最新-2018高中数学系列一轮复习 第九讲 幂函数课件 理 新人教B版 精品

x01 2 3 4 …
y 0 1 1.59 2.08 2.52 …
描点： 连线：画出 y 轴右边部分，再由对称性画出 y 轴左侧部分如图 所示． 由图象可以看出，函数 y＝x23在区间(－∞，0)上是减函数，在 区间(0，＋∞)上是增函数．
点评 描点法先要求出函数的定义域.
变式迁移 5 给出关于幂函数的以下命题： ①幂函数的图象都经过点(1,1)； ②幂函数的图象都经过点(0,0)； ③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数； ④幂函数的图象不可能经过第四象限； ⑤幂函数在第一象限内一定有图象； ⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是增函数，其中正确的命题有 ________．
(2)F(x)＝a
x－4－
b x·x－
4＝
a·x－
2－b·x3
∵y＝x－2 是偶函数，y＝x3 为奇函数，
∴讨论如下：
①a≠0 且 b≠0 时，F(x)是非奇非偶函数；②a＝0 且 b≠0 时，
F(x)是奇函数；③a≠0 且 b＝0 时，F(x)是偶函数；④a＝b＝0 时，
F(x)既是奇函数，又是偶函数.
中，只有 y＝x13＝x－3 和 y＝3 x2＝x23符合幂函数的定义，是幂函数， 其余两个都不是幂函数．所以选 B.
题型八 数形结合题
例 8 当 k∈(0，12)时，试研究方程 |1－x|＝kx 的解的个数． 分析 令 y＝ |1－x|，y＝kx，通过两曲线交点个数来判断方程 解的个数．
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解析 令 y1＝ |1－x|，y2＝kx. 在同一直角坐标系下． 先作过 y1＝ |1－x|的图象，如图所示．
教材面面观 1．一般地，函数________叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是 常数． 注意 幂函数中底数是自变量，幂指数是常数，这与指数函数 是不同的，指数函数中底数是常数，幂指数是自变量．
答案 y＝xα
2．5 个最简单的幂函数的图象与性质： 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12
定义域 值域
题型四 比较大小问题
例 4 已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，求 m 的取值范围． 解析 根据幂函数 y＝x1.3 知 0＜0.71.3＜1，由幂函数 y＝x0.7 知， 1.30.7＞1,0.71.3＜1.30.7，对于函数 y＝xm，∵(0.71.3)m＜(1.30.7)m，∴m
＞0.
解析 设 f(x)＝xα，因为点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，将 点( 2，2)代入 f(x)＝xα 中，得 2＝( 2)a，解得 a＝2，∴f(x)＝x2；
设 g(x)＝xb，∵点(－2，14)在幂函数 g(x)的图象上，将点(－2， 14)代入 g(x)＝xb 中，得14＝(－2)b，解得 b＝－2，∴g(x)＝x－2.
变式迁移 1
函数 f(x)＝(m2－m－1) xm2－2m－3是幂函数，且在 x∈(0，＋∞)上
是减函数，则实数 m 的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 A 解析 由题知 m2－m－1＝1，得 m＝－1 或 m＝2，再验证 m2 －2m－3＜0，得 m＝2.故选 A.
题型二 定义域问题
例 2 求下列函数的定义域：
答案 ①④⑤
解析 命题①显然正确；只有当 α＞0 时幂函数的图象才能经过 原点(0,0)，若 α＜0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；幂
函数 y＝x12就是一个非奇非偶函数，所以命题③错误；由于在 y＝ xα(α∈R)中，只要 x＞0，必有 y＞0，所以幂函数的图象不可能在第 四象限，故④正确；命题⑤也正确；幂函数 y＝x3 在(－∞，0)上是 增函数，故命题⑥错误．因此正确的命题有①④⑤.
3
1
－2
(1) y=x 5 ；(2) y=x 4 ；(3)y=x 3 ；
－3
(4) y=x 4 .
