第四章_树

1.树 1.树
左儿子-兄弟表示法： 左儿子 兄弟表示法： 兄弟表示法
第一棵子树根 结点的地址 数据域 下一个亲兄弟 结点的地址
A A
∧
B
C
D B
L
E
F
G
∧
H L
C
D
∧
I
∧
E
∧
∧
F
∧
G
∧
H
∧
度数 K ＝ 3 的树
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∧
I
∧ 6
1.树 1.树
树的遍历（访问树中的每一个节点） 树的遍历（访问树中的每一个节点） 找出目录usr包含的所有目录和文件？ usr包含的所有目录和文件 找出目录usr包含的所有目录和文件？ 先序遍历
度数 K ＝ 3 的树
A 用数组表 0 A 示左图的 1 B B C D 树
2 3 4 C D L E F G H I 1 4 6 7 -1 -1 -1 9 -1 -1 2 5 -1 8 3 -1 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 2 3 3 7
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
设度为 1 的结点数为 n1，树枝的总数为 B n则：B = n-1=n0+n1+n2-1; A 又 B = n1+2×n2; +2× 原命题得证。 原命题得证。 L
E F
C
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2.二叉树 2.二叉树
满二叉树: 满二叉树 每层结点数 最多 L B P E A C F •完全二叉树 完全二叉树: 完全二叉树 从满二叉树最底层从 右向左依次去掉 若干结点 L D B E A C F D
A B C D E F G H I
2 4 6 8 10 0 0 0 0 0
3 5 7 9 0 0 0 0 0 0
H
I
L
7 8 9
应用范围： 应用范围：
10 L
适用于完全二叉树，且结点个数已知。 适用于完全二叉树，且结点个数已知。
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2.二叉树 2.二叉树
二叉树的链接存储
I
H
9
应用范围：适用于二叉树上的结点个数已知， 应用范围：适用于二叉树上的结点个数已知，或不 支持动态存储分配的高级语言。 支持动态存储分配的高级语言。
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2.二叉树 2.二叉树
完全二叉树
data left right
0
A B D E F C G
1 2 3 4 5 6
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2.二叉树 2.二叉树
二叉树的顺序存储
A B C F G D data left
0 1 2 A B C D E F G H I L 1 9 5 6 -1 -1 8 -1 -1 -1
right
-1 2 3 -1 -1 -1 7 -1 -1 4
L E
3 4 5 6 7 8
L
E
F
G
H
5 6
I
7 8 9
-1 表示空 节点：空指针域 节点：空指针域太 多达( 多，多达 K -1 )× × n + 1 个。 改进： 改进：结点中设立 度数域 指针域 度数域，指针域依 度数定。 度数定。但操作麻 烦。 采用左儿子、 采用左儿子、兄 弟表示法。 弟表示法。
5
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利用性质 1 ，将第 1 层至第 k 层的最多的 结点数进行相加： 结点数进行相加： 1+2+22+ ………+2k-2+2k-1+2k=2k+1-1 +2
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12
2.二叉树 2.二叉树
性质3 性质3：二叉树的叶子结点数 n0 等于度 为 2 的结点数 n2 + 1 证：
例子
A B D F E G ∧ F ∧ ∧ G ∧ C B ∧ ∧ D /\ A
C ∧
E
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2.二叉树 2.二叉树
