结构力学(第五版)第十一章 影响线及其应用

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设某量值S的影响线如图所示
y
现有一组集中荷载
1 y1
△y1 2
y2
△y2
△x
△x
R1
R2
处于图示位置，所产生
△x x 的影响量S1为
yn
△yn S1=R1y1+R2y2+…+Rnyn
n
当整个荷载组向右移动
Rn
△x时，相应的量值为S2
S2=R1(y1+△y1)+R2(y2+ △y2)+…+Rn(yn+△yn)
在已知位置。据叠加原理
S=P1y1+P2y2+…+Pnyn=∑Piyi (11－1)
P1 P2 R
Pn
若集中力作用在影响线某 一直线范围内，则有
y2 y1
yn S影响线
S=P1y1+P2y2+…+Pnyn =(P1x1+P2x2+…+Pnxn)tg =tg∑Pixi
据合力矩定理 ∑Pixi=R x
故有 S=Rx tg=Ry (11－2)
隔当离体x=0, MC=0ab
1
当QPC==1－在x=截Ra,B面(MC0以C≤=x右＜L移a动) 时,
QC影响线
-
1
取为截Q面CC的以左左直部线分为。隔离体
a L
当MPC==R1A在a=CB段上移(a动≤x时≤L,) 即MC影响QC线=的RA右直(a线＜。x≤L)
(取右当截直面线xx)C==以aL,, 左MM部CC分==0aL为b 隔离返体回
为最不利荷载位置。
在移动荷载作用下的结构，各种量值均随荷载位置 的变化而变化，设计时必须求出各种量值的最大值（或 最小值）。为此，要首先确定最不利荷载位置。下面分 几种情况讨论。
1. 一个集中荷载 最不利荷载位置可直观判断。
S影响线
P
Smax
P
Smin
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2. 可以任意布置的均布荷载（如人群、货物等）
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3 .机动法
由前面分析可知，欲作某一反力或内力X的影响线， 只需将与X相应的联系去掉，并使所得体系沿X的正向发 生单位位移，则由此得到的荷载作用点的竖向位移图即 代表 X 的影响线。这种作影响线的方法便称为机动法。
机动法的优点 在于不必经过具体 A
P=1 C
计算就能迅速绘出
a
b
影响线的轮廓。 A1
下面以简支桁架为例，说明桁架内力影响线 的绘制方法。
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3. 作桁架的影响线
Ⅰ
P=1 Ⅰ
RA
A
P=1
解：
绘S12影响线
用力矩法，作Ⅰ-Ⅰ
截面。
P=1 P=1 RB
当当PP==11在在A2－－B1间间移移动动时时 取左部为隔离体，
B 由取∑右M部5=为0隔离有体，
由∑RMA×5=30d－有S12h=0
§11—12 超静定结构影响线作法概述
§11—1 影响线的概念 1. 问题的提出
工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷 载的作用。例如：见图。 在移动荷载作用下，结构的反力 和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必 须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。
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为了解决这个问题，需要研究荷 载移动时反力和内力的变化规律。然 而不同的反力和不同截面的内力变化 规律各不相同，即使同一截面，不同 的内力变化规律也不相同，解决这个 复杂问题的工具就是影响线。
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3. 简支梁的影响线
x P=1
K
RA
1
⊕
yK
RA影响线
0
RB影响线
RB影响线 由∑MA=0
RBL－Px=0 x
RB=L (0≤x≤L)
（1）反力影响线
RB
0 1
⊕
有
RA影响线
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由∑MB=0 有
RAL－P(L－x)=0
得
RA=P
L L
x
L L
x
(0≤x≤L)
当 x=0, RA=1 x=L, RA=0
当
x=0, RB=0 x=L, RB=1
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（2）弯矩影响线
x
x
PP==x11 x
P=1
绘制 MC的影响线
a
C
b
（当3P）=1剪在力截影面C响以线左移动时, RA
RB
取当截MP面C==绘C1R在以B制b右=AQC部Lx 段Cb分的(上为0≤影隔x移≤响离a动)线体时,
a
ab/L b
即MC取影截响线面的C左以直右线部。分为 0 MC影响线
第六章 影响线及其应用
§11—1 影响线的概念 §11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11—3 间接荷载作用下的影响线 §11—4 用机动法作单跨静定梁的影响线 §11—5 多跨静定梁的影响线 §11—6 桁架的影响线 §11—7 利用影响线求量值 §11—8 最不利荷载位置 §11—9 换算荷载 §11—10 简支梁的绝对最大弯矩 §11—11 简支梁的包络图