解析 把分数指数幂化为根式
(1)
y=x
3 5
＝5
x3，其定义域为
R；
(2)
y=x
1 4
＝4
x，其定义域为[0，＋∞)；
(3)
－2
y=x 3 ＝
1
，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
3 x2
(4)
－3
变式迁移 6
1
函数 y＝(mx2＋4x＋m＋2) 4 ＋(x2－mx＋1)的定义域是全体实 数，则实数 m 的取值范围是( )
A．( 5－1,2) B．( 5－1，＋∞) C．(－2,2) D．(－1－ 5，－1＋ 5)
答案 B
1
解析 函数 y＝(mx2＋4x＋m＋2) 4 ＋(x2－mx＋1)有意义的条
典例对对碰 题型一 幂函数定义 例 1 若幂函数 y＝(m2＋3m－17) x4m－m2 的图象不过原点，求实数 m 的取值范围．
解析 依题意，得m4m2＋－3mm2－＜107＝1 ⇒mm＝＜－0或6或m＞m＝4. 3， 所以 m＝－6. 点评 问题切入点幂函数的形式是 y＝x2.因此 m2＋3m－17＝ 1，另一方面图象不过原点，必有 4m－m2＜0，从而求出 m.熟练掌 握并理解幂函数定义及性质是解题的关键.
奇偶性 单调性
图象 过定点
y＝1x
答案 函数 定义域 值域 奇偶性
单调性
y＝x
y＝x2 y＝x3
R
R
R
R
{y|y≥0} R
奇函数
偶函数 奇函数
在(－∞，
在 R 上递增
0) 上递 减，在(0， ＋∞)上
在R上 递增
递增
y＝x12 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非 偶函数
y＝1x {x|x≠0} {y|y≠0}
y=x 4 ＝
1
，其定义域为(0，＋∞)．
4 x3
点评 注意：①分母不能为 0；②偶次根号下必须为非负实数；
③零的零次方没有意义；④奇次根号下不作限制.
变式迁移 2 设 α∈{－1,1，12，3}，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函 数的所有 α 的值为________．
答案 1,3 解析 定义域为 R 说明幂指数是正数且幂指数不等于12，是奇 函数说明 α＝1,3.
题型六 幂函数的综合应用 例 6 已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3 (m∈Z)为偶函数，且在区间(0， ＋∞)上是单调减函数． (1)求 f(x)； (2)讨论 F(x)＝a fx－xfbx的奇偶性．
解析
(1) f
x ＝x ＝x m2－2m－3
m(m－2)－3
由题意知 m(m－2)为奇数且 m2－2m－3<0，又 m∈Z， ∴m＝1，∴f(x)＝x－4
＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③fxx11＞fxx22；④fxx11＜
所以直线与曲线只有三个交点．
点评 数形结合思想的恰当引入使判断方程根的个数转化为检 验曲线交点个数问题，直观形象，易于理解．
数形结合思想是高考考查的热点之一，本题将方程问题转化为 函数问题，化繁为简，化难为易，深刻体现了数学基本思想在解题 中的重要地位.
变式迁移 8
已知幂函数 f(x)的图象经过点(18， 42)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1
再研究当 k∈(0，12)时，直线 y2＝kx 与上述图象交点的个数， 显然该直线与曲线 x＜1 的部分必有一交点，对于 x＞1 的部分，将 y＝kx 代入 y2＝1－x(y＞0)，得 k2x2－x＋1＝0，Δ＝1－4k2，当 k∈(0， 12)时，Δ＞0，所以 y＝kx 与曲线 y2＝x－1(x＞1)有两交点．
解析 形如 y＝xα(α 是常数)的函数叫做幂函数，选 B. 答案 B
变式迁移 7 给出下列函数：
①y＝x13；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝3 x2，其中是幂函数 的有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
答案 B 解析 可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的四个函数
变式迁移 3 如图所示为幂函数 y＝xαi(i＝1,2,3,4)在第一象限内的图象，则 α1，α2，α3，α4 按由小到大的顺序排列为________．
答案 α3＜α2＜α4＜α1 解析 首先根据图象特点和幂函数的单调性，得 α1＞0，α4＞0， α2＜0，α3＜0，令 x＝a 且 a＞1，根据函数图象特点可知 aα3＜aα2 ＜aα4＜aα1，由于指数函数 y＝ax(a＞1)是单调递增函数，故 α3＜α2 ＜ α4＜ α1.