代表根节点， 代表左子树， 代表右子树。 设 N 代表根节点，L 代表左子树，R 代表右子树。 a. 前序（或先序）：如果二叉树为空，则操作为空：否则访问根结点；前序遍历左子树； 前序（或先序）：如果二叉树为空，则操作为空：否则访问根结点；前序遍历左子树； ）：如果二叉树为空 前序遍历右子树。记为： 前序遍历右子树。记为：NLR。 。 b. 中序： 中序： 如果二叉树为空，则操作为空：否则中序遍历左子树；访问根结点； 如果二叉树为空，则操作为空：否则中序遍历左子树；访问根结点； 中序遍历右子树。记为： 中序遍历右子树。记为：LNR。 。 c. 后序： 后序： A 如果二叉树为空，则操作为空：否则后序遍历左子树； 如果二叉树为空，则操作为空：否则后序遍历左子树；后序遍历右子 树；访问根结点。记为：LRN。 访问根结点。记为： 。 前序： 、 、 、 、 前序：A、L、B、E、 L B E W X
20
2.二叉树 2.二叉树
A L B E W W X X B L E A C W X D A
L B E
C D
C
D
Baidu Nhomakorabea
前序： 、 、 、 、 、 、 、 前序：A、L、B、E、C、D、W、X 后序： 、 、 、 、 、 、 、 后序：B、E、L、X、W、D、C、A
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中序： 、 、 、 、 中序：B、L、E、A、C 、W、X、D 、 、
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二 叉 树 遍 历
A
C D
C、D、W、X 、 、 、 中序： 、 、 、 、 中序：B、L、E、A、 C、W、X、D 、 、 、 后序： 、 、 、 、 后序：B、E、L、X、 W、D、C、A 、 、 、
首次遇到 第2次遇到 次遇到 末次遇到
B
L E W
C D
X
L B E F
证：
时成立， ik = 1 时成立，设 k = i-1 时成立 则当 k = i 时 层上至多有2 在二叉树的第 i 层上至多有2i-1-1 * 2 = 2i-1 个 结点
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2.二叉树 2.二叉树
性质2： 二叉树至多有2 性质 ：高度为 k 的二叉树至多有 k+1- 1 个结点 证：
Q R S U V W X P Q R S U 性质4： 性质 ：具有 n 个结点的完全二叉树高度为 log2n 和完全二叉树的定义： 证：根据性质 2 和完全二叉树的定义：设其高度为 k 2k-1< n <= 2k+1 -1；2k < n + 1 <= 2k+1；2k <= n < 2k+1 ； 原命题得证。 故：k <= log2n < k+1 ; 原命题得证。
第四章 树
1.树 1.树 2.二叉树 2.二叉树 3.二叉查找树 3.二叉查找树 4.平衡二叉查找树 AVL树 平衡二叉查找树（ 4.平衡二叉查找树（AVL树） 5.伸展树 5.伸展树 6.B树 6.B树
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2
1.树 1.树
数据对象D： 数据对象D
D是具有相同特性的数据元素的集合。 是具有相同特性的数据元素的集合。
21
2.二叉树 2.二叉树
表达式树
树叶是操作数， 树叶是操作数，分支节点是操作符
前缀表达式 中缀表达式 后缀表达式
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前序： 前序：++a*bc*+*defg 中序： 中序：(a+(b*c))+(((d*e)+f)*g) 后序： 后序：abc*+de*f+g*+
22
数据操作
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1.树 1.树
树： 结点的度 结点的度：该结点的子树数目 树的度： 树的度：树中各结点度数的最大值 A 树枝）： 边（树枝）： ( A(B(L,E),C(F),D(G(I),H)) 路径： 路径： B C D 叶子（树叶） 分支节点： 叶子（树叶）、分支节点： 儿子、兄弟结点： 父、儿子、兄弟结点： L E F G H 祖先结点： 祖先结点：从根结点到该结点的路径上所有 结点 森林： 森林：m=3 I 深度：根为0, 深度：根为0, 依次往下数 树叶的高为0 高：树叶的高为0 B C D 有序树：所有结点的儿子结点具有确定次序， 具有确定次序 有序树：所有结点的儿子结点具有确定次序， 否则为无序树 否则为无序树 L E F G H 森林： 森林： m >= 0 棵互不相交树的集合 I
数据关系R 数据关系R：
