高中数学复习教案：范围、最值问题

第2课时 范围、最值问题

范围问题

【例1】 (2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y a 2＋x b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为6

3,且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,若在x 轴上存在一点E ,使∠AEB ＝90°,求直线l 的斜率k 的取值范围．

[解] (1)设椭圆的半焦距长为c , 则由题设有⎩⎨

⎧

c a ＝6

3，

a －c ＝3－

2，

解得a ＝3,c ＝2,∴b 2＝1, 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2

＝1.

(2)由已知可得,以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 中点为M (x 0,y 0),

将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2

＝1,得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0, Δ＝12k 2

－12,x 1＋x 2＝－4k 3＋k 2,x 1x 2＝1

3＋k 2

.

∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2,y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2

,

|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k

2

12k 2－123＋k 2＝23k 4－1

3＋k 2

,

由题意可得⎩

⎪⎨⎪

⎧

Δ＝12k 2－12＞0，63＋k 2≤1

2|AB |，解得k 4≥13,

即k ≥413或k ≤－4

13.

故直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞,－413]∪[4

13,＋∞)． [规律方法] 求参数范围的四种方法

(1)函数法：用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解. (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求参数范围. (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式Δ求参数的范围. (4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义,利用数形结合思想求解.

(2019·临沂摸底考试)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点,且两焦

点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线x 4＋y

2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .

(1)求椭圆E 的方程；

(2)设直线x 4＋y

2＝1与y 轴交于P ,过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同两点A ,B ,若λ|PM |2＝|P A |·|PB |,求实数λ的取值范围．

[解] (1)由题意得a ＝2c ,b ＝3c ,则椭圆E 为x 24c 2＋y 2

3c 2＝1. 由⎩⎪⎨

⎪⎧

x 24＋y 23＝c 2，

x 4＋y

2＝1

得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.

∵直线x 4＋y

2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M , ∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1, ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2

3＝1. (2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，32,

∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0,2),∴|PM |2＝5

4,

当直线l 与x 轴垂直时,|P A |·|PB |＝(2＋3)(2－3)＝1, ∴由λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45,

当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎨⎧

y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2

－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0, 依题意得x 1x 2＝43＋4k 2,且Δ＝48(4k 2－1)＞0,∴k 2＞14, ∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝5

4λ,

∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2,∵k 2＞14,∴4

5＜λ＜1,

综上所述,λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.

最值问题

►考法1 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为________．

22 [双曲线x 2－y 2

＝1的渐近线为x ±y ＝0,直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行,故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋(－1)

2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立,得c ≤2

2,故c 的最大值为2

2.]

►考法2 建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值

【例3】 已知点A (0,－2),椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2,F 是椭圆E 的右焦点,

直线AF 的斜率为23

3,O 为坐标原点．

(1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点．当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程． [解] (1)设F (c,0),由条件知,2c ＝23

3,得c ＝ 3.

又c

a＝

3

2,所以a＝2,b

2＝a2－c2＝1.

故E的方程为

x2

4＋y

2＝1.

(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l：y＝kx－2,P(x1,y1),Q(x2,y2)．

将y＝kx－2代入

x2

4＋y

2＝1,得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

当Δ＝16(4k2－3)>0,即k2>

3

4时,x1,2＝

8k±24k2－3

4k2＋1

.

从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝

4k2＋1·4k2－3

4k2＋1

.

又点O到直线PQ的距离d＝

2

k2＋1

.

所以△OPQ的面积S

△OPQ

＝

1

2d·|PQ|＝

44k2－3

4k2＋1

.

设4k2－3＝t,则t>0,S

△OPQ

＝

4t

t2＋4

＝

4

t＋

4

t

.

因为t＋

4

t≥4,当且仅当t＝2,即k＝±

7

2时等号成立,且满足Δ>0.

所以,当△OPQ的面积最大时,

l的方程为y＝

7

2x－2或y＝－

7

2x－2.

►考法3建立函数关系利用导数求最值问题

【例4】(2017·浙江高考)如图,已知抛物线x2＝y,点A

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

1

2，

1

4,B⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

3

2，

9

4,抛物线上的点P(x,y)－

1

2

3

2.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|P A|·|PQ|的最大值．