重庆大学2013-2014学年(上)数理统计试题及参考答案

(x y 2x )
i 1 i i i
n
x
i 1
n
， Yi 2 1 xi i , Yi ~ N (2 1 xi , )
2
2 i
ˆ ~ N (E ˆ , D ˆ ) 服从正态分布。 由正态分布的性质推知 1 1 1
n n n n n ( x Y 2 x ) E [ x Y 2 x ] x EY 2 xi i i i i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 ˆ E 1 E n n n 2 2 x x xi2 i i i 1 i 1 i 1
1
2
2
2 2 u0.95 (63)
(
2 u0.95 S2

2

2
63
选 择 检
,
2 u0.95 S2

2

2
63
计 量 ：
)
(n 1) S 2 ~ 2 (n 1)
（
4
）
验
统
2
；
拒
绝
域
Ko {
u
2 2 0.95 2
S
2 2 u0.95


1
2
63
或
u
2 2 0.95 2
根据原假设，不同制造方法下零件不合格品的理论频数 np 6.5 ， 的样本值为
2
(vi npi ) (10 6.5)2 (6.5 3)2 2 1.8846 0.95 (1) 3.841 落在接受域内，故 npi 6.5 6.5 i 1
2 2
认为零件的不合格率与制造方法无关。 五（18 分）设样本 ( xi , Yi ) ， i 1, 2 （1）求参数 , n 满足 Yi 2 1 xi i , i ~ N (0, 2 ) 。
2
2
均值和样本方差： （1）求参数 c 满足 P{ X S c} 0.1 ； （2）求概率 P{
2 X 12 X 2 1} ； 2 X 32 X 4
(3)求 D
32
(X
i 1
32 i
X i 2 X )2 。(请写出计算过程)
解 ：（ 1 ）
ˆ ；（ 2 ） 分 析 ˆ 的 分 布 ；（ 3 ） 求 ES 2 ， 其 中 1 的 最 小 二 乘 估 计 量 E 1 1
2 ˆ x , i 1, 2, ˆi ) 2 , y ˆi 2 SE (Yi y 1 i i 1 n
, n.。
2 n S E 2 xi ( yi 2 1 xi ) 1 i 1
EYi E (2 1 xi i ) 2 1 xi
ˆ E 1 1
n n n n ( x Y 2 x ) D [ x Y 2 x ] xi 2 DYi i i i i i i 2 i 1 i 1 i 1 ˆ D i 1 D 1 n n n n 2 2 2 2 2 x ( x ) ( x ) xi2 i i i i 1 i 1 i 1 i 1
Yi Y ~ N (0, 2 2 (1 1/ n))

Yi Y 2 2 (1 1/ n)
2
~ N (0,1)
= D[2 (1 1/ n)
(
i 1
32
Yi Y 2 (1 1/ n)
2
) 2 4 4 (1 1/ n) 2 D( 2 (32)) 256 4 (1 1/ 32) 2
n 仅是b的函数； 2b 2
ˆ ) 又 E (b 2
2 n u0.95 ˆ 是 b 的有效估计量。 E ( ( xi 2)2 ) b b 2 n i 1
相合性：因为 T
2 n ' ' 2 u0.95 E ( ( xi 2)2 ) ， g ' (b) 1 ，所以 I (b) c(b) g (b) 1 2 , DT g (b) 2b n n 2b c(b) n i 1
nX nX n c} 0.1 ~ t (n 1) P{ X S c} P{ S S
得
n c t0.95 (63) 故 c 1.65 0.2063 8
（2） X ~ N (0, ) ( X1 / )2 ( X 2 / )2 ~ 2 (2) 同理 ( X 3 / ) ( X 4 / ) ~
且 F0.5 (2, 2)
(3)令 Yi X i X ni ~ N (2 ,2 2 ) ， Y
n 1 n 2 T (Yi Y )2 (n 1) SY Y 2 X i n i 1 i 1
32 32 D ( X 32i X i 2 X )2 DT D[ (Yi Y )2 ] i 1 i 1
2
二、 （ 26 分 ） 设 X 1 ， X 2 ， … ， X n 是 来 自 总 体 X ~ N (2, )( 0) 的 样 本 ，
2 ˆ； （1）求参数 b ( A 2) 的矩估计量 b P{X A} 0.95 。 1 （2）求参数 b 的最大似然估计
ˆ ，并评价 b ˆ 的无偏性、有效性、相合性； 量b （3）求参数 b 的置信度是 1 的置信区间。 2 2
S
2 2 u0.95


2
63
)
2
三、 （14 分） 假设飞机上用的铝制加强杆有两种类型 A 与 B， 它， 它们的抗拉强度 （ kg / mm ） 分别服从 N ( A , A ) 与 N ( B , B ) 。 由生产过程知其标准差 A 1.2 , B 1.5（1） 若从 A、
2
置 信 度 为 1 的 置 信 区 间
(
(n 1) S 2 (n 1) S 2 63S 2 63S 2 , ) ( , ) b 的置信度是1 的置信区间为 2 2 2 (n 1) (n 1) 2 (63) (63)
1 2 2
2 u0.95 2 (63)2 1
( x 2)2 2 2
( x 2) u0.95 u 2b 建立似然 0.95 e 2
2 2
函数 L(b) (2 ) 2 u0.95b 2 e
n

n

n
i1
2 ( xi 2)2u0.95
2b
u2 n n n ln L(b) ln(2 ) n ln u0.95 ln b 0.95 ( xi 2) 2 2 2 2b i 1
（4）试确定检验问题： H 0 : b b0 , H1 : b b0 (b0 0) 的检验统计量和拒绝域。 解：
X ~ N (2, 2 )
X 2

