2020年第18届希望杯全国数学邀请赛高一(二试)试题

2020年第18届希望杯全国数学邀请赛高一（二试）试题

一．选择题（40分）

1．角cos2007α=︒在（ ）

（A ）第1象限（B ）第2象限（C ）第3象限（D ）第4象限

2．在△ABC 中，若21sin ,sin 75

A B ==，则sin C 的取值有（ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 3．在△ABC 中，若2

22sin sin sin 0A B C --=，且sin 2sin sin A B C =，则△ABC 是（ ）

（A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）等边三角形（D ）等腰直角三角形

4．当[0,1)x ∈时，若函数22()log (1)f x x ax a =++-有意义，则a 的取值范围是（ ） （A ）1a <（B ）1a ≤（C ）1a >（D ）1a ≥

5．设命题甲：2x >或1y ≤；乙：3x ≥且2y <。则“命题甲不成立”是“命题乙不成立”的（ ）

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件

6．设点P 在△ABC 内，提出以下命题：

（1）存在正数12,λλ，使12AP λAB λAC =+；

（2）如果0AP BC =且0BP AC =，那么0CP AB =；

（3）如果3AP AB AC =+，那么3BP BC BA =+；

（4）如果PA PB PC ==，那么△ABC 是锐角三角形。

在这4个命题中，正确命题的个数为（ ）

（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4

7．Let y =f(x) be a function on R , and 1()0(2)

f x f x +=+,then ()f x is （ ） （A ）not aperiodic function （B ）a aperiodic function with the least period 4

（C ）a aperiodic function with the least period 8（D ）a aperiodic function with the least period 16 8．The minimum of 122007x x x x +-+-+++- is （ ）

（A ）10032（B ）10042（C ）20202（D ）20202

9．O 是平面内一点，A 、B 、C 是平面内与O 不共线的三个点，P 是BC 的中点且使等式()AB

AC

λOA OP AB AC ++=成立，则△ABC 是（ ）

（A ）直角三角形（B ）等边三角形（C ）等腰三角形（D ）不等边三角形

10．若关于x 的二次函数233y x mx =-+的图象与端点在15(,)22和（3，5）的线段只有一个交点，则m 的值可能是（ ）

（A ）52（B ）1（C ）12（D ）13

二．填空题（40分） 11．设实数123,,a a a 成等差数列，且24a =。若定义2n a n b =，则13b b 的值是 .

12．函数sin()(0,0)y A ωx φA ω=+>>在同一周期内，当12πx =时，max 3y =；当712πx =时，min 3y =-，则函数y 的解析式是 .

13．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是增函数，若2(1)(1)f f x x <++，则x 的取值范围是 .

14．在平面上给定正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6，对于该平面内任意一点M ，若适当选取表达式123456MA MA MA MA MA MA ±±±±±±中的正负号，则可使该式为零，如 .

15．已知奇函数22()ax f x bx c

+=+在区间(,1)-∞-上单调递增，且(1)2,(2)4f f =<，则c= ,b 的范围是 .

16．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，前n 项的和为S n 使等式12n n S n S n

++=成立，则n a ＝ . 17

．函数y =的最小值为 ，此时x ＝ .

18．已知函数29()min 1,

,2f x x x x ⎧⎫=+-+⎨⎬⎩⎭，则()f x 的最大值为 . 19．不等式2200740142(1)

210x x x -++-≤的解集为 . 20．函数32

612(0)y x x x x =-+≤的反函数的解析式是y ＝ ，它的定义域是 .

三．解答题（10＋15＋15＝40分） 21．已知50,sin()213

πx y πx y <<

<<+=。 （1）若1tan 22x =，求cos2x 和cos y 的值；（2）比较sin y 与sin()x y +的大小并说明理由。

22．已知函数21()4164

y f x x x a ==

-+-，且当[0,]x b ∈时，[0,3]y b ∈，求a,b 的值。

23．将同时满足下列条件的正整数从小到大排列成数列{}n a ：

（1）能同时表示成2020个相邻正整数的和；（2）能被5整除，也能被7整除。 求数列{}n a 的通项公式。