若D为空集，则称为空树； 为空集，则称为空树； 否则: 否则: 中存在唯一的称为根的数据元素root, (1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root, n>1时 其余结点可分为m (m>0)个互 (2) 当n>1时，其余结点可分为m (m>0)个互 不相交的有限集T1, 不相交的有限集T1, T2, …, Tm, 其中每一 , 个子集本身又是一棵符合本定义的树， 个子集本身又是一棵符合本定义的树， 称为根root的子树。 root的子树 称为根root的子树。
2.二叉树 2.二叉树
构造表达式树
由后缀表达式构造 见P71
end6
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输出形式是目录表
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7
1.树 1.树
树的遍历 计算目录usr的大小？ usr的大小 计算目录usr的大小？ 后序遍历
输出是计算目录大小的顺序
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8
1.树 1.树
森林的遍历 前序遍历类似于树的前序遍历 类似于树的前序遍历。 前序遍历类似于树的前序遍历。增加一个虚拟的根结 它的儿子为各棵树的根。 点，它的儿子为各棵树的根。那么对这棵树进行前序 遍历，即得到森林的前序序列（不含树根结点） 遍历，即得到森林的前序序列（不含树根结点） 中序遍历类似于树的后序遍历。 类似于树的后序遍历 中序遍历类似于树的后序遍历。增加一个虚拟的根结 它的儿子为各棵树的根。 点，它的儿子为各棵树的根。那么对这棵树进行后序 遍历，即得到森林的中序遍历 去掉树根结点） 中序遍历（ 遍历，即得到森林的中序遍历（去掉树根结点）
例 例：结点总数 ： 二叉树 为3 时的所有 L 二叉树的树的 形状 E B C F D
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2.二叉树 2.二叉树
二叉树的性质
性质1 在二叉树的第i层上至多有2 性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点
A C D
1层：结点个数 21-1=20 个 层 2层：结点个数 22-1=21 个 层 3层：结点个数 23-1=22 个 层
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2.二叉树 2.二叉树
性质5：对一棵有 n 个结点的完全二叉树按照从第一层（根所在 性质5 个结点的完全二叉树按照从第一层（ 的层次〕到最后一层， 的层次〕到最后一层，并且每一层都按照从左到右的次序进行编 号。根结点的编号为 1，最后一个结点的编号为 n。 1：对任何一个编号为 i 的结点而言，它的左儿子的编号为 的结点而言， ,而右儿子的编号为 2i+1(若 n)。 2i( 若 2i <= n) ,而右儿子的编号为 2i+1(若 2i +1 <= n)。 的结点而言， 2：对任何一个编号为 j 的结点而言，它的父亲结点的的编 号为j/2 根结点无父结点。 号为j/2 。根结点无父结点。 A 1 C L 证：对编号归纳 3 2 B E F D 4 6 7 5 P Q R S U 8 9 10 11 12
标准形式：（二叉链表） 标准形式：（二叉链表） ：（二叉链表 A B L E F G I
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data left
right
C D
H
广义标准形式：（三叉链表） 广义标准形式：（三叉链表） ：（三叉链表 data left right Parent
18
2.二叉树 2.二叉树
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1.树 1.树
标准形式： 标准形式：
数据域 个儿子指针 第1个儿子指针 第2个儿子指针 个儿子指针 个儿子 个儿子指针 父亲结点指针 第 K 个儿子指针 父亲结点指针
…………
•广义标准形式：在标准形式的基础上，再增加指向父亲结点的指针域。 广义标准形式：在标准形式的基础上，再增加指向父亲结点的指针域 广义标准形式
A
B
C
D
B
C
D
前序： 、 、 、 、 前序：B、L、E、C、F 、D、G、I、H 、 、、
H
L
E
F
G
H
L
E
F
G
中序： 、 、 、 、 中序：L、E、B、F、C 、 I、G、H、D 、 、 、
I
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I
9
2.二叉树 2.二叉树
定义：一棵树，每个节点不多于两个儿子， 定义：一棵树，每个节点不多于两个儿子， 且位置有序。 且位置有序。