述函数法的基本应用
已知某控制系统框图如图所示，其中非线性环节的描述函数为
2
82()1πN A A A ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，试求：
（1）当系统未接入校正装置C ()G s 时，系统是否存在自持振荡，若存在，求出其振幅和频率，并分析使系统稳定的A 的取值范围；（2）
当系统接入校正装置C ()G s 时，分析系统是否会产生自持振荡。

解：（1）未接入校正装置时，线性部分等效传递函数为：10
()(1)(2)
G s s s s =
++
非线性部分负倒描述函数2
21()8A 4
N A -=-，其曲线为负实轴的一段。

其线性部分Nyquist 曲线及倒挂曲线如图（a ）所示。

线性部分Nyquist 曲线与实轴交点：令Im (j )0G ω=，得2ω=±，交点为
5
Re (j 2)3
G =-。

两曲线交点处：
2
25
=2.448384
A A =-⇒-，3.463 可知，存在两个交点，且只有一个交点为稳定的自持振荡，幅值A =3.463，
自振角频率2ω=。

当 2.448A <时，系统稳定； 2.448A >时，系统产生稳定的自振荡。

（2）接入校正装置后，线性部分传递函数变为：210(22)
()(1)(2)
s s G s s s s ++=++
重新绘制线性部分Nyquist 曲线（b ）可知，Nyquist 曲线不会包围1
()
N A -曲线，也不会与之相交，故系统不会产生自振荡。

图（a ） 图（b ）
例
：
七、给定一个电路图，求系统的状态空间
知识点：系统建模，状态空间求取，状态变量的设定
（一）模型的建立
牢记几种常见函数的矩阵指数形式：
22
112!
!
At k k
e I At A t A t k =++
++
+
2
1
23()I A A sI A s s s --=+++
11[()]At L sI A e ---=
（二）会求状态转移矩阵
11()[()]At t L sI A e --Φ=-= 1()()t t -Φ=Φ- (0)I Φ=
（三）会求齐次方程的解和非齐次方程的解
（1）齐次方程解
()()(0)x t t x =Φ
（2）非其次方程解
()()(0)()()t
x t t x t Bu d τττ=Φ+Φ-⎰
（四）会求传递函数矩阵、系统的特征方程和特征值
传递函数矩阵：1
()()G s C sI A B D -=-+ 特征方程：sI A -
特征值：求解方程0sI A -= 仿真题：
解析：
例：
八、二阶的状态空间，求输出响应和传递函数，跟11年的真题差不多的题目
知识点：状态方程求解，传递函数求取
传递函数矩阵：1
()()G s C sI A B D -=-+ 牢记几种常见函数的矩阵指数形式：
22
112!
!
At k k
e I At A t A t k =++
++
+
2
1
23()I A A sI A s s s --=+++
11[()]At L sI A e ---=
仿真题：某二阶定常线性系统的动态方程如下：()()()x t Ax t bu t =+，()()y t cx t =。

其中，11
1221
22a a A a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，01b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]11c =。

已知系统的矩阵指数e e e e e
e e t t t AT
t
t t t t t t ------⎡⎤
+=⎢⎥--⎣⎦。

（1）求矩阵A ；（2）若[](0)11T
x =-，求系统在单位阶跃()1()u t t =作用下的响应()x t ，0t ≥；（3）求系统的传递函数()/()Y s U s ，这里，()U s 和()Y s 分别为输入和输出信号()u t 和()y t 的拉普
拉斯变换。