A2

~ N (0,1) 0.95 P{ X A} P{
X 2


A2 }


2 2 2 且 EX ( EX ) DX u0.95 即 A 2 u0.95 （1） b ( A 2)2 2u0.95
解： （1）由题得： S
2 E
(y 2 x )
i 1 i 1 i
n
2
n S 2 令 E 0 2 xi ( yi 2 1 xi ) 0 1 i 1
ˆ 得 1
(x y 2x )
i 1 i i i
n
x
i 1
n
2 i
ˆ （2） 1
2 2
B 两类加强杆中抽取的样本容量相同，那么要使得 A B 的 0.90 的置信区间长度不超过 2.5kg/mm2 需要多少样本量？(2)给出统计假设 H 0 : A 1.1B , A 1.1B 的检验统计量和 拒绝域。若对 A，B 两类加强杆各自独立地抽取了 7 根，测得抗拉强度的样本均值分别是 87.6 与 74.5，试对统计假设进行检验（显著性水平取 0. 1） 。 解：1）设 X、Y 分别表示铝制加强杆两种类型 A、B 的抗拉强度， X 、 Y 为样本均值。则 X、Y 相互独立且 X ~ N ( A ,
2 n u0.95 u2 2 ˆ 是参数 b 的无偏估计。 E ( ( xi 2) 2 ) 0.95 n 2 u0.95 2 bb 2 n n i 1
n
有效性：
d ln L(b) n 2 2 (u0.95 db 2b
( x 2)
i 1 i
2
n
b)且c(b)
H 0 ：零件的不合格率与制造方法无关； H1 ：零件的不合格率与制造方法有关。
知 n 200, m 2, r 0 .在显著性水平 0.05 下，选择检验统计量
2

i 1
2
(vi npi ) ， npi
拒绝域为： { 0.95 (1) 3.841}
2 2
n
( xi 2)2 2 i n n d ln L(b) n 1 u0.95 n 2 ˆ 1 ( x 2)2 u 2 2 ( xi 2) 2 (u0.95 i 1 b) b i 2 0.95 db 2 b 2b i 1 2b n n i 1
ˆ ) 无偏性：E (b 2
2 4
n 1 n 2 1 n 2 ˆ ( 1 X 2 4)u 2 ˆ X X 4 b i i i 1 0.95 n i 1 n i 1 n i 1
(2) A 2 u0.95 b
n
b u0.95
1 f ( x) e 2
2
2 2
2 (2)
2 X12 X 22 ( X1 / )2 ( X 2 / )2 ( X 3 / )2 ( X 4 / )2 X 12 X 2 2 2 / ~ F (2,2) P{ 2 1} P{F (2, 2) 1} 2 X3 X4 2 2 X3 X4 2 2 X 2 X2 X 12 X 2 1 1} 1 P { 1} 0.5 F0.5 (2, 2) 1 得 P{ 12 2 2 X3 X4 X 32 X 4 F0.5 (2, 2)
2 2 2 A B 2 A ) ) ， X ~ N (B , B ) X Y ~ N ( A B , n n n
P{
X Y ( A B ) ( ) / n
2 A 2 A
u0.95 } 0.90
由题置信区间的长度 2u0.95 ( A B ) / n 2.5
2 2
解得样本容量 n 7 。 2）由题意知 X 87.6 ， Y 74.5 当 H 0 成立时 X Y ~ N (0.1B ,( A B ) / n)
2 2
拒绝域 K 0 {
X Y 0.1 B )
2 2 ( A A )/n
u0.9 }
四、 （12 分）用铸造与锻造两种方法制造某种零件，从各自制造的零件中分别随机抽取 100 只，经检验发现铸造的有 10 个不合格品，锻造有 3 个不合格品。试问在显著水平 0.05 下，能否认为零件的不合格率与制造方法有关？ 解：根据题意，我们提出如下统计假设：
重庆大学全日制学术型硕士研ห้องสมุดไป่ตู้生 《数理统计》 （A）课程试卷
2013-2014 学年第一学期（秋）
请保留四位小数，部分下侧分位数为： u0.95 1.65 ， u0.99 2.33 ， 0.95 (1) 3.841 ，
2
f0.95 (3,6) 9.78
一、 （18 分）设 X 1 ， X 2 ，…， X 64 是来自总体 N （0， ）的样本， X ， S 分别是样本
2
ˆ 是 b 的相合估计量。 ˆ ) 2b 0(n ) 故 T b DT D(b 2 2 n
（3） b u0.95 b 的置信度是 1 的置信区间既是 的置信度 1 的置信区间。因
2 2
2
均 值 已 知 设 样 本 方 差 为 S
2
， 得