相似三角形经典题型

相似三角形知识点与经典题型

知识点1 有关相似形的概念

(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多

边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数) ．

知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是a

b

m

n

，

或写成a:b m: n．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段a,b, c,d 中，如果a和b的比等于c和d 的比，那么这四条线段a,b, c, d 叫做成比例线段，简称比例线段．

注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是b, c, d 的第四比例项，那么应得比例式为：b

c

d

a

．

a c

②在比例式( ：：)中，a、d 叫比例外项，b、c 叫比例内项, a、c 叫比例前项，b、

a b c d b

d

d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c，即a：b b：d 那么b 叫做a、d 的比例中项，此时

有 2

b ad 。

（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC, B C (AC BC) ，且使AC 是AB和BC 的比例中项，

即

5 1

2

AC AB BC ，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB

2

≈0.618 AB ．即A C BC

AB AC 5 1

2

简记为：

长短

＝＝

全长

5 1

2

注：黄金三角形：顶角是36

0 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1）基本性质：

①a : b c : d ad bc ；② 2

a :

b b:

c b a c ．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad bc，除了可化为a: b c :d，还可化为a : c b:d，c :d a : b，b:d a :c，b:a d : c ，c:a d :b，

d : c b:a，d :b c:a．

a b

c d

，(交换内项)

（2）更比性质( 交换比例的内项或外项) ：a c d c

b d b a

，交换外项

( )

d b

c a

．同时交换内外项

( )

（3）反比性质( 把比的前项、后项交换) ：a c b d

b d a c

．

（4）合、分比性质：a c a b c d

b d b d

．

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

b a d c

发生同样和差变化比例仍成立．如：a

b

c

d

a c

a b c d

等等．

a b c d

a c e m

（5）等比性质：如果(b d f n 0)

b d f n ，那么

a

b

c

d

e

f

m

n

a

b

．

注：

①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是

有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成

立．如：a

b

c

d

e

f

a

b

2c

2d

3e

3 f

a

b

2c

2d

3e

3 f

a

b

；

其

中

b

2d

3 f

0 ．

知识点 4 比例线段的有关定理

1. 三角形中平行线分线段成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比例.

A

由DE∥BC可得：A D

DB

A E

EC

或

B D

AD

E C

EA

或

A D

AB

A E

AC

D E

B C

注：

①重要结论：平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截的三．角．形．的．三．边．与原．三．角．形．三．边．对应成比例.

②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比例. 那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给

出了一种证明两直线平行方法, 即：利用比例式证平行线.

③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线, 但应遵循的原则是不要破坏条件中的

两条线段的比及所求的两条线段的比.

2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.

已知AD∥BE∥CF,

A D B

E

可得A B DE AB DE BC EF BC EF AB BC

或或或或等.

BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF

C F

注：平行线分线段成比例定理的推论：

平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一