某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不 利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。
P=1 P=1P=1 P=1 P=1
A
1
2
3
B
RA 1
3/4
1/2
1/4
0
RA的影响线
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§11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线
1. 绘制影响线的基本方法： 静力法和机动法。 2. 静力法：
将荷载 P=1放在任意位置，并选定一坐标 系，以横坐标 x表示荷载作用点的位置，然后 根据静力平衡条件求出所求量值与荷载位置 x 之间的函数关系，这种关系式称为影响线方程， 再根据方程作出影响线图形。
当P=1在KE 段上移动时 取K以左为隔离体
MK=0 QK=0 绘制QA左影响线
绘制QA右影响线
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§11—3 间接荷载作用下的影响线
1.间接荷载（结点荷载）
桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图 如图所示。
计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁 简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横 梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为 间接荷载或结点荷载。
范围内连成直线。
P=1
例题
K
a
RB影响线
0
1
a MK影响线
QK影响线（练习）
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§11—4 用机动法作单跨静定梁的影响线
静力法和机动法是作影响线的两种基本 方法。
1.机动法的依据—— 虚位移原理 即刚体体系在力系作用下处于平衡的必要 和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系 所作的虚功总和等于零。
例：用机动法绘 a 1
P
MC影响线
A
(
解：MC(+)+PP=0
MC C MC
令 +=1 AA1= a
B
B
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§11—5 多跨静定梁的影响线
1. 多跨静定梁影响线绘制步骤 首先分清多跨静定梁的基本部分和附属部分及其传力
关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，多跨静定梁的影
响线即可绘出。
2. 举例说明
K
集中荷载 P=1沿结构移动时，对某量值产生的影响，然后
据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。
例如：见图。这样所得的图形就表示了 P=1在梁上
移动时反力 影响线。
RA的变化规律，这一图形就称为反力
返RA回的
3. 影响线的定义
当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下） 沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称 为该量值的影响线。
时，取截面C以左部分
为隔离体 有
1
MC=RAa
QC影响线
QC=RA
Px=1 C a
P=1
BE b
RB ⊖
1
b
返1 回
(3)伸臂部分截面内力影响线
P=1
Dx K
P=1
E
d
0
⊖
d
⊖ 1
1⊖
⊕
1⊕
MK影响线 QK影响线 QA左影响线
1
⊖
QA右影响线
绘制MK、QK影响线
当P=1在DK 段上移动时
取K以左为隔离体 MK=－x QK=－1
我国公路桥涵设计使用的标准荷载，分为计算荷载 和验算荷载两种。
计算荷载以汽车车队表示，有汽车—10级、汽车—
15级、汽车—20级和汽车—超20级四个等级（见书上图
6-22）。验算荷载有履带—50、挂车—80、挂车—100
和挂车—120等四种。
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§11—8 最不利荷载位置 最不利荷载位置： 使某一量值发生最大（或最小）值的荷载位置，即
由式
S=q
可知
S影响线
3. 行列荷载 ：
Smax
一系列间距不变 Smin 的移动集中荷载
行列荷载的最不利荷载位置难于直观判定。 但据最不利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置
时，所求量值S最大，因而荷载由该位置不论向左或向
右移动到邻近位置时，S值均将减小。因此，下面从讨
论荷载移动时S的增量入手解决这个问题。
b
ω
S影响线
式中表示影响线在均布荷载范围内面积的代数和。返 回
§11—8* 铁路和公路标准荷载制 公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况 复杂，设计结构时不可能 对每种情况都进行计算，而是 以一种统一的标准荷载来进行设计。这种标准荷载是经 过统计分析制定出来的，它既概括了当前各类车辆的情 况，又适当考虑了将来的发展。
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2. 最不利荷载位置
