椭圆的参数方程及其应用

椭圆的参数方程及其应用

蒋明权

大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的：

椭圆1b )y y (a )x x (22

0220=-+-的参数方程是⎩⎨

⎧α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）

。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是⎩

⎨⎧α+=α

+=sin r y y cos r x x 00（α

是参数，r>0）。

一、求椭圆的内接多边形的周长及面积

例1 求椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。

）

，

例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2

1

MB AM =，

试求动点M 的轨迹方程。

解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，）

，并且设M （x ，y ）。 则，α=+

⨯+α=++=cos 82110

21cos 12211x 21x x B A 3sin 42

119

21sin 6211y 21y y B A +α=+

⨯+α=++=，

动点M 的轨迹的参数方程是⎩

⎨⎧+α=α

=3sin 4y cos 8x （α是参数），

消去参数得116

)3y (64x 2

2=-+。

三、求函数的最值

例3 设点P （x ，y ）在椭圆19

y 16x 2

2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最

大值和最小值。

解：点P （x ，y ）在椭圆19

y 16x 2

2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）

（α是参数且)20[π∈α，）， 则55

53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+α=

+-α+α=。 当5

3

arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相

切；当5

3

arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。

0且α解得1cos =α（舍去），或2

22

b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e

e 112

2<-<-，解得21e 2

>，于是1e 22

<<。故离心率e 的取值范围是⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛122，。