奇函数
在(－∞， 在(0，＋ 0) 和(0，
∞) ＋∞) 上 递减
图象
过定点
(1,1)
考点串串讲 1．幂函数的图象 幂函数 y＝xα，当 α＝13，12，1,2,3 时的图象见图(1)所示； 当 α＝－2，－1，－12时的图象见图(2)所示；
2．幂函数的性质 (1)α＞0 时； ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大，即在(0，＋∞)上 是增函数． (2)α＜0 时； ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在(0，＋∞)上 是减函数． ③在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近，向右与 x 轴无 限地接近．
题型五 幂函数的性质
2
例 5 讨论函数 y=x 3 的定义域、奇偶性，作出图象，并由图象指
出函数的单调性．
解析
函数
y=x
2 3
＝
3
x2，定义域为实数集
R.
∵f(－x)＝
(－x)
2 3
1
＝[(－x)2]3
＝(x2)13＝
x
2 3
＝f(x)．
2
∴函数 y=x 3 为偶函数，其图象关于 y 轴对称．
下面用列表法作出函数 y＝x23在(0，＋∞)上的图象． 列表：
1
件是 mx2＋4x＋m＋2＞0.因此，要使函数 y＝(mx2＋4x＋m＋2) 4 ＋ (x2－mx＋1)的定义域为全体实数，需满足 mx2＋4x＋m＋2＞0 对一 切实数都成立．
即mΔ＝＞402－4mm＋2＜0 ，解得 m＞ 5－1.
【教师备课资源】 题型七 幂函数的判定 例 7 下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A．y＝－x3 B．y＝x－3 C．y＝2x3 D．y＝x3－1 分析 幂函数的定义是形式上的，即只有形如 y＝xα(α 是常数) 的函数才是幂函数，本例中其余选项中的函数只是幂函数类函数．
题型三 幂函数的图象
例 3 已知点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函 数 g(x)的图象上，问当 x 为何值时，有
(1)f(x)＞g(x)； (2)f(x)＝g(x)； (3)f(x)＜g(x)． 分析 首先要理解幂函数是形式定义，y＝xα，然后根据函数图 象可以解决．
3．比较大小 利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法 如下： (1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比 较； (2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较； (3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与 1 的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到 一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，从而确定两个幂值 的大小； (4)比较多个幂值的大小一般采用媒介法，即先判断这组数中每个 幂值与 0,1 等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组 内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.
点评 恰当地构造函数是解决本题的关键．
变式迁移 4
设12＜(12)b＜(12)a＜1，则下列不等关系成立的是(
)
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
答案 C
解析 12＜(12)b＜(12)a＜1⇒1＞b＞a＞0，在 A 和 B 中，y＝ax(0 ＜a＜1)在定义域内是单调递减的，则 aa＞ab，所以结论不成立；在 C 中，y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)内是单调递增的，又 a＜b⇒aa＜ba， 即 ab＜aa＜ba.故选 C.
在同一坐标系下作出 f(x)＝x2 与 g(x)＝x－2 的图象如图所示．
由图象可知：(1)当 x＞1，或 x＜－1 时，f(x)＞g(x)； (2)当 x＝1，或 x＝－1 时，f(x)＝g(x)； (3)当－1＜x＜1，且 x≠0 时，f(x)＜g(x)．
点评 (1)幂函数的一般形式是 y＝xα(α 为常数)，要求幂函数只 要解出 α 即可；(2)函数的图象在解方程和不等式时有着重要的作用； (3)本题注意 g(x)＝x－2 的定义域是{x|x≠0}，即求幂函数的解析式问 题的关键是掌握幂函数的定义特征.