解：由11()e AT L sI A ---=，可得：
2
2
1
221111(1)(1)e e e ()(e )111e
e e (1)1(1)t t
t AT
t
t t s s s t t sI A L L t t s s s -------⎡⎤
+
⎢⎥⎡⎤++++⎢⎥-===⎢⎥⎢
⎥--⎣⎦--
⎢⎥+++⎣
⎦
则有： 1
2
2221
1111(1)(1)
11112(1)1(1)s s s s sI A s s s s -⎡⎤+⎢⎥-+++⎡⎤⎢
⎥-==⎢⎥+⎢
⎥⎣⎦--⎢⎥+++⎣⎦
因此： 0112A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
（2）非齐次状态方程的解：()0
()e (0)e ()d t
AT A t x t x Bu τττ-=+⎰
1e e e e e (0)1e e e e t t t t AT
t t t t t t x t t --------⎡⎤⎡⎤
+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()()()
()()()0e ()e ()e e ()()1()e e ()e t t t A t t t t t t Bu u t t τττττττττττττ-------------⎡⎤+--⎡⎤=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦
⎣⎦ ()()()()e 1()0e ()e t t t t t t t τττττ------⎡⎤-=⋅⎢⎥--⎣⎦
，≥ ()
01e e e ()d 0e t t t A t t
t Bu t t τττ----⎡⎤--=⎢⎥-⎣⎦
⎰，≥ 则系统在单位阶跃()1()u t t =作用下的响应()x t 为：
e 1e e 1e ()0e e e e t t t t t t t t t t x t t t t --------⎡⎤⎡⎤⎡⎤---=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=，≥ （3）所求的传递函数为：
[]2
2
1
2211101(1)(1)()1
()111111()1(1)1(1)s s s Y s C sI A B U s s s s s -⎡⎤
+⎢⎥+++⎡⎤⎢
⎥=-==⎢⎥+⎢
⎥⎣⎦--
⎢⎥+++⎣⎦
例：控制系统由以下的状态空间表达式描述
()()()()()()T x t Ax t bu t y t c x t du t =+=+ (1)
其中：
()121234340.5
0.5
0.50.51.5 1.5 1.50.5,,.1.50.50.50.50.50.50.50.5T b b A b c c c c c b b --⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪=
== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
(i) 证明存在线性变换()()x t T x t ∧
=，使得原状态空间表达式转换为转化为如下约旦规
范形式。

()()()()()()
T x t A x t b u t y t c x t du t ∧∧∧∧
∧∧
=+=+ (2)
其中
122311
34
41
2110001002,001120
00
12
b b b b A T AT b T b b b b b
∧∧---⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫+ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎪- ⎪⎝⎭
并求出变换矩阵T.和输出矩阵T
c
∧(提示：使用以下等式)
()1
123411110.50.50
0111100.50.501111000.50.511110.5
000.5W
ωωωω----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
--- ⎪
⎪== ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭ 计算[]12()I A ωω-- 和[]34()
I A ωω-;
(ii)
使用第(i)中的结果分析系统的可控性和可观性。

(iii) 给出是系统稳定的基于状态反馈的状态观测器存在的充分和必要条件。

(iv) 计算转台转移矩阵At
e
∧
，并求出用T 和At
e
∧
表示的At
e
的表达式.
3.(i)
1
23
411011
101)[]()1101110111011101()[]()11011101I A I A I A I A ωωωω-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥--=--=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
--⎢
⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
所以T=W=11111
11111111
111--⎡⎤⎢⎥---⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
-⎣⎦
[]1234
12341234
1234T
T c c T c c c c c c c c c c c c c c c c ==-+++++--+---++
（ii ）当230b b ≠≠且41b b ≠时，系统完全可控
当12340c c c c -++≠且12340c c c c --++≠时，系统完全可观
（iii ）充要条件：12341234140
00
c c c c c c c c b b -++≠--+-≠-+≠
（iv ）00000000
t t t A t
t t t e te e e e te e ---⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,1
At At e Te T -=
九、三阶的状态空间。

判断能控性。

若能控则化成能控规范性，若不能控，则进行能控性分解。

知识点：系统的可控可测性，能控能测性分解
（1）可控性判据
（a ）A 为n ×n 矩阵，若1[]n rank b Ab
A b n -=则可控；
（b ）约当型的可控性判据；
若A 阵已具有如下标准形式：
1001
010
i i
i i
i n n λλλ⨯⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦，i λ是特征值。

则 ①同一特征值对应的约当块只有一块，则各约当块的特征值不同； ②每一约当块最后一行，所对应的b 中的元素不为零。

（2）系统的可控标准型
12
10
1
00001
00001n A a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦
；0001b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦。