某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷载位
置。 例如：见图
工程中的移动荷载 通常是由很多间距不变 的竖向荷载所组成，其 类型是多种多样的，不 可能逐一加以研究。
P=1 P=1P=1 P=1 P=1
A
B
1
2
3
RA 1
3/4
1/2
1/4
0
为此，可先只研究一种最简单的荷载，即一竖向单位
首先分析几何组
a
L
成并绘层叠图。
1
MK影响线
a
1
P=1
绘制MK的影响线
P=1 x
当此MPK绘时影=制C1响在EQ梁线CEBFE左相与段段的当C上上影E于段移移响在单动动线结独时时
00
VE
RF
E
QB左影响线
按当点作上PE为=处述1一在受步伸LA到骤臂CVx绘段梁E的出上相作Q移同B用动。左 时 影故直响M线V线K。EM影=如K响=图L0线。在返EF回段为
dx d
及
x d
的作用。设直
接荷载作用下MC影响线在D、
E处的竖标为 yD、yE ，在上述
两结点荷载作用下MC值为
y=
dx d
yD
x d
yE（直线方程）
x=0, y=yD
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x=d, y=yE
3. 结 论
绘制间接荷载作用下影响线的一般方法： （1）首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线。
（2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁
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2. 机动法简介
以简支梁为例。
A
P=1
B
作反力RA的影响线，为
求反力RA，去掉与其相应
的联系即A处的支座，以正 1A
向反力代替。
A
P
B
此时，原结构变成了有 RA
一个自由度的几何可变体
系，给此体系微小虚位移。 虚功方程为
令 A=1
RA=－P
RAA+PP=0
RA=－
P A
此时，虚位移图P便代表了
RA的影响线。
RSB12×= 53dd－RSA12h=0 当P=S11在2=节5hhd间R（B 1-2）内
S12影响线 移动时，S12的影响线 为一直线。 返 回
§11—7 利用影响线求量值
前面讨论了影响线的绘制方法。从本节开始研究影
响线的应用。首先讨论如何利用影响线求量值。
1. 集中荷载
某量值的影响线已经绘出，有若干个集中荷载作用
o
y1
0x1
y2 y
x2
x
yn
S影响线 返回
2. 分布荷载 将分布荷载沿长度分
qx qxdx
成许多无穷小的微段，每一 微段dx上的荷载为 qxdx， 则ab区段内分布荷载产生的
影响量
dx
a
y
b S影响线
q
b
S= a qxydx （11—3）
当为均布荷载（q=常数）
a
b
S= qa ydx q
(11—4）
P 纵梁
横梁（结点）
主梁
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2. 间接荷载影响线的绘制方法
P=1 P=P1=1 P=1
以绘制MC影响线为例
A
C
D
E
B
（1）首先，将P=1移动到各 结点处。其MC与直接荷载作用
在主梁上完全相同。
yD
y yE
x P=1
d
dx
x
d
d
MC影响线
（2）其次，当P=1在DE间移
动时，主梁在D、E处分别受到
结点荷载
3. 结论
由上可知，多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法 如下：
（1）当P=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线 与相应单跨静定梁相同。
（2）当P=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁 段上移动时，量值影响线的竖标为零。
（3）当P=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁
段上移动时，量值影响线为直线。
此外，用机动法绘制多跨静定梁的影响线也是很方便
的（课后自行练习）。
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习题 6—10
0 1.5 3
0
1 1
0
8
MC影响线
0
0
MK影响线
QC左影响线
QC右影响线 0
1
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§11—6 桁架的影响线 1. 单跨静定桁架，其支座反力的计算与单跨 静定梁相同，故二者反力影响线相同。
2. 用静力法作桁架内力影响线，其计算方法 与桁架内力的计算方法相同，同样分为结点法和截 面法，不同的是作用的是 P=1的移动荷载，只需求 出P=1在不同位置时内力的影响线方程。
4. 伸臂梁的影响线
（1）反力影响线
x DA
（由2平）衡跨条内件部求分得截面
内力RA影= 响L L线x (-L1≤x≤ RMBC=、Lx QC影响线 L+L2)
RA
⊕1
当 P=1在DC段移动 RA影响线
时，取截面C以右部分
为隔离体 有
MC=RBb QC=－RB
RB影响线
a
当 P=1在CE段移动 MC影响线
故S的增量:
△S=S2－S1=R1△y1+R2△y2+…+Rn△yn=R1△x tg1+R2△x tg2 +…+Rn△x tgn=△x∑Ri tgi
则
S
x =∑Ri tgi
返回
S
x =∑Ri tgi