求解步骤：
（a ）求系统的可控性矩阵
1[]n S b Ab
A b -=，如果S 非奇异，则系统可控；
（b ）求1S -，假设11
2T T T n S S S S -⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
；
（c ）用T n S 、T
n S A 、
、1
T n n S A -组成下述矩阵1T
n T n T n n S S A P S A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
；
（d ）求1
P -；
（e ）求1
A PAP -=，b Pb =。

特别当
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡---=----11211212111
111,10001000
010n n n n n n n n P a a a A λλλλλλλλλ
则互异，， 如果有二重根，则
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t
At e te e e A 1110,0111
λλλλλ
如果有三重根，则⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=t t t
t t
t
At
e te e e t te
e e A 1111110
002,0
10
01
211
1
λλλλλλλλλ！ 分块，有：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡=t A t
A t A At e e e e A A A A 321,32
1
（3）可控性分解
求解步骤：
（a ）求系统的可控性矩阵
1[]n S b Ab
A b -=，如果S 奇异，则系统不可控；假设第n 列是前n-1列的
线性组合，现选取()T
1*
**q =代替S 矩阵中的第n 列。

则得到1
1[]P
b Ab
q -=；
（b ）求P ，假设11
2T T T n S S S S -⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦；
（c ）计算出1
A PAP -=，b Pb =，1c cP -=；
（4）系统的可观测性判据
（a ）A 为n ×n 矩阵；若1n c cA rank n cA -⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则系统可观。

（b ）约当型的可观性判据；
若A 阵已具有如下标准形式：
1001
010
i i
i i
i n n λλλ⨯⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦，i λ是特征值。

则 ①同一特征值对应的约当块只有一块，则各约当块的特征值不同； ②每一约当块第一列所对应的c 中的元素不为零。

（5）系统的可观测标准型
012
10
01000
10
1n a a A a a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
；[0001]c =。

求解步骤：
（a ）求系统的可观测矩阵
1[]T T T n T V c A c A c -=，如果V 非奇异，则系统客观；
（b ）求1V -，假设11
2T T T n V V V V -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；
（b ）求1()T n T T
n T T n n V V A P V A -⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
、T P 和T P -； （c ）计算出T T
A P AP -=，T
c cP =；
（6）系统的可观测性分解
可以用到对偶原理。

（7）用约当标准型判断系统可控和可观性 （8）将系统化为对角型，标准化 （9）可控可观测性与传递函数的关系
（10）状态反馈、状态观测（满足分离定理）与极点配置（何时可配置）
状态反馈不影响可控性； 状态观测器的求取； 会将系统进行极点配置。

仿真题：（1）、 设系统状态方程为
u 110x 041020122x ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----= ，试将系统状态方程化为可控标准形。

解：
先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形
[]
0S det 941421210b A Ab b S 2≠⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---==
故系统可控。

一定可将它化为可控标准形。

此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A 阵特征式的系数，但符号相反。

[]
112h 112225012S 1-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=-
则变换矩阵为
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=-102121012P 324223112P 1
可求出
12
112212103
220201214231402010100012
54A PAP ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==---⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==100110324223112Pb b
（2）、系统动态方程为
[]x 11y ,u 11x 1111x =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= ，将系统动态方程化为可观标准形，并求出变换矩阵。

解：
显然该系统可观测，可以化为可观标准形。

写出它的对偶系统的A,b 阵，分别为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11b ,1111A
根据A,b 阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出P 阵：
计算可控性矩阵S ：
[]⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==0121Ab b S ，
[]
5.05.0h 5.05.010
0121S 1
1-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--
求出P 阵：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=015.05.0hA h P ，求出M 阵：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-1120M ,05.015.0015.05.0P M 1T
T 式中：
[][]1005.015.011cM c 02111120b M b 212005.015.011111120AM M A 11=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==--
例：试将下列系统分别按能控性、能观性进行结构分解。

（1）
[]111,100,340010121-=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A
【解】： （1）
①按能控性进行结构分解
[
]
2
,9310004102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==c c rankU b A Ab
b
U
所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵c T 。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=031100010c T ，⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******c T
按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：
[]⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c c c c
c c x x y u x x x x 121001100241230
②按能观性进行结构分解
2,591231111020=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rankV CA CA C V
所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵1
0-P 。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-0012311111
0P ，⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=21311210
00P
按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：
[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00000000102111
1043010x x y u x x x x。